理論力學(xué)第十六章虛位移原理

1、理論力學(xué)第十六章虛位移原理第1頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四約 束非自由質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置以及在運(yùn)動(dòng)中受到 的限制.1. 幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束幾何約束 在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束只能限 制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置或質(zhì)點(diǎn)系的位形。 16-1 約束 約束的分類或yxOAA0l第2頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四COyxvCC*運(yùn)動(dòng)約束 在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束不僅限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，還限制它們運(yùn)動(dòng)的速度。第3頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四第4頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四運(yùn)動(dòng)約束OyxAxByBxAyABv

2、A其約束方程的一般形式:第5頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四2. 定常約束與非定常約束定常約束約束方程中不顯含時(shí)間的約束：非定常約束約束方程中顯含時(shí)間的約束：yxvOM第6頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四3. 單面約束與雙面約束雙面約束 約束方程可以寫成等式的約束。 單面約束 約束方程不能寫成等式、但是可以寫成 不等式的約束。BByxOyxO第7頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四yxO單面約束還是雙面約束？約束方程？yxOAAA0lA0l3. 單面約束與雙面約束第8頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四4.

3、 完整約束與非完整約束 完整約束 約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的約束。 非完整約束 約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。第9頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四約束方程不可積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。圓輪所受約束為完整約束。OyxAxByBxAyABvACOyxvCC*第10頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四16-2 廣義坐標(biāo)與自由度yxOlA(x, y)yxOA(x1, y1)B(x2, y2)ab廣義坐標(biāo) 確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。第11頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期

4、四廣義坐標(biāo) 確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。 用 q1，q2，表示。自 由 度 在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變 量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。 對于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式:N=3ns 第12頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四16-3 虛位移和理想約束1. 虛 位 移BAM 質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)，為約束所允許的無限小位移虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設(shè)想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個(gè)假想的位移，它與實(shí)位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。xyOF第13頁，共44頁，2

5、022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四 虛位移與實(shí)位移的區(qū)別和聯(lián)系（1）在完整定常約束下，實(shí)位移是諸多虛位移中的一個(gè)；MM1drdrerdr 實(shí)位移 r 虛位移實(shí)位移質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在其真實(shí)運(yùn)動(dòng)中，在一定的時(shí)間間 隔內(nèi)發(fā)生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第14頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四 2. 虛 功 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功虛功。 W = F r 3. 理想約束 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱為理想約束。 W = M FNi ri = 0第15頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5

6、分，星期四16-4 虛位移原理FiFNim1 rim2miFi 主動(dòng)力FNi約束反力 ri虛位移Fi + FNi = 0Fi ri + FNi ri =0Fi ri + FNi ri = 0 Fi ri = 0 FNi ri = 0理想約束第16頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四FiFNim1 rim2miFi 主動(dòng)力FNi約束反力 ri虛位移 Fi ri = 0 對于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零虛位移原理16-4 虛位移原理第17頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四 Fi ri = 0 上

7、式稱為虛位移原理的解析表達(dá)式 應(yīng)用虛位移原理解題時(shí)，主要是建立虛位移間的關(guān)系，通常采用以下方法： （1）通過運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，直接找出虛位移間的幾何關(guān)系；（2）建立坐標(biāo)系，選廣義坐標(biāo)，然后仿照函數(shù)求微分的方法對坐標(biāo)求變分，從而找出虛位移（坐標(biāo)變分）間的關(guān)系。第18頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四BAOMF例 題 1已知：OA=r , AB=l, 不計(jì)各桿質(zhì)量。求： 平衡時(shí)F與M 間的關(guān)系。解： 取系統(tǒng)為研究對象Fi ri = 0 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：第19頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四CBADM例 題 2已知：菱形邊長為 a , 螺距為 h，頂角為 2

8、 ，主動(dòng)力偶為 M.求： 物體 C 所受到的壓力。第20頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四CBADMFNrArC解： (1) 取系統(tǒng)為研究對象(2) 建立虛位移間的關(guān)系第21頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四xy解法二： 取建立圖示坐標(biāo)系FNCBADM第22頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四OABCDPQ例 題 3圖示操縱汽門的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB = 1/3，求此系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng)力P 和Q 間的關(guān)系。第23頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四OABCDPQ解： (1) 取系統(tǒng)為研究對象由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：r

9、CrBrA第24頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四例 題 4 圖示系統(tǒng)中除連接H點(diǎn)的兩桿長度為 l 外, 其余各桿長度均為 2l, 彈簧的彈性系數(shù)為k, 當(dāng)未加水平力 P 時(shí)彈簧不受力，且 = 0 ，求平衡時(shí)水平力P 的大小。第25頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四解： (1) 建立圖示坐標(biāo)系(2) 系統(tǒng)的虛功方程第26頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四第27頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四PMqll2lABCDPMqABCDFDsEsD例 題 5求圖示連續(xù)梁的支座反力。解： (1) 解除D處約束，代之以

10、反力FD ，并將其視為主動(dòng)力。其中:解得:第28頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四PMqll2lABCDFBsEsCPMqABCDsB(2) 解除B處約束，代之以反力FB ，并將其視為主動(dòng)力。其中:解得:由虛功方程，得代入虛功方程，得第29頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四PMqll2lABCDFAsEsCPMqABCDsA(3) 解除A處約束，代之以反力FA ，并將其視為主動(dòng)力。由虛功方程，得其中:代入虛功方程，得解得:第30頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四 考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的、具有理想約束的系統(tǒng)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有主動(dòng)力約

11、束力慣性力 令系統(tǒng)有任意一組虛位移系統(tǒng)的總虛功為16-5 動(dòng)力學(xué)普遍方程第31頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四利用理想約束條件得到 動(dòng)力學(xué)普遍方程 任意瞬時(shí)作用于具有理想、雙面約束的系統(tǒng)上的主動(dòng)力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上的元功之和等于零。 第32頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四動(dòng)力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式動(dòng)力學(xué)普遍方程 適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有定常約束的系統(tǒng)，也適用于具有非定常約束的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有完整約束的系統(tǒng)，也適用于具有非完整約束的系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有有勢力的系統(tǒng)，

12、也適用于具有無勢力的系統(tǒng)。第33頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四 動(dòng)力學(xué)普遍方程 主要應(yīng)用于求解動(dòng)力學(xué)第二類問題，即：已知主動(dòng)力求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍方程 求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，重要的是正確分析運(yùn)動(dòng)，并在系統(tǒng)上施加慣性力。 由于 動(dòng)力學(xué)普遍方程 中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆開。 應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍方程 ，需要正確分析主動(dòng)力和慣性力作用點(diǎn)的虛位移，并正確計(jì)算相應(yīng)的虛功。動(dòng)力學(xué)普遍方程的應(yīng)用第34頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四例 題 6已知： m ，R, f ， 。求：圓盤純滾時(shí)質(zhì)心的加速度。CmgaCFIR M

13、ICx解：1、分析運(yùn)動(dòng)，施加慣性力 2、本系統(tǒng)有一個(gè)自由度，令其有一虛位移 x。3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程其中：第35頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四C2DC1ACB求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圓輪質(zhì)心C2相對于三棱加速度 ar。例 題 7質(zhì)量為m1的三棱柱ABC通過滾輪擱置在光滑的水平面上。質(zhì)量為m2、半徑為R的均質(zhì)圓輪沿三棱柱的斜面AB無滑動(dòng)地滾下。第36頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四C2DC1ACB解：1、分析運(yùn)動(dòng)三棱柱作平動(dòng)，加速度為 a1。圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的牽連加速度為ae= a1 ；質(zhì)心的相對加速度為ar；圓輪的角加速度為

14、2。a1aear2第37頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四C2DC1ACBa1aear22、施加慣性力FI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 g3、確定虛位移 考察三棱柱和圓盤組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。 第一組第二組 二自由度系統(tǒng)具有兩組虛位移：x, x第38頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四C2DC1ACBFI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 gx4、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程 令第39頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四C2DC1ACBFI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 gx 令第40頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四C2DC1ACBFI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 gx 5、求解聯(lián)立方程第41頁，共44頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)5分，星期四 結(jié)論與討論1. 虛 位 移 質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)，為約束所允許的無限小位移虛位移 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在虛位移上所做的功虛功 2. 理想約束 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱為 理想約束。廣義坐標(biāo) 確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。自 由 度 在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參 變量的數(shù)目等于