【高等代數(shù)試題】高代 I-2016 期末答案

1、北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院期末試題2016 -2017學(xué)年第 1 學(xué)期考試科目 高等代數(shù)I 考試時(shí)間 2017 年 1 月 3 日一（20分）設(shè) A : X a A X X AT是矩陣空間M 2 ( Q ) 上的線性變換 ,這里記A = . 1) 求 Im A的維數(shù) r 與一組基Y 1 , , Y r , 并求X 1 , , X r M 2 ( Q ) , 使得 A X 1 = Y 1 , , A X r = Y r ;2) 求 Ker A 的一組基Z 1 , , Z s ; 3) 證明: X 1 , , X r , Z 1 , , Z s 構(gòu)成M 2 ( Q )的基底 ;4) 求所有X M 2 (

2、 Q ) , 使得 A X X AT = A AT .解：1) 由 A= = = +知 dim Im A = 2, Im A的一組基為Y 1 =, Y 2 =.令 X1 =, X2 =, 則有A X 1 = Y1 , A X 2 = Y2 .2) 由1) 知 A= 當(dāng)且僅當(dāng)b = c, 且d = 0 . 于是Ker A 的一組基為Z 1 =, Z 2 =.3) 若有系數(shù)k1, k2, k3, k4 使得 k1 X 1 + k2 X 2 + k3 Z 1 + k4 Z 2 = 0 ,則 k1 A X 1 + k2 A X 2 + k3 A Z 1 + k4 A Z 2 = k1 Y 1 + k2

3、 Y 2 = 0 .由Y 1 , Y 2線性無(wú)關(guān) , 得 k1 = k2 = 0 . 于是 k3 Z 1 + k4 Z 2 = 0 .再由Z 1 , Z 2線性無(wú)關(guān) , 推得 k3 = k4 = 0 . 故X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2 線性無(wú)關(guān). 最后, 由于X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2的向量個(gè)數(shù)恰好等于 dim Im A + dim Ker A = dim M 2 ( Q ) , 向量組X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2 構(gòu)成M 2 ( Q )的基底 . 注: 此問(wèn)也可通過(guò)矩陣的直接計(jì)算證得。4) 注意到 A I = A I I AT = A AT . 若

4、X滿足A X =A X X AT = A AT , 則A ( X I ) = 0 . 故 X I Ker A , 即 X = I + a Z 1 + b Z 2 =, a , b . 反之, 具有形式的矩陣X都是A X X AT = A AT的解. 二.（12分）在三維幾何空間建立直角坐標(biāo)系. 設(shè)Aq是繞x軸的旋轉(zhuǎn), 自y軸向z軸方向旋轉(zhuǎn)q角度; 設(shè)Bw是繞y軸的旋轉(zhuǎn), 自z軸向x軸方向旋轉(zhuǎn)w角度.1) 寫出旋轉(zhuǎn)變換Aq , Bw在標(biāo)準(zhǔn)基(由x, y, z軸單位向量構(gòu)成)下的矩陣;2) 復(fù)合變換 Aq Bw是繞哪條直線的旋轉(zhuǎn), 轉(zhuǎn)角是多少?解: 1) 在標(biāo)準(zhǔn)基e1 , e2 , e3下Aq ,

5、 Bw的矩陣為Aq =, Bw =. 2) 復(fù)合變換 Aq Bw在標(biāo)準(zhǔn)基e1 , e2 , e3下的矩陣為Aq Bw = = .由| Aq |=| Bw | = 1知Aq Bw是行列式為1的3級(jí)正交矩陣, 故1是Aq Bw的特征值. 對(duì)Aq Bw I作行變換 Aq Bw I = (可假定sin q sinw 0 , 即q , w kp )解得特征值1的特征向量a = (或 ) . 故復(fù)合變換 Aq Bw是繞a的旋轉(zhuǎn), 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為r . 設(shè)a1是a的單位化, 將a1擴(kuò)充成歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 a1, a2, a3 . 在此基底下, 復(fù)合變換Aq Bw的矩陣變?yōu)? 于是有1 + 2 cosr

6、= tr( Aq Bw ) = cosq + cosw + cosq cosw. 化簡(jiǎn)，得 2(1 + cosr) = ( 1 + cosq ) ( 1 + cosw ) , 或 cos(r/2) = cos(q/2) cos(w/2). 于是轉(zhuǎn)角 r = 2 arcos( cos(q/2) cos(w/2) ) . 注: 此題計(jì)算比較繁瑣, 三角表達(dá)式?jīng)]化簡(jiǎn)也可得分.三.（33分）設(shè)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 2 x22 + x32 + 4 x1 x2 + 8 x1 x3 + 4 x2 x3 .1) 將 f 寫成 XT A X的形式, 并求實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值與

7、特征向量;2) 求正交矩陣P及對(duì)角矩陣D , 使得A = P D PT ; 用正交替換X = P Y 將f 化為標(biāo)準(zhǔn)型;3) 求f 在單位球面上取到的最大,最小值, 以及它們?cè)诤翁幦〉? 解： 注意到 , .故A的特征值為l = 3 (代數(shù)二重) 及 l = 6 .對(duì)l = 3解齊次方程組 ( A + 3 I ) X = 0 : (*)通解為x1 = 1/ 2 x2 x3 , x2 、x3為自由變量. 解的向量形式于是1 =, 2 = 構(gòu)成l = 3特征子空間的一組基.對(duì)l = 6解齊次方程組 ( A 6 I ) X = 0 得l = 6特征子空間的一組基3 =.(由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同的特征子空

8、間彼此正交, 此基也可從(*)式簡(jiǎn)化階梯形的非零行直接讀出).(2) 將1 =, 2 = 正交化:令 1 = 1 , 再單位化:將3 = 也單位化: 則g1 , g2 , g3 構(gòu)成R3 的標(biāo)準(zhǔn)正交基, P = g1 g2 g3 = 為正交矩陣, 且 (3) 做正交替換X = P Y , 二次型f化為 f( X ) = X TA X = Y T P TA P Y = Y T D Y = 3 y12 3 y22 + 6 y32 .由于P是正交矩陣, 我們有x12 + x22 + x32 = X T X = Y T P T P Y = Y T Y = y12 + y22 + y32 .故當(dāng) | X

9、 | = | Y | = 1 時(shí)，f ( X ) = 3 y12 3 y22 + 6 y32 = 6 ( y12 + y22 + y32 ) 9 ( y12 + y22 ) 6 ,且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) y1 = y2 = 0 , 或等價(jià)地, X = g3 時(shí) f ( X ) 取到最大值6 . 類似地，當(dāng) | X | = | Y | = 1 時(shí)，f ( X ) = 3 y12 3 y22 + 6 y32 = 3 ( y12 + y22 + y32 ) + 9 y32 3 ,且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) y3 = 0 , 或等價(jià)地, 當(dāng)X = y1 g1 + y2 g2 , y1 , y2 R , y12 +

10、 y22 = 1，即 X屬于最小特征值l = 3的特征子空間與單位球面的交集時(shí)取到最小值 3 .四. （15分）設(shè)n級(jí)復(fù)矩陣A , B 及X滿足A X = X B . 設(shè) a1 , , ar ( r 1 ) 是 X的一個(gè)列極大無(wú)關(guān)組, 記 C = a1 ar . 證明:1) 存在r級(jí)復(fù)矩陣D , 使得A C = C D ;2) D的每個(gè)復(fù)特征值都是A的特征值 ;3) D的每個(gè)復(fù)特征值也是B的特征值. 解：1) 矩陣X的列極大無(wú)關(guān)組a1 , , ar 能線性表出X的每個(gè)列向量.又由 A X = X B 知X的列向量組能線性表出A X的列向量組 , 進(jìn)而表出A C的列向量組 . 由線性表出的傳遞性

11、知C = a1 ar 的列組能表出A C的列組 , 即存在r級(jí)方陣D , 使得C D = A C . 2) 設(shè)l是D 的一個(gè)復(fù)特征值, 是屬于l的一個(gè)特征向量, 即 D = l , 0 . 則有A C = C D = l C . 又由C 的列向量組線性無(wú)關(guān)及 0 可推出 C 0 . 故C 是A的一個(gè)特征向量, 特征值為l .3) 由于a1 , , ar 能線性表出 X的每個(gè)列向量, 故存在矩陣M , 使得X = C M . 于是有 A X = A CM = X B = CM B . 將A C = C D 帶入得 C D M = C M B, 或 C( D M M B ) = 0 . 由C 的列

12、向量組線性無(wú)關(guān)知 D M = M B . 于是有 BT MT = MT DT.利用與2)類似的方法可證DT的特征值(即D的特征值)也是BT 的特征值(即B的特征值):設(shè)l是DT 的一個(gè)復(fù)特征值, 是屬于l的一個(gè)特征向量, 即 DT = l , 0 . 則有BT MT = MT DT = l MT . 又由X = C M 知M秩 X秩 = C列數(shù) = M行數(shù), 故 M行滿秩. 于是MT列滿秩. 由 0 可推出MT 0 . 故MT 是BT的特征向量, l 是BT (與B )的特征值.五. （15分）判斷對(duì)錯(cuò), 正確的請(qǐng)給出證明, 錯(cuò)誤的舉出反例. 1) 若實(shí)方陣A滿足 A AT A = 0 , 則

13、一定有A + AT = 0 .解: 正確. 由A AT A = 0 可推出AT A AT A = ( AT A )T AT A = 0 . 由于實(shí)矩陣AT A的秩等于( AT A )T AT A的秩 0 , 故AT A = 0 . 再由實(shí)矩陣A的秩等于AT A的秩 0 , 推出 A = 0 . 于是A + AT = 0 .2) 若3級(jí)實(shí)矩陣A 的秩為1 , 且tr(A) = 0 , 則存在實(shí)可逆矩陣U, 使得.解: 正確. 不妨設(shè)實(shí)矩陣A = T , 其中 , 是非零列向量 且 | | = 1. 由tr( A ) = tr( T ) = tr( T ) = 0 知 ( , ) = 0 . 將

14、, 擴(kuò)充成 R3的一組正交基 , , g , 并記 U = g . 則U可逆且有 AU = T g = 0 0 = g .于是 . 3) 在有限維線性空間上存在線性變換A , B , 使得 A B B A = A 且 A 不是零變換 .解: 正確. 設(shè)A , B是n ( 1) 維線性空間上的線性變換，它們?cè)谝唤M基下的矩陣分別是 A =， B =. 則A B B A在這組基下的矩陣為 AB BA = A . 我們有 A B B A = A , A 0 .六. （5分）證明: 實(shí)對(duì)稱矩陣 A = 的特征值都大于0 , 且小于等于 .證: 記 B =, D =. 則有=即BT B = A . 另一方面, 有 A = B + BT D . 由實(shí)方陣B 可逆知實(shí)對(duì)稱矩陣A = BT B 正定, 于是A的特征值都大于0 . 設(shè)l1是A 的最大特征值 , 則有XTAX = XT BT B X = | B X |2 l1 | X |2 , X Rn .于是 | B X | | X | , X Rn .類似地 , 我們也有 | D