重點(diǎn)高中物理競賽精品講義之-程稼夫篇

1、精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理電磁學(xué)靜電學(xué)1、靜電場的性質(zhì)個(gè)有源場。靜電場是一個(gè)保守場，也是個(gè)有源場。6Fd=o高斯定理靜電力環(huán)路積分等于零曲EdS=豈Eso電場強(qiáng)度與電勢(shì)是描述同一靜電場的兩種辦法，兩者有聯(lián)系工Edr=U-Uab過程Edr二-dU維情況下Edx=xdUdxe一dUxdx2、幾個(gè)對(duì)稱性的電場維情況下Edx=xdUdxe一dUxdx2、幾個(gè)對(duì)稱性的電場(1)球?qū)ΨQ的電場場源1EU點(diǎn)電荷jI均勻?qū)﹄娗蛎?均勻帶點(diǎn)球體例：一半徑為Ri的球體均勻帶電,體電荷密度為P，球內(nèi)有一半徑為R2的小球形空腔，空腔中心與與球心相距為a，如圖求空腔中

2、心處的電場E求空腔中心處的電勢(shì)U解：(1)在空腔中任選一點(diǎn)p,Ep可以看成兩個(gè)均勻帶電球體產(chǎn)生的電場P3E丄r亠C-7)3E23Ei2oo強(qiáng)度之差,令a=oo12這個(gè)與p在空腔中位置無關(guān)，所以空腔中心處可=滬（2）求空腔中心處的電勢(shì)電勢(shì)也滿足疊加原理U可以看成兩個(gè)均勻帶電球體產(chǎn)生電勢(shì)之差pTOC o 1-5 h z即U=（3R2-a2）R（3R2-0）=R3（R2-R2）a2o26E16E26EL12ooo假設(shè)上面球面上，有兩個(gè)無限小面原sAS，計(jì)算s，受到除了s上電荷之處，球面ijii上其它電荷對(duì)S的靜電力，這個(gè)靜電力包含了S上電荷對(duì)s上電荷的作用力.iji同樣s受到除了s上電荷以外，球面上

3、其它電荷對(duì)s上電荷的作用力，這個(gè)力同jij樣包含了厶s對(duì)s的作用力.ij如果把這里的sis所受力相加，則s,s之間的相互作用力相抵消。jij出于這個(gè)想法，現(xiàn)在把上半球面分成無限小的面元,把每個(gè)面元上所受的靜電力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的電荷對(duì)上半球面上電荷的作用力。電力f=電力f=?o法：F=f兀R2兀R2二出T=o2E2E14兀R2丿oo再觀察下，均勻帶電球面上的電場強(qiáng)度=?通常談?wù)摰谋砻嫔想妶鰪?qiáng)度是指什么？例:求均勻帶電球面（Q,R），單位面積受到的靜解:令RtR+R（R0），質(zhì)量為m，該電子束從遠(yuǎn)處沿垂直于平行板電容極板方向射向電容器，其前端（右端）于t=0時(shí)刻剛好達(dá)到

4、電容器左極板，電容器兩極板上多開一個(gè)小孔使電子可以不受阻礙地穿過電容器兩極板AB，加有如圖所示的變化電SVab，電壓的最大最小值分別為+Vo,_Vo，周期為T,若以工表示每個(gè)周期中電壓處于最大的時(shí)間間隔，則一T）是周期中電壓處于最小的時(shí)間間隔，已知T的值正好使SVab變化的第一個(gè)周期內(nèi)通過電容器達(dá)電容器右邊的所有電子，能夠在某一個(gè)時(shí)刻b形成均勻分布的一段電子束。設(shè)兩級(jí)間距很小,，電子穿越時(shí)間，且mV2二6eVo，不計(jì)電子間相互作用（1）滿足題給條件的T,U的值分別為？（2）試在下圖中畫出t=2T那一刻，在02T時(shí)間內(nèi)通過電容器的電子在電容器的右側(cè)空間形成電流I,隨離開右極板距離x的變化曲線，并

5、在圖上標(biāo)出圖線特征點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。取Xlev正方向?yàn)殡娏髡较颍瑘D中x=0處為右極板B的小孔位置，橫坐標(biāo)單位S=T0m解：（1）第一個(gè)周期內(nèi)通過的所有電子在通過前是一段速度為V的均勻電子束（孔的左側(cè)）。通過小孔以后，分成兩段速度不同的電子束。0T時(shí)間內(nèi)，所加電壓為+V0，通過小孔后速度由V減小，設(shè)為V1,滿足關(guān)系TT時(shí)間內(nèi)，所加電壓為V0，通過小孔后速度由V增大，設(shè)為V2,滿足關(guān)系式，再由題中告知：T的值正好在VAB的變化的第一個(gè)周期內(nèi)通過電容器達(dá)右邊的所有電子，能夠在b時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束V此話要求在tJb時(shí)刻，達(dá)到小孔右側(cè)的這兩束電子束在前端應(yīng)該在某處相重達(dá)到小孔右側(cè)的兩電子束的長

6、度相等由此可寫方程（3）由于tb二2T，觀察的就是這個(gè)時(shí)刻右側(cè)空間的電流分布，應(yīng)該確定兩件事情:電流在空間位置的分布電流強(qiáng)度的大小分布電子束長度4、靜電勢(shì)能、電勢(shì)例1：如圖所示N對(duì)e、-e離子，等間距a,沿直線排列精心整理（1）設(shè)N-a，試確定某個(gè)e的電勢(shì)能W+和-e的電勢(shì)能W_（2）N足夠大時(shí)，W+W_近似取小題（1）的結(jié)論，求系統(tǒng)的電勢(shì)能W（3）N足夠大時(shí)，將非邊緣的一對(duì)離子e、-e一起緩慢地移到無限遠(yuǎn)，其余離子仍在原位，試求外力做的功A.提示ln(1+x)=xx2x3解：(1)U=2+-e+.4兀提示ln(1+x)=xx2x3解：(1)U=2+-e+.4兀a4兀a4兀-3a2）足夠大的N

7、,（4）將一個(gè)正離子緩慢移到無限遠(yuǎn)處，余下系統(tǒng)電勢(shì)能W-W+此時(shí)該正離子的空位相鄰的一個(gè)負(fù)離子的所具有的電勢(shì)能為W=We24兀a再將該負(fù)離子移到無限遠(yuǎn)處，余下系統(tǒng)的電勢(shì)能W二W-W-W1+無限遠(yuǎn)處負(fù)離子移到正離子旁邊，這一對(duì)正負(fù)離子的電勢(shì)能W2=e24兀a利用動(dòng)能關(guān)系，求出外力做功例2如圖兩個(gè)點(diǎn)電荷位于X軸上，在他們形成的電場中，軸上多點(diǎn)的電勢(shì)如圖曲線所示，當(dāng)xT時(shí)，電勢(shì)UTa;當(dāng)乂的坐標(biāo)為x;電勢(shì)極小值為U的點(diǎn)的坐標(biāo)為ax若取無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，則XTa，電勢(shì)UT,電勢(shì)為零（a0），試根據(jù)圖線提供的信息，確定這兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電的符號(hào)，電量的大小以及在X軸的位置。解：由圖中信息可知，帶正電荷的

8、電荷Q1在x=處，由于x點(diǎn)電荷必須為負(fù)（-Q2）.它在x0的位置上（設(shè)距離x=距離為a）利用圖中x=點(diǎn)電勢(shì)為零方程：二x處電勢(shì)為，所以另一個(gè)X在ax處，合電勢(shì)為-U方程X在ax處，合電力等于0,方程聯(lián)立三個(gè)方程得到a二a(a-2)x，Q1axU，Qa-2k2a(a-1)2Ux=a-2k例3：在水平平面上有兩相垂直相交的內(nèi)壁光滑的聯(lián)通細(xì)管，管內(nèi)放置兩個(gè)質(zhì)量均為m，電荷量均為q的同號(hào)帶電質(zhì)點(diǎn)為A、B,初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)A至兩管交點(diǎn)O的距離為d，質(zhì)點(diǎn)B位于交點(diǎn)O處，速度相互垂直，方向如圖，大小均為u二:弩Vmd求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，它們之間的最小距離解：通常，這里應(yīng)該采用兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)處理。設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中，A,B兩

9、質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為rA,rB，則相對(duì)位矢為r二r-rABBA分別寫出A、B兩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程，然后寫出相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程：kq2ma=e(其中a是B相對(duì)A的相對(duì)加速度)r2rB在運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的力只有相反向的靜電力，這個(gè)靜電力是個(gè)有心力，同時(shí)又是一個(gè)保守力上述兩個(gè)方程為角動(dòng)量守恒，守恒量可由初始值確定。初始時(shí)，相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)為右圖，守恒方程聯(lián)系初態(tài)和相距最近狀態(tài)，rm,Vm聯(lián)系消去v,解得rmmdu20du，rrmmdu20du，rr0im解之前利用uo=kq2i5d4聯(lián)立解得v二m例4：電荷均勻分布在半徑為R的圓面上，電荷量的密度為&，試求園面邊緣的電勢(shì)。解：利用u二工k，其中dq=2r6dr(這里6

10、是r的函數(shù))0rmm電勢(shì)和電勢(shì)能例1:當(dāng)電荷連續(xù)分布時(shí)，求靜電能量有兩個(gè)公式W=Xudq，W二udq2試說明這兩個(gè)公式的物理意義，并以平行板電容為例，分別利用上述公式求出它在電容C,蓄電量為Q時(shí)的靜電場。解：(1)利用W=工udq計(jì)算(2)利用W二2工udq計(jì)算乙XUdq=U(-Q),XUdq=U(+Q)一i一+i+導(dǎo)體旁移動(dòng)電荷，求外力做功例1:如圖一個(gè)原來不帶電電荷的同心球殼，內(nèi)外半徑分別為a，b,球心處放一個(gè)點(diǎn)電荷，電量為Q現(xiàn)在用外力把此點(diǎn)電荷從球心移到無限遠(yuǎn)處，求外力做功等于多少？解：由于在Q移動(dòng)過程中，導(dǎo)體球殼表面感應(yīng)電荷變化，所產(chǎn)生的電場不是靜電場，因此需要另外想辦法。初始時(shí)刻，Q

11、未移動(dòng)之前，在Q處，導(dǎo)體球殼內(nèi)，外表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的靜電場有電勢(shì)，其值:（另Q=nq，然后逐個(gè)移動(dòng)q計(jì)算外力做功外力做功之和其中初始吧Q=nq（分散），移到無限遠(yuǎn)，又把nq=Q陳中），合起來做功為零。解法二:如圖外力做功A=Wf-W=Q2,其中C=4ke匹f02C0b-a例2:塊接地?zé)o限大導(dǎo)體平板，離板距離為a處有一個(gè)帶電量為Q的點(diǎn)電荷，現(xiàn)在吧Q沿垂直于板的方向移到無限遠(yuǎn)處，求外力做多少功？解法一：上一例的解法解法二:。解法三：設(shè)移動(dòng)Q過程中離板距離達(dá)到X且移動(dòng)緩慢，移動(dòng)過程中外力始終等于作用在Q上的靜電力，即所以外力做功為電場線例1：計(jì)算在通過導(dǎo)體面上以0為圓心，R為半徑的圓上的電量等于由

12、Q發(fā)出的全部電量一半的條件下，求R=?解：一個(gè)方法是先求出導(dǎo)體面上相對(duì)于0的表明感應(yīng)電荷面密度的分布，求出半徑為R的園面上電量為-2時(shí)，R=?乙這里采用初等方法，由于導(dǎo)體板右側(cè)電場強(qiáng)度分布是由點(diǎn)電荷Q和導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷共同激發(fā)產(chǎn)生，或者等價(jià)的認(rèn)為：導(dǎo)體板右側(cè)電場分布是由點(diǎn)電荷Q及其相應(yīng)的電荷-Q共同激發(fā)產(chǎn)生。由于右側(cè)空間電場強(qiáng)度分布的非球形對(duì)稱性，所以計(jì)算通過導(dǎo)體板上半徑為R的園面上電通量較困難，這是因?yàn)橛覀?cè)的電場，已經(jīng)由Q,-Q兩點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場疊加后形成的分布。這里采用方法是：在計(jì)算通過導(dǎo)體板上園面的電通量寧可不用疊加后的電場計(jì)算，而用疊加前的由Q發(fā)出，由-Q吸收的兩個(gè)球?qū)ΨQ的電場來處理，其

13、結(jié)果顯然是相同的。以Q為球心，r為半徑做一個(gè)球面假設(shè)由Q發(fā)出的電量為N,那么具有球?qū)ΨQ的，由Q發(fā)出的電通量，通過圓的電通量為同樣，由-Q吸收電場線，通過導(dǎo)體上同一個(gè)園面上的電通量必為這個(gè)值，而且通量方向相同。寫出通過圓面電通量的方程：對(duì)應(yīng)的R為：tg二R,R=l3a3a例2:個(gè)半徑為R的接地導(dǎo)體球，球外距球心為d處放置一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷A,已知導(dǎo)體球面上06，區(qū)域的感應(yīng)電荷量為-1q，求0020解：本系統(tǒng)球外有一個(gè)點(diǎn)電荷Q和導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷共同激發(fā)產(chǎn)生的電場分布，或者說球外有一R個(gè)由電荷q及其相應(yīng)的電荷q二-q如圖幾何關(guān)系：q幾何關(guān)系：qd化簡整理得：COS0二善（3R2-d2）例3:點(diǎn)電荷

14、+q和-q（qvq）分別位于x軸上A.B兩點(diǎn)，A,B的距離為L,從+q發(fā)出的某一條電力線與連線AB成a角度，求：（1）求該電場線最終的場線與x軸間的夾角（2）求該電場線或其最終的場線與x軸的交點(diǎn)c的位置解：題給的那條由q發(fā)出的電場線將來去向何處，首先應(yīng)該在q發(fā)出的千萬條電場線中找出一條能達(dá)到B而未達(dá)到B的那條電場線在A發(fā)出時(shí)與AB的夾角a0由于點(diǎn)電荷發(fā)出或者接受的電通量與該電荷的電量成正比，所以在寫電量時(shí)均對(duì)應(yīng)的電量表示，（1）當(dāng)aa時(shí),0q/-解得卩=arccosl(1+cosa)-1q-q當(dāng)aa時(shí)，c點(diǎn)即為B點(diǎn)0如圖,r沁r12APCA中,1-sin0APCA中,1-sin0APCB中,s

15、inQsinQ利用r利用r1r2，sin0sinQ一一eE又（E,E,E,）三角形中，乜二sinUsin甲所以Xi二丁，另一個(gè)方程x-x二Lxq212q,q-q,例4.;兩條均勻帶電的無限平行直線，單位長的電荷量分別為久和-久，相距2a,兩帶電線構(gòu)成的平面為Z-X平面，使Z軸與兩線平行且距離相等，取直角坐標(biāo)，試證明。（1）電勢(shì)為U的等勢(shì)面半徑為r=|k2ka|的圓柱面，其中k二exp2冊(cè)，圓柱的軸線與兩帶電的直線平行且共面，位置在x軸上，x=二a處。0k2一1（2）在X-Y平面上，電場線的方程為X2+y2-by-a2二0，即圓心在y軸上的圓，其中b為常量。證明：本系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)Z軸具有一定對(duì)稱

16、性的系統(tǒng)，即在任意一個(gè)垂直于Z軸平面內(nèi)，電場的分不相同，所以可在X-Y平面內(nèi)討論（1）寫出P（X,Y）點(diǎn)處的電勢(shì)表達(dá)式，設(shè)為Ur2二（x一a）2+y2，r2二（x+a）2+y2+-因?yàn)閗二exp2兀*，整理后的(xk2+(xk2+1k2一1a)2+y22ka2a.條件為ab2ac+beL這個(gè)說明t=0時(shí)產(chǎn)生的第一個(gè)微粒可以到達(dá)A板設(shè)t二0tt二t這段時(shí)間產(chǎn)生微粒正好能全部到達(dá)A板，這里最后產(chǎn)生的那個(gè)微粒剛好能到A板，這個(gè)微粒產(chǎn)生后向A板加速的時(shí)間設(shè)為Atl，則?2=t1+At，求tl,如圖所示找方程,設(shè)加速度a，五個(gè)方程,五個(gè)未知量,聯(lián)立求解得T說明：t=t=-時(shí)刻產(chǎn)生的那個(gè)微粒未到A板14假

17、設(shè)某一個(gè)時(shí)刻產(chǎn)生的一個(gè)微粒，將要到達(dá)但是還未到達(dá)A板，掉過來反向加速，求到達(dá)B板精心整理需要多長？（近A板時(shí)，速度為零）利用題給式子L2=16喘冷TT33T反向向B加速時(shí)間為2-8=8T=3（4）這個(gè)微?？勺銐驎r(shí)間到達(dá)B板，這種情況正好是Tt=-時(shí)，在A板附近的那個(gè)微粒。4TTt=-Tt=-時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的那個(gè)微粒42可以肯定，這些微粒不能到達(dá)A板，而且在距A板前一段距離停止，然后反向加速，反之，那么這些微粒到達(dá)B板需要二1T如圖所示，A板處，在-心的作用下已經(jīng)經(jīng)歷了t，081TOC o 1-5 h zTT而離A板較遠(yuǎn)處開始向B板加速到達(dá)B板時(shí)間將1、無電場。求：管子的振幅A沿線振動(dòng)的周期。解：（1）當(dāng)長度為X（Xv1）的管子進(jìn)入到電場中時(shí)，管子受到的電場力為可見管子進(jìn)入電場的過程中受力與位移大小成正比，與位移方向相反的力作用，管子在這個(gè)階段做簡諧振動(dòng)。（2）設(shè)管子振動(dòng)到振幅位置，管子左（右）端進(jìn)入左（右）電場邊界距離為X，由圖中幾何關(guān)0系2X+L二2A+l0解得X0二A+馬-L2下面分兩種情況討論管子運(yùn)動(dòng)周期當(dāng)xol時(shí)，即振幅位置時(shí)管子已經(jīng)完全進(jìn)入到電場區(qū)域，這種情