靜態(tài)場(chǎng)的解法

1、靜態(tài)場(chǎng)的解法第1頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四3.1 靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題及唯一性定理靜態(tài)場(chǎng)的問(wèn)題大體上可分為兩類(lèi)： （1）分布型問(wèn)題 （2）邊值型問(wèn)題常遇到的邊值問(wèn)題有三種： （1）全部邊界上的位函數(shù)是已知的，稱為第一類(lèi)邊值問(wèn)題，又稱為狄利克雷（Dirichlet）問(wèn)題。 （2）全部邊界上的法線方向的位函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是已知的，稱為第二類(lèi)邊值問(wèn)題，又稱為紐曼（Neumann）問(wèn)題。第2頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四（3）混合邊值問(wèn)題，又稱為第三類(lèi)邊值問(wèn)題，它是第一類(lèi)和第二類(lèi)邊值問(wèn)題的混合型。靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題有多種求解方法，大體可分為以下幾種：（1）直接

2、求解法： 直接積分法、分離變量法、格林函數(shù)法等。（2）間接求解法： 復(fù)變函數(shù)法、鏡像法等。（3）數(shù)值計(jì)算法： 有限差分法、有限元法、矩量法等。第3頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四唯一性定理： 不管用什么方法，可以如上任何一種方法，也可以依靠判斷猜出解答，只要在給定區(qū)域內(nèi)滿足所要求解的微分方程，并滿足給定的全部邊界條件，那么這個(gè)解答就是靜態(tài)場(chǎng)的唯一解答。 第4頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四3.2直接積分法下面舉幾個(gè)例子來(lái)介紹這種方法的應(yīng)用。 例 空間電荷區(qū)如圖所示，在-l0區(qū)域內(nèi)為負(fù)電荷，在0l區(qū)域內(nèi)為正電荷，且電荷分布函數(shù)為=Kqx（x范圍為-

3、lxl，K為比例常數(shù)）。取x=0為電位參考點(diǎn)，在x=l處電場(chǎng)為零。求在-lxl范圍內(nèi)的電位分布和電場(chǎng)分布。第5頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四解：在-lxl范圍內(nèi)，電位 滿足泊松方程 （為材料的介電常數(shù)）從圖可以看出，電位函數(shù) 是x的函數(shù)，即 =（x）對(duì)上式進(jìn)行積分 第6頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四第7頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四在球外：在球體表面根據(jù)邊界條件可知在r=R處有 第8頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四對(duì)式（3.11）進(jìn)行積分得 第9頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分

4、，星期四第10頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四第11頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四3.3在直角坐標(biāo)系中的分離變量法 如果邊界面的形狀適合用直角坐標(biāo)系表示，那么可以在直角坐標(biāo)系中求解。在直角坐標(biāo)系中，位函數(shù)的拉普拉斯方程為 位函數(shù)是x、y、z的函數(shù)，可以表示成三個(gè)單變量未知函數(shù)的乘積 （ 3.49）式中f(x)僅為x的函數(shù)； g(y) 為y的函數(shù)，h(z)為第12頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四z的函數(shù)，得上式除以 得 上式第一項(xiàng)僅是x為變量的函數(shù)，與y和z無(wú)關(guān)； 而第二項(xiàng)僅隨y而變化，第三項(xiàng)僅隨z而變化。所以式（3.50

5、）成立的唯一條件是這三項(xiàng)中每一項(xiàng)都是常數(shù)。令第一、二、三項(xiàng)分別為常數(shù) ，即 第13頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四三個(gè)常數(shù)滿足的關(guān)系式為（3.54）這樣就把偏微分方程（3.48）變成了三個(gè)常微分方程，這種方法就是分離變量法。三個(gè)常微分方程（3.51）（3.53）可以改寫(xiě)為第14頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四 下面討論拉普拉斯方程對(duì)二維位場(chǎng)的求解問(wèn)題。 所謂二維位場(chǎng)即是于是有第15頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四第16頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四例3.3.1 兩塊彼此平行的半無(wú)限長(zhǎng)接地金屬板，板

6、間距離為b，兩平行板的一端另一塊電位為 的極長(zhǎng)的金屬條，它們之間縫隙極小，但彼此絕緣，如圖3.2所示。求兩板間的電位分布。解: 給定的邊界條件為第17頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四第18頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四第19頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四例3.3.2 兩塊完全相同的T形導(dǎo)體構(gòu)成導(dǎo)體槽，兩塊T形導(dǎo)體間有一狹縫，如圖3.3.2(a)所示。上板所加的電壓為U0，下板接地。求金屬槽內(nèi)的電位分布。圖3.3.2 例3.3.2圖第20頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四解： 本題所給的場(chǎng)可以分解為

7、兩個(gè)場(chǎng)的疊加，分解后的兩個(gè)場(chǎng)如圖3.3.2(b)(c)所示。槽內(nèi)的電位分別為x、y的函數(shù)，是一個(gè)二維場(chǎng)問(wèn)題。 分解后第一個(gè)場(chǎng)是兩個(gè)距離為d的無(wú)窮大的平行板，上板電壓為U0，下板接地，其解為(3.3.23)第二個(gè)場(chǎng)電位為2，是兩個(gè)電位為零的無(wú)窮大的平行板，并且在x=0處2滿足第21頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四 那么金屬槽內(nèi)的電位分布的解為=1+2，分別求出1和2，也就得出來(lái)了，根據(jù)唯一性定理，即是要求的唯一解答。1已知，見(jiàn)（）式，下面求出2。 由例3.3.1的討論，2可表示為 (3.3.24)式中Cn由x=0處的邊界條件求出，即第22頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20

8、日，2點(diǎn)40分，星期四可以確定傅里葉系數(shù)Cn為則(3.3.25)金屬槽內(nèi)的電位分布為 (3.3.26)第23頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四3.4 在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的分離變量法1.在圓柱坐標(biāo)系的分離變量法在圓柱坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為(3.4.1)下面討論電位不隨縱向（z方向）變化的二維場(chǎng)問(wèn)題，即僅為r和變化的情況。此時(shí)拉普拉斯方程變?yōu)?(3.4.2)第24頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四設(shè) （）式中R(r)僅為r的函數(shù)， 把式（）代入到式（）中得(3.4.4)式（3.4.4）第一項(xiàng)是關(guān)于r的函數(shù)，第二項(xiàng)是關(guān)于的函數(shù)，要使上式對(duì)于所有的r和

9、都成立，必須每項(xiàng)都等于一個(gè)常數(shù)，于是有（3.4.5）(3.4.6)第25頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四對(duì)式（）求解，其解為(3.4.7)對(duì)于所研究的實(shí)際問(wèn)題，位場(chǎng)是單值的，則有所以k必須為整數(shù)，令k=n，于是式（3.4.7）變?yōu)?3.4.8)用n代替k，并把式（3.4.5）改寫(xiě)為如下形式(3.4.9)它是一個(gè)歐拉方程，其解為(3.4.10)第26頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四（3.4.11）式中的系數(shù)由邊界條件確定第27頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四 2.在球坐標(biāo)系的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為在球坐標(biāo)系中具

10、有軸對(duì)稱的二維場(chǎng)的解式中常數(shù)Am、Bm由邊界條件決定。例3.8 無(wú)限大介質(zhì)外加均勻電場(chǎng)，在介質(zhì)內(nèi)有一個(gè)半徑為a的球形空腔，介質(zhì)的介電常數(shù)為，求空腔內(nèi)、外的電位分布及電場(chǎng)強(qiáng)度。第28頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四解 本題為球坐標(biāo)系中具有軸對(duì)稱性的二維場(chǎng)問(wèn)題 在空腔內(nèi)的通解為在介質(zhì)中的通解為第29頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四下面利用邊界條件確定各個(gè)系數(shù)。所以B1=0 系數(shù)A1、C1、D1可以由r=a時(shí)的邊界條件求出，當(dāng)r=a時(shí)由1=2 所以可以得出 A1acos=（C1a+D1a-2）cos第30頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分

11、，星期四第31頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四第32頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四3.5鏡像法鏡像法最簡(jiǎn)單的情況是點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大平面的鏡像問(wèn)題。 在無(wú)限大接地導(dǎo)體平面上方的空氣中放置一個(gè)電荷q，距平面距離為h，如圖所示，要求出這個(gè)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面上方任意一點(diǎn)的電位,那么可以設(shè)想在平面下方有一個(gè)鏡像電荷-q，在所研究的區(qū)域即平面上方的電位為點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位和鏡像電荷-q產(chǎn)生電位的疊加。第33頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四圖3.5.1 鏡像法求解點(diǎn)電荷與無(wú)限大接地導(dǎo)體平面形成的位場(chǎng)第34頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月2

12、0日，2點(diǎn)40分，星期四 建立一個(gè)坐標(biāo)系，如圖所示，可以很方便地求出平面上方任意一點(diǎn)的電位分布及無(wú)限大接地平面上的電荷分布。圖3.5.2 在直角坐標(biāo)系中求解點(diǎn)電荷與無(wú)限大接地導(dǎo)體平面問(wèn)題第35頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四從圖可以看出 R=x2+y2+（z-h）21/2 R=x2+y2+（z+h）21/2所以在平面上方空間任意一點(diǎn)P的電位為平面上方空間任意一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為第36頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的面電荷分布為例3.9 相交成直角的接地導(dǎo)體平面AOB附近有一個(gè)點(diǎn)電荷q，如圖3.10所示，中間介質(zhì)為空氣，求空間任意

13、一點(diǎn)P的電位。圖3.10直角形導(dǎo)體平面的鏡像第37頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四解: 點(diǎn)電荷q位置為（h1,h2,0），在OA面的鏡像為-q，位置在（-h1,h2,0）。 在OB面的鏡像為-q，位置在（-h1,h2,0） 。按照平面鏡像法則還應(yīng)該成第三個(gè)鏡像位置在（-h,-h2，0），第三個(gè)鏡像為q。這樣點(diǎn)電荷q與三個(gè)鏡像電荷共同作用才能滿足原來(lái)的邊界條件在導(dǎo)體平面AOB上的電位為零。所以本問(wèn)題可以用三個(gè)鏡像電荷代替相交成直角的接地導(dǎo)體平面AOB。 得到P點(diǎn)的電位為第38頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四例3.10 一根無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線與地面平行，設(shè)

14、導(dǎo)線半徑為a，高出地面的高度為h(ha)，求單位長(zhǎng)度導(dǎo)線對(duì)地的電容。圖3.11無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的鏡像法第39頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四解: 本題可以采用鏡像法求解，無(wú)限長(zhǎng)的直導(dǎo)線的線電荷密度為l，則地面這個(gè)邊界可以用鏡像的線電荷密度為-l的直導(dǎo)線代替，如圖所示。原導(dǎo)線在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為第40頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四同理鏡像電荷的電位為 所以由鏡像法可知，地面上方任意一點(diǎn)P的電位為則直導(dǎo)線的電位為所以單位長(zhǎng)度導(dǎo)線對(duì)地的電容為第41頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四例3.11 有一個(gè)接地導(dǎo)體球半徑為a，與球心O相距d1

15、的位置P1點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)電荷q1如圖所示，試求： (1) 導(dǎo)體球外的電位函數(shù)； (2) 球面上感應(yīng)的面電荷密度； (3) 球面上總感應(yīng)電量。圖3.12 點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球的鏡像第42頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四解（1） 導(dǎo)體球接地時(shí)，導(dǎo)體表面電位處處為零。下面在球內(nèi)區(qū)域找到一個(gè)鏡像電荷q2，用q2來(lái)代替球形邊界。 在球面上任取一點(diǎn)P，則P點(diǎn)的電位為零，即上式對(duì)球面上任意一點(diǎn)都是成立的，那么可以在球面上取兩個(gè)特殊點(diǎn)： 一個(gè)是OP1與球面的交點(diǎn)，另一個(gè)是OP1的延長(zhǎng)線與球面的交點(diǎn)，于是有第43頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四由上面兩個(gè)方程聯(lián)立解得這樣球外

16、任意一點(diǎn)P的電位為以O(shè)為中心建立球坐標(biāo)系，設(shè)OP與OP1夾角為第44頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四所以由在r=a時(shí)的邊界條件可知第45頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四（3） 球面上總感應(yīng)電量為計(jì)算結(jié)果表明，球面上總感應(yīng)電量等于鏡像電荷的電量。第46頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四3.6靜態(tài)場(chǎng)的數(shù)值解法數(shù)值積分法 電磁場(chǎng)分布型問(wèn)題可以利用數(shù)值積分法計(jì)算。例如，可以在各向同性電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E和電位 式中為源區(qū)。如為體分布，則需對(duì)V體積分；如為面分布，則需對(duì)S面積分； 如為線分布，則需對(duì)l線積分。第47頁(yè)，共60頁(yè)，202

17、2年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四 再如對(duì)于一閉合回路l，電流為I，在場(chǎng)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和矢量磁位A也可以通過(guò)數(shù)值積分法計(jì)算 諸如此類(lèi)的電磁場(chǎng)問(wèn)題很多，通過(guò)矢量計(jì)算都可以得到數(shù)值積分問(wèn)題。數(shù)值積分的算法很多，如梯形求積算法、辛普生求積算法等。下面通過(guò)一個(gè)例子介紹梯形求積算法。例3.6.1 求均勻帶電直導(dǎo)線的中垂線上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)帶電直導(dǎo)線的長(zhǎng)度為l，帶電量為q。第48頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四解: 取棒的中點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，在帶電體上取電荷元 圖3.6.1 例3.6.1用圖（這里加“”表示源點(diǎn)），則dq和P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為根據(jù)對(duì)稱性可知，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度只

18、有x分量，而y分量Ey=0，即第49頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四 現(xiàn)在對(duì)上式進(jìn)行數(shù)值積分，把被積函數(shù)f(x)在積分區(qū)間(a,b)取N個(gè)小梯形，則第n個(gè)小梯形的面積為f(xn)xn，則f(x)在(a,b)上的積分為按照梯形算法，每一個(gè)小梯形區(qū)間寬度為 ，第n個(gè)梯形采樣點(diǎn)為第50頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四則然后編寫(xiě)程序計(jì)算數(shù)值解。第51頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四2.有限差分法 在一個(gè)閉合邊界L所界定的平面域，其定解問(wèn)題可表述為首先是把求解的場(chǎng)域離散化，即在求解的場(chǎng)域劃分成網(wǎng)格，網(wǎng)格的劃分有許多種方法，最簡(jiǎn)單的是

19、正方形網(wǎng)格劃分，如圖3.6.2所示。然后對(duì)偏微分方程進(jìn)行離散化，對(duì)正方形網(wǎng)格可采用五點(diǎn)差分格式。在二維場(chǎng)域中取一點(diǎn)P，則沿x軸方向并通過(guò)P點(diǎn)的直線上任意一點(diǎn)的數(shù)值ux用泰勒公式展開(kāi)為第52頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四 式中h=（x-xP）很小時(shí)，4階以上的高次項(xiàng)可以忽略。P點(diǎn)與其相鄰的四個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)成了五個(gè)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)，如圖所示。圖3.6.2二維場(chǎng)域的正方形網(wǎng)格剖分 圖3.15正方形網(wǎng)格的五點(diǎn)差分格式第53頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四則1點(diǎn)的值為 3點(diǎn)的值為上兩式相加得同理取P點(diǎn)為（xi,yi），則uP=ui,j； u1=ui+1,j； u2=u

20、i,j+1； u3=ui-1,j； u4=ui,j-1。則有ui,j=1/4（ui+1,j+ui,j+1+ui-1,j+ui,j-1-h2F） 第54頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四例3.6.2 如圖所示為一長(zhǎng)直接地金屬槽，其側(cè)壁與底面電位均為零，頂蓋電位的相對(duì)值為10，試求槽中的電位分布。解: 在金屬槽中題中的邊界構(gòu)成第一類(lèi)邊值問(wèn)題按照有限差分法，本題的解題過(guò)程如下：1） 離散化場(chǎng)域。用正方形網(wǎng)格對(duì)場(chǎng)域D進(jìn)行剖分，剖分越細(xì)計(jì)算精度越高。根據(jù)工程需要，沿x、y方向的等分?jǐn)?shù)應(yīng)取p=30以上，本題中為了形象直觀，沿x、y方向的等分?jǐn)?shù)均為p=4，步距h=a/4，如圖3.6.5所示。第55頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四圖3.6.4 例3.6.2圖圖3.6.5場(chǎng)域離散化（2） 采用超松弛迭代法，本題中F=0，得到差分方程的迭代運(yùn)算形式為式中加速收斂因子可以通過(guò)一定的方法估算給出，本題中加速收斂因子的最佳取值通過(guò)估算取為opt=1.17第56頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)40分，星期四（3） 給出邊界條件和初始值。因?yàn)楸绢}中給定的是第一類(lèi)邊界條件，則邊界條件的差分離散化應(yīng)采用直接賦值方式，即 給定其他網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)的初始值。可取初始值都為零，但需迭代次數(shù)較多，一般可按照其數(shù)值規(guī)律