三角形的重心

1、三角形的重心第1頁，共19頁。主要內(nèi)容：一、 三角形重心的定義二、 重心的五個重要性質(zhì)三、 三角形的五“心”簡介第2頁，共19頁。連接AD,BE,交于點O，O點即為ABC的重心. 如圖所示：在ABC中， 點D、E分別是BC、 AC的中點.ABCDEO重心的定義三角形的三條中線交于一點,這點稱為三角形的重心第3頁，共19頁。重心分中線之比為2:1. 即 AO:OD=2:1 ABCDEOH取EC中點H，連接DH可證 AO：OD= 2:1重心性質(zhì)1第4頁，共19頁。重心性質(zhì)2ABCDEOF連接CO并延長，交AB于F根據(jù)性質(zhì)1，可以證明G 過點D作DG/CF ，交AB于G三角形的三中線必然交于一點.

2、此點恰是重心.故F為AB中點.AF:FG=2:1FG:GB=1:1第5頁，共19頁。BCOADEF分別延長中線，可交對邊的中點.易知：SAOB= 2SBOD= SBOC重心性質(zhì)3第6頁，共19頁。BCOABCODP由中線向量的性質(zhì)：D？如果O為ABC的重心，那么重心性質(zhì)4第7頁，共19頁。BCOADEF重心向量常見變化形式：（2）（3）中線AD上的點P滿足：（1）第8頁，共19頁。 BCOANM連接AO,因為M、O、N三點共線可得所以重心性質(zhì)5，則 .，設(shè)直線l過重心O，交AB、AC于點M、N，第9頁，共19頁。 BCANM 它的逆命題也成立！則直線l必過ABC的重心設(shè)直線l交AB、AC于點M

3、、N，且滿足第10頁，共19頁。C【友情鏈接】1. （2010年湖北卷）已知ABC和點M滿足，若存在實數(shù)m使得成立，則 （ ）A2BC3 D6 解析：BCMA第11頁，共19頁?！狙a充內(nèi)容】三角形“五心”向量形式的充要條件： 設(shè)O為ABC所在平面內(nèi)一點，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則（1） O為重心 （三條中線的交點）BCOA第12頁，共19頁。（2） O為垂心（三條垂線的交點） BCOA第13頁，共19頁。（3） O為外心（中垂線交點，外接圓圓心） BCOA第14頁，共19頁。（4） O為內(nèi)心（角平分線交點，內(nèi)切圓圓心） （5） O為A旁心（旁切圓圓心，A平分線與兩外角平分線交點

4、） (1)(2)(3)?？迹?(4)(5)只作了解 .第15頁，共19頁?！居亚殒溄印?.（2009寧夏海南卷）已知O,N,P在ABC所在平面內(nèi)，且 ， ，則O,N,P依次是ABC的A.重心 外心 垂心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 內(nèi)心B.重心 外心 內(nèi)心答案：(C)BCNABCPABCOA解析：第16頁，共19頁。提示： 連GA 【課后思考】：1設(shè)G為ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點，求證：四邊形GMAN和GBC的面積相等GBCAMN AMG的面積=GBM的面積， GAN的面積=GNC的面積, 第17頁，共19頁?！菊n后思考】2.已知A,B,C三點不共線，且點O滿足，下列結(jié)論正確的是（ ）A.C.D.B.提示：第18頁，共19頁。小結(jié)1.重心的定義2.