重慶康德卷2023學(xué)年高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1函數(shù)圖象的大致形狀是（ ）ABCD2是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象

2、限3函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則（ ）ABCD4給出個數(shù) ，其規(guī)律是：第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大 ，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，以此類推，要計(jì)算這個數(shù)的和現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請?jiān)趫D中判斷框中的處和執(zhí)行框中的處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能( )A；B；C；D；5已知是虛數(shù)單位，若，則實(shí)數(shù)（ ）A或B-1或1C1D6以下關(guān)于的命題，正確的是A函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心D將函數(shù)圖象向左平移需個單位，可得到的圖象7一個四面體所有棱長都是4，四個頂點(diǎn)在同一個球上，則球的表面積為（ ）ABCD8一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為

3、，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（ ）ABCD9要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位10（ ）ABC1D11若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限12已知集合，集合，則（ ）.ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_.14在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為_.15已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_.16已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫

4、出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：點(diǎn)的極角；面積的取值范圍.18（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，如果方程有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明.19（12分）已知函數(shù)，將的圖象向左移個單位，得到函數(shù)的圖象.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，的一條對稱軸是，求在的值域.20（12

5、分）如圖，三棱錐中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且平面平面求證：平面；若，求證：平面平面.21（12分）設(shè)數(shù)陣，其中、設(shè)，其中，且定義變換為“對于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、）表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、 ，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個數(shù)的和為（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，求的值；（3）對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過22（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸

6、時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.若，求證：直線過定點(diǎn)；若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，并說明理由.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【答案解析】判斷函數(shù)的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小，即可得出答案.【題目詳解】解：因?yàn)椋?，所以函?shù)是奇函數(shù)，可排除A、C；又當(dāng)，可排除D；故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.2、D【答案解析】求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【

7、題目詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3、A【答案解析】根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運(yùn)算求解.【題目詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.4、A【答案解析】要計(jì)算這個數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句.【題目詳解】因?yàn)橛?jì)算這個數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應(yīng)該為1，故判斷語句應(yīng)為，第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大 ，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個

8、數(shù)比第個數(shù)大，這樣可以確定語句為，故本題選A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.5、B【答案解析】由題意得，然后求解即可【題目詳解】，.又，.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題6、D【答案解析】利用輔助角公式化簡函數(shù)得到，再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.【題目詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)先增后減，錯誤B選項(xiàng)，不是函數(shù)對稱軸，錯誤C選項(xiàng)，不是對稱中心，錯誤D選項(xiàng)，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.7、A【答案解析】將正四面體補(bǔ)成正方體，通

9、過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可【題目詳解】解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，四面體所有棱長都是4，正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化，屬于中檔題8、B【答案解析】根據(jù)正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【題目詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長為，高為，所以 ， 到 的距離為，同理到 的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的

10、表面積為.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.9、D【答案解析】直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【題目詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題10、A【答案解析】利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【題目詳解】，因此，.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【答案解析】由共軛復(fù)數(shù)的定義得到，通過三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的

11、幾何意義即得解【題目詳解】由題意得，因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【答案解析】算出集合A、B及，再求補(bǔ)集即可.【題目詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】分，兩種情況代入討論即可求解.【題目詳解】，當(dāng)時，符合；當(dāng)時，不滿足.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算，考查了分類討論的思想.14、60

12、【答案解析】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為：，取，則的系數(shù)為.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15、【答案解析】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長方體，球?yàn)殚L方體的外接球，長、寬、高分別為，計(jì)算得到，得到答案.【題目詳解】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長方體，球?yàn)殚L方體的外接球，長、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐補(bǔ)成長方體是解題的關(guān)鍵.16、4【答案解析】由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求

13、得最終結(jié)果.【題目詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.據(jù)此可知：的最小值為4.【答案點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）【答案解析】（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對應(yīng)的曲線，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰

14、三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.解法一：利用曲線的參數(shù)方程，求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【題目詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)閯t曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）點(diǎn)的極角為，代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線的普通方程為，又點(diǎn)的極角為銳角，所以，所以，所以點(diǎn)的極角為.解法1：直

15、線的普通方程為.曲線上的點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)，即（）時，取到最小值為.當(dāng)，即（）時，取到最大值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.解法2：直線的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2，且圓心到直線的距離，因?yàn)椋詧A與直線相離.所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為，最小值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.【答案點(diǎn)睛】本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

16、、直觀想象等核心素養(yǎng).18、（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.【答案解析】（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關(guān)系，將，等價轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對于任意恒成立即可.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)镽，且.由，得；由，得.故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知當(dāng)時，且.當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，直線與的圖像有兩個交點(diǎn)，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個不等實(shí)根，即.要證，只需證，即證，

17、不妨設(shè).令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調(diào)遞增，.，在上單調(diào)遞增，即成立，即成立.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.19、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【答案解析】（1）由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式，然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論；（2）由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論【題目詳解】由題意得（1）向左平移個單位得到，增區(qū)間：解不等式，解得，減區(qū)間：解不等式，解得.綜上可得，的單調(diào)增區(qū)間為，減

18、區(qū)間為；（2）由題易知，因?yàn)榈囊粭l對稱軸是，所以，解得，.又因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，則，所以在的值域是.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)圖象的對稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于中檔題20、證明見解析；證明見解析.【答案解析】利用線面平行的判定定理求證即可；為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可得，可知，故為直角三角形，利用面面垂直的判定定理求證即可.【題目詳解】解： 證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又平面，平面，平面；證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又，則，故為直角三角形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面平面.【答案點(diǎn)睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）；（3）見解析.【答案解析】（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過【題目詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；同時含有和的子集共個，經(jīng)過變換后第一