極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限公式

1、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限公式9/20/20221第1頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四1. 單調(diào)有界準(zhǔn)則數(shù)列單調(diào)增加單調(diào)減少準(zhǔn)則I 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)上升有上界數(shù)列必有極限單調(diào)下降有下界數(shù)列必有極限說 明:(1) 在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂(2) 利用準(zhǔn)則來判定數(shù)列收斂必須同時(shí)滿足 數(shù)列單調(diào)和有界這兩個(gè)條件9/20/20222第2頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四 (3) 準(zhǔn)則只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出求極限的方法例如，數(shù)列，雖然有界但不單調(diào)；，雖然是單調(diào)的，但其無界，易知，這兩數(shù)列均發(fā)散數(shù)列(

2、4) 對于準(zhǔn)則I，函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程也有類似的準(zhǔn)則，只是準(zhǔn)則形式上略有不同.例如，準(zhǔn)則I 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)在的左極限必存在并且有界，則9/20/20223第3頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四作為準(zhǔn)則的應(yīng)用，我們討論一個(gè)重要極限：首先，證是單調(diào)的所以，數(shù)列是單調(diào)增加的 9/20/20224第4頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四顯然，單調(diào)性的證明可證得數(shù)列是單調(diào)增加的設(shè)數(shù)列由于數(shù)列是單調(diào)增加的，所以數(shù)列是單調(diào)減少的.又其次，證有界類似于，則則. 綜上，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則可知，數(shù)列是收斂的.9/20/20225第5頁，共20頁，2

3、022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四通常用字母來表示這個(gè)極限，即也可以證明，當(dāng)取實(shí)數(shù)而趨于或時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更一般的形式9/20/20226第6頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四例1解:例2 求解:9/20/20227第7頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四2. 夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則II證: 由條件 (2) ,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí), 有由條件 (1)即故 9/20/20228第8頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四我們可將準(zhǔn)則II推廣到函數(shù)的情形：準(zhǔn)則II且注意:準(zhǔn)則II和準(zhǔn)則II統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則.,的極

4、限是容易求的與并且與關(guān)鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限9/20/20229第9頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四例3解：由夾逼準(zhǔn)則得9/20/202210第10頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四解: 利用夾逼準(zhǔn)則 .且由思考題：？1211lim222=+pppnnnnnnL9/20/202211第11頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在， 而且給出了求極限的方法 下面利用它證明另一個(gè)重要的圓扇形AOB的面積證: 當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有AOB 的面積AOD的面積故有注極限公式： 9/20/202212第12頁，共2

5、0頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四當(dāng)時(shí)注9/20/202213第13頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四例4 求解: 例5 求（課本例7）解: 令則因此原式注:利用變量代換，可得更一般的形式9/20/202214第14頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四例6 求（課本 例5）解:例7 求（補(bǔ)充題）解:9/20/202215第15頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 .2. 兩個(gè)重要極限或注: 代表相同的表達(dá)式9/20/202216第16頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四課后練習(xí)習(xí) 題 1-6 1 （2）（4 ） 2 （2）（4）（6） 3（3）思考與練習(xí)1. 填空題 ( 14 )9/20/202217第17頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四解： 原式 =2. 求 9/20/202218第18頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期四3. 證明 證明：對任一，有，則當(dāng)時(shí)，有于是,（1）當(dāng)時(shí)，由夾逼準(zhǔn)則得（2）當(dāng)時(shí)，同樣有9/20/202219第19頁，共20頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46