量子無(wú)窮多粒子系統(tǒng)的時(shí)間不可逆

1、量子無(wú)窮多粒子系統(tǒng)的時(shí)間不可逆性無(wú)窮格點(diǎn)場(chǎng)力學(xué)量 *代數(shù)的表示理論及動(dòng)力學(xué)時(shí)間反演對(duì)稱性的自發(fā)破缺1問(wèn)題的提出非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理(或熱力學(xué))的基本問(wèn)題是：充分多粒子系統(tǒng)的時(shí)間單向性與粒子微觀遠(yuǎn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間可逆性。典型的討論途徑是：Fock空間 HF = nH1n + 二次量子化 + 熱力學(xué)極限,(或再引入某些“統(tǒng)計(jì)假設(shè)”)，但都未能根本解決問(wèn)題。無(wú)法確切判斷用各種方法求得的有限宏觀耗散結(jié)果(例如有限、非零的輸運(yùn)系數(shù))是否正確，或正確解的近似。2問(wèn)題的提出一般認(rèn)為：復(fù)雜系統(tǒng)是由大量相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成，但表現(xiàn)出的一些特性卻很難由子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)理解。流體的復(fù)雜宏觀現(xiàn)象(如流、渦流等“自組織行為”

2、)都可從：N-S方程及外界條件得到。N-V方程的關(guān)鍵是有非線性流動(dòng)項(xiàng)及耗散項(xiàng)(如熱導(dǎo)、擴(kuò)散等)。耗散性是由多粒子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)破壞了時(shí)間反演不變而得到。理解復(fù)雜系統(tǒng)至少必須：了解系統(tǒng)的宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律，了解子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的某些守恒律的“自發(fā)破缺”。3Thermal convection as a prototype of Self-organization phenomena in PhysicsBnard, Henri. 1900. Les Tourbillons Cellulaires dans une Nappe Liquide, Rev. General Science Pur. Appl. Vol

3、. 11:1261-1271.Plate at T1 H2OPlate at T2T2 Tc T19/21/20224The picture (on right) was taken over ten seconds, so the aluminum flakes in the fluid look like long trails instead of small particles. This helps to visualize how the fluid is moving: up through the center of the cell, then spreading out a

4、nd sinking at the edges of the cell.Fig.5問(wèn)題的提出討淪復(fù)雜系統(tǒng)首要確定的是“觀測(cè)者的位置”在系統(tǒng)外：將系統(tǒng)看成一整體，討論整體運(yùn)動(dòng)。如愛(ài)因斯坦的“宇宙模型”；Fock空間+熱力學(xué)極限是典型例子。在系統(tǒng)內(nèi)：討論其中任一局部的行為。這是統(tǒng)計(jì)物理的基本思想，也是量子場(chǎng)論中局或場(chǎng)理論的出發(fā)點(diǎn)。系統(tǒng)是由充分多“局部”構(gòu)成，只知道局部尺度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并不知“局部”之外的具體情況。無(wú)窮多自由度系統(tǒng)。6量子無(wú)窮多粒子系統(tǒng)(QSINP)的描述非相對(duì)論、短程二體作用。空間任一點(diǎn)上粒子密度有限，QSINP的量子場(chǎng)函數(shù) (x)是無(wú)窮空間C0類(lèi)(而非L2類(lèi))函數(shù)?？紤]粒子應(yīng)有有

5、限大小(場(chǎng)論中的“正則化”或“消除紫外發(fā)散”)，應(yīng)用無(wú)窮空間格點(diǎn)場(chǎng)： (I) , * (I) = x3I,I (I) , (I) = 0 I=i1, i2, i3,7量子無(wú)窮多粒子系統(tǒng)(QSINP)的描述可將 I=i1, i2, i3, 整成一維整數(shù)列I,I=0,1,2, QSINP 則是“可列無(wú)窮”多自由度系統(tǒng)。每亇自 由度 上有場(chǎng)算子：*(I),(I)。量子格點(diǎn)場(chǎng)是三維格點(diǎn)平移不變的。只應(yīng)該是“實(shí)空間”的格點(diǎn)場(chǎng)，不能是動(dòng)量或其它空間。8格點(diǎn)上的Stone-Van Neumann定理每亇格點(diǎn)，以格點(diǎn)算子：*(I),(I)作為生成元構(gòu)造格點(diǎn)代數(shù)R(I)。R(I)的組元為格點(diǎn)力學(xué)量。據(jù)Stone

6、-von Neumann定理，R(I)只有唯一的不等價(jià)、不可約表示 N(I) ,H(I)。 N(I)與R(I)同構(gòu)。Hilbert空間H(I)，由正交完備基組：(I,n)n (I)(I,0)= 0, *(I)(I)(I,n)= n(I,n), (I,n),(I,n)= 1, n =0,1,2, 構(gòu)成 H(I)中任一組元，稱為格點(diǎn)態(tài)矢(I)9QSINP的力學(xué)量 *代數(shù)R在QSINP中，有限個(gè)自由度構(gòu)成子系統(tǒng)的力學(xué)量是有限的，才是可以計(jì)算的，因此QSINP的任一力學(xué)量 都是由有限個(gè)格點(diǎn)上的格點(diǎn)力學(xué)量(R(I)的組元集合而成。這也是所有非平銜態(tài)統(tǒng)計(jì)理論的基本出發(fā)點(diǎn)。QSINP所有力學(xué)量的集合R中定義

7、： 加法：a(I),a(J)+b(J),b(k)=a(I),a(J)+b(J),b(k); 乘法： a(I),a(J) b(J),b(k)=a(I),a(J) b(J),b(k)。 是“ *代數(shù)”由于QSINP有無(wú)窮多自由度，R不可度量，不是“ C *代數(shù)”。10QSINP的態(tài)矢及態(tài)矢空間QSINP的“全純態(tài)矢” :是無(wú)窮格點(diǎn)態(tài)矢列n(I)I ,其中n(I)是舊一化的格點(diǎn)態(tài)矢。全純態(tài)矢，1只在有限個(gè)格點(diǎn)上的歸一化格點(diǎn)態(tài)矢不同, 與1等價(jià)。無(wú)窮格點(diǎn)態(tài)矢列f1只在有限個(gè)格點(diǎn)上與全純態(tài)矢有不同的格點(diǎn)態(tài)矢（但不一定歸一），則稱為與等價(jià)的“純態(tài)矢”。所有與等價(jià)的全純態(tài)矢構(gòu)成集合D。所有與等價(jià)的純態(tài)矢全體

8、構(gòu)成集合H(包括 D)。在 H 中定義數(shù)乘及加法：舊一格點(diǎn)態(tài)矢數(shù)乘后不變，加法中只有與 分量不同的分量相加。 H是線性空間。11QSINP的態(tài)矢及態(tài)矢空間在H中定義f1與f2的內(nèi)積為所有格點(diǎn)分量?jī)?nèi)積的無(wú)窮乘積。只有有限亇因子不為1。內(nèi)積值 ( f1,f2)有限。由內(nèi)積可定義f1的模。H是Hilbert空間，其上線性變換全體為N 可以證明，若1與2分屬兩不等價(jià)的 H1與H2 ，則二者正交： (1，2)=0存在無(wú)窮多個(gè)不等價(jià)的全純態(tài)矢類(lèi)，因而也存在無(wú)窮多個(gè)不等價(jià)的Hilbert空間，構(gòu)成純態(tài)矢空間。12R的GNS構(gòu)造根據(jù)Stone-von Neumann定理， N與R同構(gòu)。N , H 是R的一亇局

9、域不可約表示(D 或 H只是全純態(tài)，或純態(tài)空間，的一部分)。稱為R與相聯(lián)系的GNS構(gòu)造。QSINP的力學(xué)量 *代數(shù)R有無(wú)窮多個(gè)不等價(jià)、不可約的GNS構(gòu)造N , H ，分別與無(wú)窮多不等價(jià)的全純態(tài)矢相聯(lián)系。13QSINP的動(dòng)力學(xué)QSINP是非相對(duì)論、二體短程相互作用的量子無(wú)窮多粒子系統(tǒng)QSINP的無(wú)窮格點(diǎn)場(chǎng)理論中，力學(xué)量 *代數(shù)R中包括在各點(diǎn)上的粒子密度、動(dòng)量密度、自由動(dòng)能密度等算子，如: N(I) =* (I) (I)。 但系統(tǒng)總哈密頓 H = Ho + H = I Ho (I) x3 + I | J I | 0)，其時(shí)間逆向過(guò)程由全純態(tài)矢T出發(fā)，在與N, H不等價(jià)的另一GNS構(gòu)造NT, HT中

10、。由于沒(méi)有動(dòng)力學(xué)手段(R中的組元)，能使N, H中的動(dòng)力學(xué)過(guò)程超出N, H ，因此在N, H中的動(dòng)力學(xué)過(guò)程是時(shí)間不可逆的。N, H 與 NT, HT合構(gòu)成時(shí)間反演變換群的二維表示。17GNS構(gòu)造中動(dòng)力行為的漸近分析，Master方程在由出發(fā)的GNS構(gòu)造N, H中分析QSINP的動(dòng)力行為(與Van-Hove等在Fock空間分析不同) 1)時(shí)間定向，可討論長(zhǎng)時(shí)間漸近行為； 2)劉維算子譜在復(fù)平面實(shí)軸上真正連續(xù)。 3)如何將 N, H 中時(shí)間不可逆性變?yōu)榭蛇\(yùn)行的 操作(半群)？采用算子代數(shù)及發(fā)散級(jí)數(shù)形式求和方法。劉維方程形式解： T(t) = k=0 (-iLt)k /k!) = Exp(-iLt)

11、 18GNS構(gòu)造中動(dòng)力行為的漸近分析Master方程劉維方程的Resolvent： R(z) = 1/(z-L)= z-1k 0 (L/z)k ，并有 T(t) = C+i0 Exp(-izt) R(z)dz 積分迴路C+i0：19GNS構(gòu)造中動(dòng)力行為的漸近分析Master方程在R內(nèi)有關(guān)宏觀觀測(cè)力學(xué)量構(gòu)成的子空間，引入投影算子：P 及 Q=I-P， P2=P。主要關(guān)心P部分的變動(dòng)： PR(z)P = (1/(z - PLP - E(z)P E(z) = PLQ( 1/(z-QLQ) )QLP計(jì)算P T(t)P: PT(t)P = C+i0 Exp(-izt)P (1/(z-L)Pdz,由于 N

12、也是Hilbert空間, 作為發(fā)散級(jí)數(shù)， (1/(z-L) 對(duì)所有非零實(shí)z值，都是無(wú)界算子，因而L的譜在實(shí)軸上連續(xù)，z=0是分枝點(diǎn)。 20GNS構(gòu)造中動(dòng)力行為的漸近分析Master方程實(shí)軸是被積函數(shù)的割線，解析開(kāi)拓到第二黎曼面，積分迴路補(bǔ)上下半大園，則積分結(jié)果由第二黎曼面下半平面極點(diǎn)的殘數(shù)貢獻(xiàn)?？紤]t0的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為，則只需取最靠近z=0極點(diǎn)z0的貢獻(xiàn)。在弱耦合情況下： z0= PLP+E(PLP-i0)= PLP+PLQ(-i0-(QLQ)-1QLP TP (t)= PT(t)P = Exp( -iz0 t) 最終：TP (t)= PT(t)P = Exp(-i-)t) ， = PLP+P

13、LQ P (1/(QLQ)QLP = PLQ (QLQ)QLP 21Master方程Master方程: dTP(t)/dt = (-i-)TP(t) 是個(gè)正定非負(fù)算子，它的零本征矢應(yīng)該就是平 衡態(tài)。 被稱為耗散算子，表征了GNS構(gòu)造N, H的 時(shí)間不可逆性。Master方程形式上已與初始態(tài)矢及GNS構(gòu)造 N, H無(wú)關(guān)，可看成對(duì)每亇GNS構(gòu)造都成立。也可認(rèn)為它在R(當(dāng)然是在它可度量的局成表示 )上成立。22討論(1)通常量子多體理論是：1)、求解有限多粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)(或認(rèn)為Fock空間是Hilbert空間)；2)、取其小的確定部分的行為；3)、取熱力學(xué)極限。從Fock空間出發(fā)的做法只是將上述三步合并。從無(wú)窮多粒子系統(tǒng)出發(fā)的作法是：求解系統(tǒng)中有限部分的運(yùn)動(dòng)，其周?chē)允菬o(wú)窮多相同的部分，從而得到帶耗散項(xiàng)的、局域運(yùn)動(dòng)的方程。系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)還需考慮整體的初、邊條件。與自洽場(chǎng)方法的區(qū)別是：有限部分周?chē)皇瞧骄鶊?chǎng)。23討論(2)從微觀運(yùn)動(dòng)討論宏觀行為：由于微觀部分應(yīng)該是可度量的，因而不可能確切知道整個(gè)系統(tǒng)及其外情況，系統(tǒng)應(yīng)看成是無(wú)窮大。對(duì)理解大系統(tǒng)而言，觀測(cè)者的位置是至關(guān)重要的。因?yàn)橛^測(cè)者只能了解能夠得到確切驗(yàn)證的“微觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律”，并不應(yīng)該確信能把這些規(guī)律無(wú)限外推到更大尺度