幾何模型（中點、角平分線、手拉手、對角互補）

1、中點模型知識回顧：已知中點類問題處理方法：中線倍長； 作平行線； 作垂直 中線倍長 作平行 作垂直求證中點類問題處理方法:作平行線；作垂直. 作平行 作垂直問題提出:【例1】如圖，AD是ABC的中線. （1）求證：ABAC2AD；（2）若AB=6，AC=4，求AD的取值范圍.探究: 如何轉(zhuǎn)化2倍線段(即2AD)? 如何將分散的線段AB,AC,2AD聚集在同一三角形中?歸納: 倍長AD可將2AD轉(zhuǎn)化為一條線段；對于證明有關(guān)線段和差的不等關(guān)系，通常會聯(lián)系到三角形中兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，故可設(shè)法將其置于同一個三角形中證明.中線倍長可起到把分散元素轉(zhuǎn)移集中的作用.通過將中線（或類似于

2、中線）的線段向中點方向延長，使延長的部分線段與中線相等， 思維模式是全等變換中的“中心對稱”或“旋轉(zhuǎn)”.模型探究1:【例2】如圖，已知AD是ABC的中線，且CD=AB，AE是ABD的中線，求證：AC=2AE.【分析】倍長AE得AF，證AC=2AE即證AC=AF，再證ABEFDE即可.模型探究2:【例3】如圖，在ABC中，AD平分BAC，點E，F(xiàn)分別在BD，AD上，且DE=CD，EF=AC. 求證：EFAB.（請嘗試用多種方法證明） 方法1:倍長FD 方法2:倍長AD 方法3:過點C作CGEF 方法4:過點E作EGAC 方法5:過點C作CHAD于點H,過點E作EGAD于點G .模型應(yīng)用1: 如圖

3、，在ABC中，AD平分BAC，點E、F分別在BD、AD上，且EF=AC，EFAB. 求證：DE=CD.模型應(yīng)用2: 如圖，在ABC中，AD平分BAC，點E、F分別在BD、AD上，且DE=CD，EFAB. 求證：EF=AC.模型探究3:【例4】如圖，已知ABAD，ACAE，BADCAE90，AHBC于H，延長HA交DE于F求證：（1）F為DE中點； (2)BC2AF【分析】要證F為DE中點,此時倍長AF無效，過D作DGAE交AF延長線于G，先得DAGABC，再得GFDAFE，從得DFEF.HHHH 模型探究4:【例5】 如圖，已知BD、CE分別是ABC的AC、AB邊上的高，G、F分別是BC、DE

4、的中點求證：GFDE【分析】連接EG、DG,依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明EG=DG,再由等腰三角形三線合一可證GFDE.模型探究5:【例6】 如圖，在ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點M、Q、N求證：MQQN【分析】連接CE、BG,先證BAGEAC,再依據(jù)三角形中位線定理可證MQQN模型應(yīng)用3:如圖，在ACE中，點B是AC的中點，點D是CE的中點，點M是AE的中點，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形求證：FMH是等腰直角三角形角平分線模型知識回顧：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等構(gòu)造模型，為證明邊相等、角

5、相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。 如圖：點P 是MON 的平分線上一點，過點 P 作 PAOM 于點 A，PBON 于點 B。 結(jié)論：PB=PA 問題提出：題中若出現(xiàn)角平分線已知條件，常見輔助線作法如下模型探究1：【例1】（1）如圖，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=6，BD=4，那么點 D到直線 AB 的距離是_； （2）如圖，1=2，3=4。 求證：AP 平分BAC。 【分析】（1）由角平分線模型可知，D到AB的距離等于DC=2.如圖過點P分別作AB、BC、AC三邊的垂線，由角平分線的性質(zhì)可知點P到AB、BC、AC三邊的距離相等, 可證AP 平分

6、BAC模型探究2：【例2】如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB， BC=CD，求證:ADC+B=180.【分析】以角平分線為對稱軸進行翻折，其原理是軸對稱性質(zhì)，實際操作中可以通過截取或作垂直實現(xiàn)元素轉(zhuǎn)移聚集.模型應(yīng)用1：【例3】（1）如圖所示，在ABC中，AD是ABC 的外角平分線，P是AD上異于點 A 的任意一點，試比較 PB+PC 與 AB+AC 的大小，并說明理由； （2）如圖所示， AD 是ABC 的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較 PC-PB 與 AC-AB 的大小，并說明理由。模型應(yīng)用2：【例4】如圖：已知在ABC 中，A=2B，CD 是ACB 的平分線，AC=16，AD=8。

7、求線段 BC 的長。 模型探究3： 【例5】如圖，P 是MON 的平分線上一點，過點 P 作 PQON，交 OM 于點 Q。 結(jié)論：POQ 是等腰三角形。 【分析】有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。 模型應(yīng)用3：【例6】解答下列問題： （1）如圖所示，在ABC 中，EFBC，點 D 在 EF 上，BD、CD 分別平分 ABC、ACB，寫出線段 EF 與 BE、CF 有什么數(shù)量關(guān)系； （2）如圖所示，BD 平分ABC、CD 平分ACG，DEBC 交 AB 于點 E，交 AC 于點 F，線段 EF

8、 與 BE、CF 有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由。 （3）如圖所示，BD、CD 分別為外角CBM、BCN 的平分線，DEBC 交AB延長線 于點 E，交 AC 延長線于點 F，直接寫出線段 EF 與 BE、CF 之間的數(shù)量關(guān)系？ 【分析】由模型可知ED=BE,DF=CF，分別得出圖中線段EF與BE、CF數(shù)量關(guān)系.模型探究4: 【例7】如圖，P 是MON 的平分線上一點，APOP于P點，延長AP交ON于點 B。 結(jié)論：AOB 是等腰三角形?！痉治觥繕?gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等 的直角三角形，進而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和等腰三角形“三線合一”

9、聯(lián)系了起來。 模型應(yīng)用4:【例8】如圖，已知等腰直角三角形 ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分ABC， CEBD，垂足為 E。求證：BD=2CE?！痉治觥咳鐖D延長BA、CE交于點F,則有RtBEFRtBEC：RtBADRtCAF ,BD=CF=2CE模型應(yīng)用5:【例9】如圖，在ABC 中，BE 是角平分線，ADBE，垂足為 D。 求證：2=1+C。手拉手模型知識回顧： 手拉手模型即指共頂點模型，是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合，兩個三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個三角形全等或者相似。 兩等邊三角形 兩等腰直角三角形 兩任意等腰三角形問題提出：在上述圖形中，如何尋找手拉手模型

10、？圖中有哪些相等的邊和角？有哪些全等或相似的三角形？尋找共頂點旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點;（2）列出兩組相等的邊或?qū)?yīng)成比例的邊;（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可.模型探究1:【例1】如圖，分別以ABC的邊AB、AC向外作等邊三角形ABD和ACE，連接BE，CD相交于點P，連接AP求證：BECD；求BPD得度數(shù)；求證：AP平分DPE；【分析】ABD和ACE是共頂點的兩個等邊三角形,構(gòu)成手拉手模型.(1)易證ABEADC（SAS）可得BECD；(2)由ABEADC得ABEADC，BPDBAD60；(3)作AMBE于M，ANCD于N，ABEADC，AM

11、AN，AP平分DPE；【例2】(變式):在例1的條件下，將圖形旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，上三個結(jié)論還成立嗎？請說明理由【解答】（1）（2）兩個結(jié)論依然成立 （3）AP平分DPE的鄰補角，推理方法類比例1模型拓展:在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形ABD和BCE，連接AE與CD，證明：（1）ABEDBC （2）AE=DC（3）AE與DC的夾角為60（4）AGBDFB（5）EGBCFB （6）BH平分AHC（7）GFAC（8）AH=DH+BH , CH=BH+HE（9）BGF等邊三角形（10）四點共圓: A、B、H、D四點共圓, B、F、H、G四點共圓，C、B、H、E四點共圓模型探究2:【例3】如圖

12、1所示:在等腰RtABC和等腰RtADE中,BACDAE90，A、D、C三點在同一直線上，連接BD、CE（1）試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）延長BD交CE于點F，試求BFC的度數(shù)；（3）將ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由【分析】ABC和ADE是共頂點的兩個等腰直角三角形,構(gòu)成手拉手模型.(1)易證ABDACE（SAS），可得BDCE；(2)由ABDACE得ABDACE，BFCBAD90；(3)同理可證（1）、（2）中的結(jié)論仍然成立.模型應(yīng)用1:【例4】已知：如圖，ABC和DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90（1）試探究BD與AE的

13、關(guān)系(數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系),并說明理由.（2）若ABDDAE，AB8，AD6，求四邊形ABED的面積模型探究3：【例5】已知ABC，分別以AB，AC為邊作等腰ABD和等腰ACE，且ADAB，ACAE，DAB=EAC，G，F(xiàn)分別為DC與BE的中點. 圖1 圖2 圖3如圖1，若DAB ，則GAF ，AGF ；如圖2，若DAB45，求AGF的度數(shù)；如圖3，若DAB，試探究AGF與的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.【分析】ABD和ACE是共頂點的兩個等腰三角形,構(gòu)成手拉手模型.第(3)問先證DACBAE，得ADGABF，DCBE由G，F(xiàn)為DC，BE中點，DGBF證DAGBAF，得AGAF，DAGBAF，GAFD

14、AB，AGF=模型拓展:【例6】如圖，AOB和ACD都是等邊三角形，其中ABx軸于E點，點C在x軸上.（1）若OC5，求BD的長度；（2）設(shè)BD交x軸于點F，求證：OFADFA；（3）若正AOB的邊長為4，點C為x軸上一動點，以AC為邊在直線AC下方作正ACD，連接ED，求ED的最小值.圖1 圖2 圖3對角互補模型知識回顧:對角互補模型：在四邊形ABCD中，AC180（或ABCADC180），BD平分ABC，則ADCD（以上條件和結(jié)論可逆） 問題提出：解決對角互補模型問題常用方法有哪些？ 對角互補模型中常見輔助線作法：軸對稱、作垂直、旋轉(zhuǎn)常見類型：1.全等型一90 2.全等型一120 3.全等

15、型一任意角模型探究1：【例1】如圖，在四邊形ABCD中，ABCADC90，BD平分ABC.求證：（1）ADCD （2）ABBCBD （3）S四邊形ABCDBD2【例2】（變式）如圖，ABCADC90，BD是ABC的鄰補角MBC的平分線.求證：（1）ADCD （2）BCABBD （3）SBDCSABDBD2 模型應(yīng)用1：【例3】如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化?請說明理由【分析】當OP在如圖位置時，過O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F，如圖

16、在RtOEG與RtOFH中，EOGHOF，OEOF5，OEGOFH，重疊部分的面積顯然為正方形的面積的，即25，模型探究2：【例4】如圖，在四邊形ABCD中，ACBACD=BAD=60，求證:AB=AD【分析】從軸對稱、旋轉(zhuǎn)、作垂直三個方面入手，通過如下幾種輔助線都可以進行推理。模型探究3：【例5】已知，點P是MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B，且使APB+MON180（1）利用圖1，求證：PAPB；（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當SPOB3SPCB時，求PB與PC的比值；（3）若MON60，OB2，射線AP交ON于點D，且滿足且PBDABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長【分析】（1）作PEOM，PFON，垂足為E、F，易證EPAFPB，即PAPB；（2）S