結(jié)構(gòu)力學(xué)-6影響線及應(yīng)用

1、第十章 影響線及其應(yīng)用第十一章 影響線及其應(yīng)用101 影響線的概念102 用靜力法作單跨靜定梁的影響線103 間接荷載作用下的影響線104 用機(jī)動(dòng)法作單跨靜定梁的影響線105 多跨靜定梁的影響線106 桁架的影響線107 利用影響線求量值108 鐵路和公路的標(biāo)準(zhǔn)荷載制109 最不利荷載位置1010 換算荷載1011 簡支梁的絕對(duì)最大彎矩1012簡支梁的包絡(luò)圖101 影響線的概念1. 問題的提出 工程結(jié)構(gòu)除了承受固定荷載作用外，還要受到移動(dòng)荷載的作用。例如：見圖。在移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力將隨著荷載位置的移動(dòng)而變化，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，必須求出移動(dòng)荷載作用下反力和內(nèi)力的最大值。返 回 為了解決

2、這個(gè)問題，需要研究荷 載移動(dòng)時(shí)反力和內(nèi)力的變化規(guī)律。然 而不同的反力和不同截面的內(nèi)力變化 規(guī)律各不相同，即使同一截面，不同 的內(nèi)力變化規(guī)律也不相同，解決這個(gè) 復(fù)雜問題的工具就是影響線。返 回2. 最不利荷載位置 某一量值產(chǎn)生最大值的荷載位置，稱為最不利荷載位置。例如：見圖。ABRAP 工程中的移動(dòng)荷載通常是由很多間距不變的豎向荷載所組成，其類型是多種多樣的，不可能逐一加以研究。 為此，可先只研究一種最簡單的荷載，即一豎向單位集中荷載 P=1沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，對(duì)某量值產(chǎn)生的影響，然后據(jù)疊加原理可進(jìn)一步研究各種移動(dòng)荷載對(duì)該量值的影響。例如：見圖。1231P=1P=1P=1P=1P=1 這樣所得的圖形就

3、表示了 P=1在梁上 移動(dòng)時(shí)反力 RA的變化規(guī)律，這一圖形就稱為反力 RA的 影響線。03/41/21/4返 回3. 影響線的定義 當(dāng)一個(gè)指向不變的單位集中荷載（通常是豎直向下）沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，表示某一指定量值變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。 某量值的影響線一經(jīng)繪出，就可以利用它來確定最不利荷載位置，應(yīng)用疊加法求出該量值的最大值。RA的影響線ABRAP1231P=1P=1P=1P=1P=103/41/21/4返 回102 用靜力法作單跨靜定梁的影響線1. 繪制影響線的基本方法：2. 靜力法： 將荷載 P=1放在任意位置，并選定一坐標(biāo)系，以橫坐標(biāo) x表示荷載作用點(diǎn)的位置，然后根據(jù)靜力平衡條件求

4、出所求量值與荷載位置 x之間的函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系式稱為影響線方程，再根據(jù)方程作出影響線圖形。靜力法和機(jī)動(dòng)法。返 回3. 簡支梁的影響線（1）反力影響線由MB=0 有 RALP(Lx)=0得 RA=P(0 xL)當(dāng)x=0, RA=1x=L, RA=0RA影響線1RA影響線RB影響線由MA=0 有RBLPx=0RB=(0 xL)當(dāng)x=0, RB=0 x=L, RB=1RB影響線1yKxRARBP=1K00返 回P=1（2）彎矩影響線繪制 MC的影響線當(dāng) P=1在截面C以左移動(dòng)時(shí),取截面C以右部分為隔離體MC=RBb=(0 xa)即MC影響線的左直線。當(dāng)x=0, MC=0 x=a, MC=b當(dāng) P=

5、1在截面C以右移動(dòng)時(shí),取截面C以左部分為隔離體MC=RAa=(axL)即MC影響線的右直線。當(dāng)x=a, MC=x=L, MC=0ab/L左直線右直線11右直線左直線xx MC影響線 QC影響線ab/LP=1x0繪制 QC的影響線（3）剪力影響線當(dāng) P=1在AC段上移動(dòng)時(shí), 取截面 C以右部分為隔離體QC=RB (0 xa)為 QC的左直線。當(dāng) P=1在CB段上移動(dòng)時(shí),取截面 C以左部分為隔離體QC=RA(axL) (右直線)P=1RAabCRBxP=1-返 回4. 伸臂梁的影響線（1）反力影響線P=1x由平衡條件求得RA=RB=(-L1x L+L2)11 （2）跨內(nèi)部分截面內(nèi)力影響線MC、QC

6、影響線 當(dāng) P=1在DC段移動(dòng)時(shí)，取截面C以右部分為隔離體 有MC=RBbQC=RB1 當(dāng) P=1在CE段移動(dòng)時(shí)，取截面C以左部分為隔離體 有MC=RAaQC=RAab1 RA影響線 RB影響線 MC影響線 QC影響線RARBabEDABCP=1x返 回(3)伸臂部分截面內(nèi)力影響線 繪制MK、QK影響線當(dāng)P=1在DK 段上移動(dòng)時(shí)KDEP=1x取K以左為隔離體MK=xQK=1dd1 MK影響線 QK影響線當(dāng)P=1在KE 段上移動(dòng)時(shí)取K以左為隔離體P=1MK=0QK=0繪制QA左影響線1 QA左影響線繪制QA右影響線11 QA右影響線0返 回103 間接荷載作用下的影響線1.間接荷載（結(jié)點(diǎn)荷載）

7、橋梁結(jié)構(gòu)的縱橫梁橋面系統(tǒng)中的主梁受力簡圖如圖所示。主梁橫梁（結(jié)點(diǎn)）縱梁 計(jì)算主梁時(shí)通常假定縱梁簡支在橫梁上，橫梁簡支在主梁上。荷載直接作用在縱梁上，再通過橫梁傳到主梁，即主梁承受結(jié)點(diǎn)荷載。這種荷載稱為間接荷載或結(jié)點(diǎn)荷載。 P返 回2. 間接荷載影響線的繪制方法以繪制MC影響線為例P=1 （1）首先，將P=1移動(dòng)到各結(jié)點(diǎn)處。P=1 其MC與直接荷載作用 在主梁上完全相同。MC影響線yDyE （2）其次，當(dāng)P=1在DE間移動(dòng)時(shí)， 主梁在D、E處分別受到結(jié)點(diǎn)荷載及的作用。xd 設(shè)直 接荷載作用下MC影響線在D、 E處的豎標(biāo)為 yD、yE ， 在上述兩結(jié)點(diǎn)荷載作用下MC值為y=（直線方程）x=0, y

8、=yDx=d, y=yEyP=1P=1CDABEP=1返 回3. 結(jié) 論繪制間接荷載作用下影響線的一般方法：（1）首先作出直接荷載作用下所求量值的影響線。 （2）然后取各結(jié)點(diǎn)處的豎標(biāo)，并將其頂點(diǎn)在每一縱梁范圍內(nèi)連成直線。例題P=1RB影響線MK影響線aQK影響線（練習(xí)）a10K返 回104 用機(jī)動(dòng)法作單跨靜定梁的影響線 靜力法和機(jī)動(dòng)法是作影響線的兩種基本方法。1.機(jī)動(dòng)法的依據(jù) 虛位移原理：虛位移原理 即剛體體系在力系作用下處于平衡的必要和充分條件是：在任何微小的虛位移中，力系所作的虛功總和等于零。返 回2. 機(jī)動(dòng)法簡介以簡支梁為例。 作反力RA的影響線，為求反力RA，去掉與其相應(yīng)的聯(lián)系即A處的

9、支座，以正向反力代替。RA 此時(shí)，原結(jié)構(gòu)變成了有一個(gè)自由度的幾何可變體系，給此體系微小虛位移。A虛功方程為RAA+PP=0PRA=BA令A(yù)=1RA=P此時(shí)，虛位移圖P便代表了RA的影響線。P=1AB1返 回3 .機(jī)動(dòng)法 由前面分析可知，欲作某一反力或內(nèi)力X的影響線， 只需將與X相應(yīng)的聯(lián)系去掉，并使所得體系沿X的正向發(fā) 生單位位移，則由此得到的荷載作用點(diǎn)的豎向位移圖即 代表 X 的影響線。這種作影響線的方法便稱為機(jī)動(dòng)法。 機(jī)動(dòng)法的優(yōu)點(diǎn)在于不必經(jīng)過具體計(jì)算就能迅速繪出影響線的輪廓。 例：用機(jī)動(dòng)法繪MC影響線ABCabMCMCABCP=1A1P令 +=1= aaMC(+)+PP=0解：)()1返 回

10、105 多跨靜定梁的影響線 1. 多跨靜定梁影響線繪制步驟 首先分清多跨靜定梁的基本部分和附屬部分及其傳力關(guān)系，再利用單跨靜定梁的已知影響線，多跨靜定梁的影響線即可繪出。 2. 舉例說明 首先分析幾何組成并繪層疊圖。KaL當(dāng)P=1在CE段上移動(dòng)時(shí)MK影響線與CE段單獨(dú)作為一伸臂梁相同。MK影響線當(dāng)P=1在AC段上移動(dòng)時(shí)MK=0當(dāng)P=1在EF段上移動(dòng)時(shí)RF此時(shí)CE梁相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)E處受到VE的作用VE=故MK影響線在EF段為直線。a繪制MK的影響線繪制QB左的影響線按上述步驟繪出QB左影響線如圖。0VEP=1101QB左影響線P=1xE返 回3. 結(jié)論 由上可知，多跨靜定梁反力及內(nèi)力影響線的一般作

11、法如下： （1）當(dāng)P=1在量值本身梁段上移動(dòng)時(shí)，量值的影響線與相應(yīng)單跨靜定梁相同。 （2）當(dāng)P=1在對(duì)于量值所在部分來說是基本部分的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值影響線的豎標(biāo)為零。 （3）當(dāng)P=1在對(duì)于量值所在部分來說是附屬部分的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值影響線為直線。 此外，用機(jī)動(dòng)法繪制多跨靜定梁的影響線也是很方便 的（課后自行練習(xí)）。返 回MC影響線83000MK影響線QC左影響線0QC右影響線1111.500習(xí)題 1010返 回106 桁架的影響線 1. 單跨靜定桁架，其支座反力的計(jì)算與單跨靜定梁相同，故二者反力影響線相同。 2. 用靜力法作桁架內(nèi)力影響線，其計(jì)算方法與桁架內(nèi)力的計(jì)算方法相同，同樣分為結(jié)點(diǎn)法

12、和截面法，不同的是作用的是 P=1的移動(dòng)荷載，只需求出P=1在不同位置時(shí)內(nèi)力的影響線方程。 下面以簡支桁架為例，說明桁架內(nèi)力影響線的繪制方法。返 回3. 作桁架的影響線解：繪S12影響線 用力矩法，作- 截面。當(dāng)P=1在A1間移動(dòng)時(shí)P=1P=1AB取右部為隔離體，由M5=0 有RARBRB5dS12h=0S12=RBS12影響線當(dāng)P=1在2B間移動(dòng)時(shí)取左部為隔離體，P=1P=1由M5=0 有RA3dS12h=0S12=RA當(dāng)P=1在節(jié)間（1-2）內(nèi)移動(dòng)時(shí)，S12的影響線為一直線。返 回107 利用影響線求量值 前面討論了影響線的繪制方法。從本節(jié)開始研究影響線的應(yīng)用。首先討論如何利用影響線求量值

13、。1. 集中荷載 某量值的影響線已經(jīng)繪出，有若干個(gè)集中荷載作用 在已知位置。P1P2Pny1y2yn據(jù)疊加原理S=P1y1+P2y2+Pnyn=Piyi (61) 若集中力作用在影響線某一直線范圍內(nèi)，則有S影響線S影響線y1y2ynox1x2S=P1y1+P2y2+Pnyn0=(P1x1+P2x2+Pnxn)tg=tgPixi據(jù)合力矩定理Pixi=R故有S=Rtg=R(62)R返 回2. 分布荷載qxabS影響線 將分布荷載沿長度分成許多無窮小的微段，dxy 每一微段dx上的荷載為 qxdx，S=當(dāng)為均布荷載（q=常數(shù)）（63）S=(64）qS影響線式中表示影響線在均布荷載范圍內(nèi)面積的代數(shù)和。

14、abqxdx 則ab區(qū)段內(nèi)分布荷載產(chǎn)生的影響量返 回108 公路標(biāo)準(zhǔn)荷載制 公路上行駛的汽車、拖拉機(jī)等類型繁多，載運(yùn)情況復(fù)雜，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)不可能 對(duì)每種情況都進(jìn)行計(jì)算，而是以一種統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)荷載來進(jìn)行設(shè)計(jì)。這種標(biāo)準(zhǔn)荷載是經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析制定出來的，它既概括了當(dāng)前各類車輛的情況，又適當(dāng)考慮了將來的發(fā)展。 我國公路橋涵設(shè)計(jì)使用的標(biāo)準(zhǔn)荷載，分為計(jì)算荷載和驗(yàn)算荷載兩種。 計(jì)算荷載以汽車車隊(duì)表示，有汽車10級(jí)、汽車15級(jí)、汽車20級(jí)和汽車超20級(jí)四個(gè)等級(jí)（見書上圖6-22）。驗(yàn)算荷載有履帶50、掛車80、掛車100和掛車120等四種。返 回109 最不利荷載位置 最不利荷載位置： 使某一量值發(fā)生最大（或最小）值

15、的荷載位置，即為最不利荷載位置。 在移動(dòng)荷載作用下的結(jié)構(gòu)，各種量值均隨荷載位置的變化而變化，設(shè)計(jì)時(shí)必須求出各種量值的最大值（或最小值）。為此，要首先確定最不利荷載位置。下面分幾種情況討論。1. 一個(gè)集中荷載最不利荷載位置可直觀判斷。S影響線PSmaxPSmin返 回2. 可以任意布置的均布荷載（如人群、貨物等）由式S=q可知S影響線SmaxSmin 3. 行列荷載 ： 行列荷載的最不利荷載位置難于直觀判定。 但據(jù)最不 利荷載位置的定義可知，當(dāng)荷載移動(dòng)到該位置時(shí)，所求 量值S最大，因而荷載由該位置不論向左或向右移動(dòng)到 鄰近位置時(shí)，S值均將減小。因此，下面從討論荷載移 動(dòng)時(shí)S的增量入手解決這個(gè)問題

16、。 一系列間距不變的移動(dòng)集中荷載返 回設(shè)某量值S的影響線如圖所示xyS影響線12 現(xiàn)有一組集中荷載處于圖示位置，R1R2Rny1y2yn 所產(chǎn)生的影響量S1為S1=R1y1+R2y2+Rnyn當(dāng)整個(gè)荷載組向右移動(dòng)x時(shí)，xy1xxy2ynn相應(yīng)的量值為S2S2=R1(y1+y1)+R2(y2+ y2)+Rn(yn+yn)故S的增量S=S2S1=R1y1+R2y2+Rnyn=R1x tg1+R2x tg2 +Rnx tgn=xRi tgi則=Ri tgi返 回=Ri tgi 當(dāng)S有極大值時(shí)，載荷自該位置左移或右移x后S將減小，即S0。由于左移時(shí)x0,右移時(shí)x0,故S有極大值時(shí)荷載左移，Ri tgi

17、0荷載右移，Ri tgi0(105）同理，S有極小值時(shí)荷載左移，Ri tgi0荷載右移，Ri tgi0(10 5）總之，荷載向左、右移動(dòng)微小距離后，Ri tgi變號(hào)，S才可能有極值。返 回 那末，在什么情況下Ri tgi才可能變號(hào)？式中 tgi是各段影響線的斜率，它是常數(shù)，并不隨荷載移動(dòng)而變號(hào)。故引起變號(hào)就是各段上的合力Ri的數(shù)值發(fā)生變化，顯然只有當(dāng)某一集中荷載恰好作用在影響線的某一個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)，才有可能。我們把能使Ri tgi變號(hào)的集中荷載稱為臨界荷載，此時(shí)的荷載位置稱為臨界荷載位置。式（105）、（105）稱為臨界荷載位置判別式。 確定臨界位置一般采用試算法。在一般情況下，臨界位置可能不止一

18、個(gè)，這就需將與各臨界位置相應(yīng)的S極值均求出，從中選出最大（最?。?值，相應(yīng)的荷載位置就是最不利荷載位置。返 回 為了減小試算次數(shù)，可事先大致估計(jì)最不利荷載位置，對(duì)于常用的三角形影響線，abh 臨界位置判別式可進(jìn)一步簡化，設(shè)臨界荷載 Pcr處于三角形影響線的頂點(diǎn)，RaPcrRb 臨界位置判別式為：荷載左移(Ra+Pcr)tgRbtg0荷載右移Ratg(Pcr+Rb)tg0將tg=和tg=代入，得（66）這就是三角形影響線判別臨界位置的公式，可以形象理解為：把 Pcr歸到頂點(diǎn)哪一邊，哪一邊的平均荷載就大。 返 回 對(duì)于均布荷載跨過三角形影響線頂點(diǎn)的情況，abhRaRb可由的條件來確定臨界位置。此時(shí)

19、有Ritgi=得（67）即左、右兩邊的平均荷載相等。直角三角形影響線上面諸式不適用。返 回 4 .例題：求圖示簡支梁在汽車10級(jí)荷載作用下 截面C的最大彎矩。ABC40m15m25m解：作Mc影響線15938 首先考慮車隊(duì)右行將重車后輪置于頂點(diǎn)。1003070kN5070306m4541542375625788225075按式（66)計(jì)算有故，這是臨界位置其他行駛位置不必考慮。 其次再考慮車隊(duì)調(diào)頭向左行駛。將重車后輪置于影響線頂點(diǎn)。有故這又是一臨界位置，其它情況也不必考慮。 根據(jù)上述兩 種臨界位置，可 分別算出相應(yīng)的 MC值。經(jīng)比較得 右行時(shí)MC值大， 故：MCmax=703.75+ 306.

20、25+100 9.38+507.88+ 702.25+30 0.75=1962kNm返 回1010 換算荷載 在移動(dòng)荷載作用下，求結(jié)構(gòu)上某一量值的最大（最小）值，一般先通過試算確定最不利荷載位置，然后求出相應(yīng)的量值，計(jì)算較為麻煩。在實(shí)際工作中，為了簡化計(jì)算，可利用編制好的換算荷載表。換算荷載表：是指這樣一種均布荷載K，它產(chǎn)生的某一量值，與所給移動(dòng)荷載產(chǎn)生的該量值的最大值Smax相等，即K=Smax由此式可求出任何移動(dòng)荷載的等效荷載。返 回例題：ABC40m15m25m15938 據(jù)題103的彎矩MCmax，求汽車10級(jí)的換算荷載。K=MC影響線MCmax=19622140 9.38=10.5k

21、Nm返 回 換算荷載的數(shù)值與移動(dòng)荷載及影響線的形狀有關(guān)。但對(duì)豎標(biāo)成固定比例的各影響線，其換算荷載相等。y1y2=ny1證明如下 設(shè)有兩影響線的豎標(biāo)按同一比例變化，即 y2=ny1從而可知2=n1于是有K2= 長度相同、頂點(diǎn)位置也相同，但最大豎標(biāo)不同的各三角形影響線是成固定比例的，故用同一換算荷載。換算荷載表（部分）見下頁。12返 回汽車10級(jí)的換算荷載（kN/m每列車） 跨徑或荷載 長 度（m） 影 響 線 頂 點(diǎn) 位 置 （標(biāo)準(zhǔn)荷載）端 部1/8 處1/4 處3/8 處跨 中 120002000200020002000 210001000100010001000 3 667 667 667

22、667 667 4 500 500 500 500 500 6 389 373 352 333 333 8 313 304 292 275 250 10 260 254 247 236 220 13 215 204 199 193 194 16 189 180 169 173 170 20 171 160 158 161 152 25 149 142 141 143 137 30 133 127 126 127 123 35 125 115 114 114 111返 回 例104 利用換算荷載表計(jì)算在汽車10級(jí)荷載作用下圖示簡支梁截面C的最大（?。┘袅蛷澗?。ABC20m15m5m解：1. 作

23、QC、MC影響線153.75MC影響線110.250.75QC影響線2. 計(jì)算MCmaxL=20m5/20=1/4由表查得K=158MC影響線面積=1/237520 =375于是MCmax=K =158375=5905kNm3. 計(jì)算QCmax取正號(hào)三角形計(jì)算，從表中查的L=4m K=50.0L=5m K=？L=6m K=38.9K=44.5QCmax=K=44.51/250.25=27.8kN4 .計(jì)算QCmin（略作為課后習(xí)題） 由直線內(nèi)插法求得返 回關(guān)于內(nèi)插法的說明abcK1K2Kh1h2hK=K2 +h1 + h2h2 ( K1+K2)=h1 + h2K1h2+K2h1返 回1011簡支梁的絕對(duì)最大彎矩1. 絕對(duì)最大彎矩： 梁的各截面最大彎矩中的最大者，稱為絕對(duì)最大彎矩。2. 確定絕對(duì)最大彎矩的一般方法須解決：（1）絕對(duì)最大彎矩發(fā)生的截面；（2）該截面發(fā)生最大彎矩的荷載位置。 應(yīng)逐個(gè)截面計(jì)算最大彎矩，然后加以比較。即使取 有限個(gè)截面計(jì)算也是較繁瑣的。 當(dāng)梁上作用的荷載是集中荷載時(shí)，問題可以簡化。 在集中荷載作用下，彎矩圖的頂點(diǎn)總是在集中荷載作用 處，可以斷定絕對(duì)最大彎矩必定發(fā)生在某一集中荷載作 用點(diǎn)處截面上。 余下的問題只是確定它發(fā)生在哪一個(gè)荷載作用點(diǎn)處 及該點(diǎn)位置。返 回3 . 集中