解二面角問題三種方法(習(xí)題及答案)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解二面角問題（一）尋找有棱二面角的平面角的方法和求解。（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點，過該點在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個“主要特征”來找出平面角，當(dāng)然這種找出的角要有利于解決問題。下面舉幾個例子來說明。CABCABVE.D例2：在三棱錐P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。AAA1BDCC1B1這樣的類型是不少的

2、，如下列幾道就是利用定義法找出來的：1、在正方體ABCDA1B1C1D1中，找出二面角BACB1的平面角并求出它的度數(shù)。2、邊長為a的菱形ABCD ，ACB=600，現(xiàn)沿對角線BD將其折成才600的二面角，則A、C之間的距離為 。（菱形兩條對角線互相垂直，對折后的一條對角線成兩條線段仍都垂直于另一條對角線，則所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長是4，過BC的一個平面與AA1交于D，若AD=3，求二面角DBCA的正切值?？傊?，能用定義法來找二面角的平面角的，一般是圖形的性質(zhì)較好，能夠較快地找到滿足二面角的平面角的三個主要特征。并且能夠很快地利用圖形的一些條件來求出所

3、要求的。在常見的幾何體有正四面體，正三棱柱，正方體，以及一些平面圖形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，這些有較好的一些性質(zhì)，可以通過它們的性質(zhì)來找到二面角的平面角。至于求角，通常是把這角放在一個三角形中去求解。由圖形及題目的已知條件來求這個三角形的邊長或者角，再用解三角形的知識去求解。（2）三垂線法：是利用三垂線的定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法。這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線。此方法是屬于較常用的。CBMBAPNK例3：如圖，在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，ACB=900，M是PB的中點。(1)求證：BCCBMBAPN

4、KABCMNS例4：如圖，已知ABC中，ABBC，S為平面ABC外的一點，SA平面ABCMNS本題可變形為：如圖，已知ABC中，ABBC，S為平面ABC外的一點，SA平面ABC，ACB600，SAACa，(1)求證平面SAB平面SBC (2)求二面角ASCBC的正弦值.在運用三垂線找平面角時，找垂線注意應(yīng)用已知的條件和有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理，按三垂線的條件，一垂線垂直二面角的一個面，還有垂直于棱的一條垂線。且兩垂線相交，交點在二面角的面內(nèi)。（3）垂面法：作一與棱垂直的平面，該垂面與兩二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角。這關(guān)鍵在找與二面角的棱垂直且與兩二面角兩半平面都有

5、交線的平面。ABCSD例5：如圖在三棱錐SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SAAB，SBBC，求二面角EABCSDAlDCAlBCEBD如圖，與所成的角為600，于C，于B，AC3，BDAlDCAlBCEBD（二）尋找無棱二面角的平面角的方法和求解。無棱的二面角一般是只已知一個共點，但兩個面的交線不知道。若要找出二面角的平面角，則需要根據(jù)公理2或公理4來找出二面角的棱，化為有棱二面角問題，再按有棱二面角的解法解題。這種主要有兩類：一類是分別在兩個面內(nèi)有兩條直線不是異面又不是平行的二面角（兩條在同一平面內(nèi)且不平行）。那么延長這兩條線有一交點，根據(jù)

6、公理2，這點在二面角的棱上，連公共點和這點就是二面角的棱；另一類是分別在兩個面內(nèi)有兩條直線是平行的二面角。這由直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理知這直線和面平行，所以直線平行于二面角的兩個面的交線。由公理4，可知這兩條直線平行于二面角的棱。所以過公共點作一條直線平行于這兩直線，那么所作的直線是二面角的棱。ABCB1C1例6：如圖，ABC在平面上的射影為正AB1C1，若BB1=，CC1=AB1=1，求平面ABC與平面ABCB1C1AABCDES變式：1. 如圖,在底面是直角梯形的立體圖SABCD中，ABC900，SA底面ABCD，SAABBC1，AD0.5，求面SCD與面SBA所成二面角的平面角的正

7、切值。CABDPCABDPACDBA1.EC1.B3. 如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成600角，側(cè)面BCC1BACDBA1.EC1.B解關(guān)于二面角問題二面角是立體幾何中最重要的章節(jié)。二面角中的內(nèi)容綜合了線面垂直，三垂線定理及其逆定理和異面直線所成角等較多的知識點，是高考的熱點和難點。在總結(jié)時，若能夠引導(dǎo)學(xué)生進行對解二面角的問題進行探究和總結(jié)，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法是有幫助的，對提高學(xué)生靈活運用所學(xué)的也有很重要的作用。為此我對這方面進行總結(jié)，以供教學(xué)和學(xué)習(xí)參考。（一）對本內(nèi)容進行思考時，必須弄清兩個概念：（1）什么是二面角，如何表示？而二面角的大小是可以用它的平面角

8、來度量，二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度.（2）什么是二面角的平面角，如何表示？這一概念特別重要，要能夠很快地反應(yīng)出二面角的平面角是以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角。，二面角的平面角的定義三個主要特征是：過棱上任意一點；分別在兩個面內(nèi)作射線；射線垂直于棱。明白這一點對于能夠作出或找出二面角的平面是很關(guān)鍵。在腦子里要能想象出二面角平面角的圖形。如圖，0a，OA，OB,OAa，OBa。（二）尋找有棱二面角的平面角的方法和求解。尋找和求作二面角的平面角是解二面角問題的關(guān)鍵，這也是個難點。在從圖形中作出二面角的平面角時，要結(jié)合已知條件來對圖

9、形中的線線、線面和面面的位置關(guān)系先進行分析，確定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面圖形，然后運用這些的有關(guān)性質(zhì)和二面角的平面角的定義進行找出二面角的平面角。所以解關(guān)于二面角問題需要有很好的對線線、線面和面面的位置關(guān)系的分析判斷能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三種：定義法、三垂線法、垂面法。至于在求解有關(guān)平面角的問題時，這平面角通常是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知識，這包括正弦和余弦定理的知識，也會用到其它的平面幾何知識。（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點，過該點在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基

10、本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個“主要特征”來找出平面角，當(dāng)然這種找出的角要有利于解決問題。下面舉幾個例子來說明。VBAVBACDABCNMPQ分析：由圖可知，所求的二面角的棱是AB，兩個面是面VAB和面CAB。由已知可知這是一個正四面體，各個面是全等的正三角形，根據(jù)二面角的平面角的定義，我們可利用正三角形的性質(zhì)來找出平面角，取AB邊上的中點D，連結(jié)VD和CD。則VDC是所求二面角的平面角?？稍O(shè)正三角形的邊長為a，用解三解形的知識求出VDCD，在ABCNMPQ評注：在本題中主要是利用已知條件中的特殊條件和二面角平面角的定義來找出所要求的平面角。在求解時利用的是平面幾何解三角形的知識。

11、這也就是把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題的數(shù)學(xué)思想。.例2：在三棱錐P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：所求二面角的棱是PB，兩個面為面PBA和面PBC。用二面角的平面角BAA1B1CC1DD1的定義找出平面角，在二面角的棱PB上任取一點Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，則由定義可得MQN即為二面角的平面角。設(shè)PM=a,則在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cosBAA1B1CC1DD1這樣的類型是不少的，如下列幾道就是利用定

12、義法找出來的：1、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，找出二面角BACB1的平面角并求出它的度數(shù)。AA1BDCC1B12、邊長為a的菱形ABCD ，AA1BDCC1B13、正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長是4，過BC的一個平面與AA1交于D，若AD=3，求二面角DBCA的正切值。總之，能用定義法來找二面角的平面角的，一般是圖形的性質(zhì)較好，能夠較快地找到滿足二面角的平面角的三個主要特征。并且能夠很快地利用圖形的一些條件來求出所要求的。在常見的幾何體有正四面體，正三棱柱，正方體，以及一些平面圖形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，這些有較好的一些性質(zhì)，可以通過它們的性質(zhì)來找到二面角

13、的平面角。至于求角，通常是把這角放在一個三角形中去求解。由圖形及題目的已知條件來求這個三角形的邊長或者角，再用解三角形的知識去求解。（2）三垂線法：是利用三垂線的定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法。這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線。此方法是屬于較常用的。CBMBAPNK例3：如圖，在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，ACB=900，M是PB的中點。(1)求證：BCCBMBAPNKABCMNS分析：第1小題較簡單。第2小題，觀察圖形中的線面位置關(guān)系，已知PA平面ABC，M是PB的中點，若在PAB中取AB的中點N，則很快發(fā)現(xiàn)MN平面ABC，

14、作KNAC，連MK，則由三垂線定理可得MKAC，所以MKN為所求的二面角的平面角。而求其正切值，在RtMNK中求出MN和KN，而求MN和KN，只需在ABCMNS評注：本題用定義法較難以實現(xiàn)，但由圖可找到二面角一個面的垂線。從而作棱的垂線，由三垂線定理證明是所要找的平面角。關(guān)鍵找到MN這條垂線。例4：如圖，已知ABC中，ABBC，S為平面ABC外的一點，SA平面ABC，AMSB于M，ANSC于N,(1)求證平面SAB平面SBC (2)求證ANM是二面角ASCB的平面角.分析：由圖和題意可得BC平面SAB，從而可得證平面SAB平面SBC，而要證二面角ASCB的平面角是ANM，從已知條件AMSB于M

15、,由兩個平面垂直的性質(zhì)可得AM平面SBC，又有ANSC，所以由三垂線逆定理可得MNSC，從而證明了ANM是二面角ASCBC的平面角.評注：本題提供了運用如何從一系列的垂直關(guān)系中來逐步找到二面角的一個面的垂線，再由三垂線的定理證明所要找的平面角。本題要特別注意的是這條垂線不是在水平上的，所以觀察分析圖時要注意多運用有關(guān)定理去判斷。本題可變形為：如圖，已知ABC中，ABBC，S為平面ABC外的一點，SA平面ABC，ACB600，SAACa，(1)求證平面SAB平面SBC (2)求二面角ASCBC的正弦值.解第2小題的第一步是按例4做出二面角的平面角，然后利用各個直角三角形求出AN和AM的長?？傊?/p>

16、在運用三垂線找平面角時，找垂線注意應(yīng)用已知的條件和有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理，按三垂線的條件，一垂線垂直二面角的一個面，還有垂直于棱的一條垂線。且兩垂線相交，交點在二面角的面內(nèi)。（3）垂面法：作一與棱垂直的平面，該垂面與兩二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角。這關(guān)鍵在找與二面角的棱垂直且與兩二面角兩半平面都有交線的平面。ABCSD例5：如圖在三棱錐SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SAAB，SBBC，求二面角EABCSD分析：由題意和圖，可得SC平面BDE，則SCDB，又SA平面ABC，則SADB，從而得BD平面SAC。所以

17、BDDC，BDDE，則DEC是二面角的平面角。要求它的度數(shù)，可在RtSAC和DEC中求，先求出SCA的度數(shù)。設(shè)SAa，在圖的直角三角形中求出SBBCa，ACa，故得到SCA300，從而得到DEB600。評注：本題的垂直關(guān)系很多，如何利用好這些關(guān)系？這需解題的目標(biāo)要明確才能運用好這些關(guān)系。從這些垂直關(guān)系很容易就判定BD平面SAC，而BD是二面角的的棱，所以平面SAC是二面角的垂面，由二面角的平面角的定義就找到了EDC是所求二面角的平面角。它的應(yīng)用例如：AlDCAlBCEBD如圖，與所成的角為600，于C，于B，AC3，BDAlDCAlBCEBD由題意要應(yīng)用二面角的度數(shù)，要找出它的平面角，可過C作

18、CEDB，且CEDB，連AE，則很容易得到l面ACE，ACE是二面角的平面角，為了求AB，連BE，在ACE中由余弦定理求出AE，在RtAEB中可求出AB的長?？傊獣\用此法，對線線、線面、面面的垂直關(guān)系要有很好的判斷能力，才能找到解的思路。（三）尋找無棱二面角的平面角的方法和求解。無棱的二面角一般是只已知一個共點，但兩個面的交線不知道。若要找出二面角的平面角，則需要根據(jù)公理2或公理4來找出二面角的棱，化為有棱二面角問題，再按有棱二面角的解法解題。這種主要有兩類：一類是分別在兩個面內(nèi)有兩條直線不是異面又不是平行的二面角（兩條在同一平面內(nèi)且不平行）。那么延長這兩條線有一交點，根據(jù)公理2，這點在二

19、面角的棱上，連公共點和這點就是二面角的棱；另一類是分別在兩個面內(nèi)有兩條直線是平行的二面角。這由直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理知這直線和面平行，所以直線平行于二面角的兩個面的交線。由公理4，可知這兩條直線平行于二面角的棱。所以過公共點作一條直線平行于這兩直線，那么所作的直線是二面角的棱。ABCB1C1例5：如圖，ABC在平面上的射影為正AB1C1，若BB1=，CC1=AB1=1，求平面ABC與平面ABCB1C1分析：所求的二面角只各一個公共點A，觀察圖可知二面角的兩個面內(nèi)BC和B1C1共面但不平行，所以若延長它們必交于一點D，由公理2知，點D在二面角的棱上。所以連AD就找到棱。接著是找出二面角的

20、平面角。由圖形的性質(zhì)知，C1D=2B1C1=2，A1C11，AC1B600，用正弦定理或余弦定理都可求出C1AD900，再由三垂線定理得CAC1為二面角的平面角，然后在RtCAC1中可求得CAC1450。DABDABCB1C1ABCDES如圖,在底面是直角梯形的立體圖SABCD中，ABC90ABCDES由圖可知二面角有一個公共點S，但在兩面中的AB和CD共面且不平行，所以延長交于點E。再由題意證明BC平面SAB，SBSE，由三垂線定理可知BSC是所求的二面角。在RtSBC中可求得正切值為。CABDECABDEP分析：由圖知二面角有一個公共點P，在兩面內(nèi)的AD和BC是共面且平行，所以AD平面PBC，由直線和平面平行的性質(zhì)知，過AD的平面PAD與平面平面PBC的交線（即為二面角的棱）與AD平行，所以過P作PEAD，則PE為二面角的棱。由題意PD面ABCD，所以PDAD，PDPE，又可證得CD平面PAD，由三垂線定理可得CPD為所求二