版圓證明計算版

1、圓的證明與計算專題解說圓的證明與計算是中考取的一類重要的問題，本題達成狀況的利害對解決后邊問題的發(fā)揮有重要的影響，因此解決好本題比較要點。圓的有關(guān)證明一、圓中的重要定理:圓的定義:主假如用來證明四點共圓.垂徑定理:主假如用來證明弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.三者之間的關(guān)系定理:主假如用來證明弧相等、線段相等、圓心角相等.圓周角性質(zhì)定理及其推輪:主假如用來證明直角、角相等、弧相等.切線的性質(zhì)定理:主假如用來證明垂直關(guān)系.切線的判斷定理:主假如用來證明直線是圓的切線.切線長定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個要點元素之間的相互轉(zhuǎn)變:弧、弦、圓心角、圓周角等都能夠經(jīng)過相等來相互轉(zhuǎn)變.這在

2、圓中的證明和計算中常常用到.二、考題形式剖析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第1問主假如判斷切線；第2問主假如與圓有關(guān)的計算：求線段長（或面積）；求線段比；求角度的三角函數(shù)值（實質(zhì)仍是求線段比）。知識點一：判斷切線的方法：（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常有手法有：全等轉(zhuǎn)變；平行轉(zhuǎn)變；直徑轉(zhuǎn)變；中線轉(zhuǎn)變等；有時可經(jīng)過計算聯(lián)合相像、勾股定理證垂直；（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常有手法：角均分線定理；等腰三角形三線合一，隱蔽角均分線；總而言之，要達成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；直線與半徑的關(guān)系是相互垂直。在證明中的要點是要辦理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)變,要

3、擅長進行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常增添的協(xié)助線.例：方法一：若直線l過O上某一點A，證明l是O的切線，只要連OA，證明OAl就行了，簡稱“連半徑，證垂直”，難點在于怎樣證明兩線垂直.例1如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點的切線交OD延伸線于F.求證：EF與O相切.例2如圖，AD是BAC的均分線，P為BC延伸線上一點，且PA=PD.求證：PA與O相切.證明一：作直徑AE，連接EC.AD是BAC的均分線，DAB=DAC.PA=PD，2=1+DAC.2=B+DAB，1=B.又B=E，1=EAE是O的直徑，0ACEC，E+EAC=90.01+EAC=90.即O

4、APA.PA與O相切.證明二：延伸AD交O于E，連接OA，OE.AD是BAC的均分線，BE=CE，OEBC.0E+BDE=90.OA=OE，E=1.PA=PD，PAD=PDA.又PDA=BDE,01+PAD=90即OAPA.PA與O相切說明：本題是經(jīng)過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識的綜合運用.例3如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.0例4如圖，已知：AB是O的直徑，點C在O上，且CAB=30，BD=OB，D在AB的延伸線上.求證：DC是O的切線2例5如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA=ODOP.求證：PC是O的切線.例6如圖，ABCD

5、是正方形，G是BC延伸線上一點，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.剖析：本題圖上沒有畫出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點，為此我們?nèi)G的中點O，連接OC，證明CEOC即可得解.證明：取FG中點O，連接OC.ABCD是正方形，BCCD，CFG是RtO是FG的中點，O是RtCFG的外心.OC=OG，3=G，ADBC，G=4.AD=CD，DE=DE，0ADE=CDE=45，ADECDE（SAS）4=1，1=3.2+3=900,1+2=900.即CEOC.CE與CFG的外接圓相切方法二：若直線l與O沒有已知的公共點，又要證明l是O的切線，只要作OA

6、l，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”(一般用于函數(shù)與幾何綜合題）例1：如圖，AB=AC，D為BC中點，D與AB切于E點.求證：AC與D相切.剖析：說明：證明一是經(jīng)過證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角均分線的性質(zhì)證明DF=DE的，這種習題多半與角均分線有關(guān).例2：已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若0COD=90.求證：CD是O的切線.證明一：連接OA，OB，作OECD，E為垂足.AC，BD與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，1+2+3+4=1800.0COD=90，2+3=900，1+4=900.4+5=900.1=5.RtAOCRt

7、BDO.ACOC.OBODOA=OB，ACOC.OAOD0又CAO=COD=90，AOCODC，1=2.又OAAC，OECD,OE=OA.E點在O上.CD是O的切線.證明二：連接OA，OB，作OECD于E，延伸DO交CA延伸線于F.AC，BD與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F(xiàn)=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.0COD=90，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E點在O上.CD是O的切線.證明三：連接AO并延伸，作OECD于AC與O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD與O相切于B，AO的延伸線必經(jīng)過點B.AB是O的直徑.ACBD，OA=OB，

8、CF=DF，OFAC，1=COF.0COD=90，CF=DF，E，取CD中點F，連接OF.OF1CDCF.22=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E點在O上.CD是O的切線說明：證明一是利用相像三角形證明1=2，證明二是利用等腰三角形三線合一證明1=2.證明三是利用梯形的性質(zhì)證明1=2，這種方法必要先證明A、O、B三點共線.課后練習：（1）如圖，AB是O的直徑，BCAB，ADOC交O于D點，求CD證：CD為O的切線；ABO（2）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于CD，點E為BC的中點，連接DE，求證：DE是O的切線.DEAOB（3）如圖，以等腰ABC的一腰為直

9、徑作O，交底邊BC于AD，交另一腰于F，若DEAC于E（或E為CF中點），求證：DE是OO的切FE線.BDC（4）如圖，AB是O的直徑，AE均分BAF，交O于點E，過點EA作直線EDAF，交AF的延伸線于點D，交AB的延伸線于點OC，求證：CD是O的切線.BFCED知識點二：與圓有關(guān)的計算計算圓中的線段長或線段比，往常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相像等知識的聯(lián)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。剖析時要要點注意察看已知線段間的關(guān)系，選擇定理進行線段或許角度的轉(zhuǎn)變。特別是要借助圓的有關(guān)定理進行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)變，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。此中重要而常有的數(shù)學思想

10、方法有：1）結(jié)構(gòu)思想：如：建立矩形轉(zhuǎn)變線段；建立“射影定理”基本圖研究線段（已知隨意兩條線段可求其余全部線段長）；射影定理：所謂射影，就是正投影。此中，從一點到一條直線所作垂線的垂足，叫做這點在這條直線上的正投影。一條線段的兩個端點在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投影。由三角形相像的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比率中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比率中項。公式RtABC中,BAC=90,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BDDC,(2)(AB)2;=BDBC,(3)(AC)2;=CDBC。等積式

11、(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)結(jié)構(gòu)垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；結(jié)構(gòu)勾股定理模型（已知線段長度）；結(jié)構(gòu)三角函數(shù)(已知有角度的狀況）;6找不到，找相像（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示要點線段，經(jīng)過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)此中的相等關(guān)系成立方程，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，經(jīng)過基本圖形的解題模型迅速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，從而找出隱蔽的線段之間的數(shù)目關(guān)系。典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是O的直徑，點E、C是O上的兩點，基本結(jié)論有：（1）在“AC均分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切線”三個論斷中，知

12、二推一。（2）如D圖2、3，DE等于D弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（D或弓形ECECECECBCE的半弦EF）。FFAOBAOBAOBAOKB圖1圖2圖3圖4DEC（3）如圖（4）：若CKAB于K，則：GCK=CD；BK=DE；CK=1BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;2AOB圖52ADCACBAC=AD?AB4）在(1)中的條件、中任選兩個條件，當BGCD于E時（如圖5），則：122DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；AD?BG=DG=DC4圖形2：如圖：RtABC中，ACB=90。點O是BAC上一點，以O(shè)CBB為半徑作O交AC于點E，基本結(jié)論有：GDDDGFHFCOE

13、ACOEACAOE圖3圖1圖21）在“BO均分CBA”;“BODE”;“AB是O的切線”;“BD=BC”。四個論斷中，知一推三。（2）G是BCD的CG=GD心里；BCO12CDEBO?DE=CO?CE=CE；23）在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。4）如圖（3），若BC=CE，則：AE=1=tanADE；BC：AC：AD2AB=3：4：5；（在、中知一推二）設(shè)BE、CD交于點H，,則BH=2EH圖形3：如圖：RtABC中，ABC=90,以AB為直徑作O交AC于CD，基本結(jié)論有：DE如右圖：（1）DE切OE是BC的中點；AOB2）若DE切O，則：DE=BE=CE；D、O、B、

14、E四點共圓CED=2A2CDCA=4BE,DECDBCRBDBA圖形特別化：在（1）的條件下如圖1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；CD如圖2：若DE的延伸線交AB的延伸線于點F，若AB=BF，則：ECAOBFDE1;BE1EF3R2DEABO圖形4：如圖，ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O，交BC于點D，交AC于點F，圖2E圖1FCD基本結(jié)論有：AOB1）DEACDE切O；2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；BFEF=EC；D是的中點。與基本圖形1的結(jié)論重合。連AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形5：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于，基本結(jié)論有：ADADADEEG

15、EFOOOFBCBCBC圖3圖1圖2（1）如圖1：AD+BCCD；COD=AEB=90；OD均分ADC（或OC均分BCD）；（注：在、及“CD是O的切線”四個論斷中，知一推三）ADBC1AB2=R2；4（2）如圖2，連AE、CO，則有：COAE，CO?AE=2R2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若EFAB于F，交AC于G，則：EG=FG.圖形6：如圖：直線PRO的半徑OB于E，PQ切O于Q，BQ交直線PQ于R。基本結(jié)論有：BBREPBOQQERAPBQEAPROOEPROQ（1）PQ=PR(PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一2（3）2PRRE

16、=BRRQ=BE2R=AB圖形7：如圖，ABC內(nèi)接于O，I為ABC的心里?；窘Y(jié)論有：2（1）如圖1，BD=CD=ID；DIDEDA；AAOIDEAIB=90+1ACB;OIBEC2BCD圖1圖22）如圖2，若BAC=60，則：BD+CE=BC.圖形8：已知，AB是O的直徑，C是中點，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本結(jié)論有：GFC（1）CD=1BG；BE=EF=CE；GF=2DEHE2ABOD(反之，由CD=1BGBG或BE=EF可得：C是中點)2（2）1，；2（3）BEBG=BDBABC=CG=AG（4）若D是OB的中點，則：CEF是等邊三角形；典范解說：例題1：ABP中，ABP

17、=90，以AB為直徑作O交AP于C點，弧CF=CB，過C作AF的垂線，垂足為M，MC的延伸線交BP于D.1）求證：CD為O的切線；2）連BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF的值。AF例題2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB為直徑的圓交BC于E，連OC、BD交于F.求證：CD為O的切線若BE3，求BF的值A(chǔ)B5DFADOFBEC例題3：如圖，AB為直徑，PB為切線，點C在O上，ACOP。（1）求證：PC為O的切線。（2）過D點作DEAB，E為垂足，連AD交BC于G，CG=3，DE=4，求DG的值。DB例題4（2009調(diào)考）：如圖，已知ABC中，以邊BC為直徑的O與

18、邊AB交于點D，點E為的中點，AF為ABC的角均分線，且AFEC。1）求證：AC與O相切；2）若AC6，BC8，求EC的長ADEHBOFC家庭練習：BD=DE1如圖，RtABC，以AB為直徑作O交AC于點D，過D作AE的垂線，F(xiàn)為垂足.1）求證：DF為O的切線；2）若DF=3，O的半徑為5，求tanBAC的值.FCDEAOBAD=DC2如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點，過D作直線BC的垂線交直線AB于點E，F(xiàn)為垂足.FDC（1）求證：EF為O的切線；EAOB（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.3如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延伸線上一點，過D作O的切線，E為切點，連接CE交AB于點F.1）求證：DE=DF；（2）連接AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.CAFBDOE4如圖，RtABC中，C=90，BD均分ABC，以AB上一點O為圓心過B、D兩點作O，O交AB于點一點E，EFAC于點F.1）求證：O與AC相切；2）若EF=3，BC=4，求tanA的值.BOEAFDC5如圖，等腰ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點D，DEAC于E.（1）求證：DE為O的切線；（2）若BC=45，AE=1，求cosAEO的值.C