2023屆高考數(shù)學(xué)專題破-專題八 三角函數(shù)變換與三角函數(shù)的應(yīng)用（解析版）

1、專題八 三角函數(shù)變換與三角函數(shù)的應(yīng)用一、單選題1已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）A的一條對(duì)稱軸為B在上是單調(diào)遞減函數(shù)C的對(duì)稱中心為D的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可推導(dǎo)得到，知AC錯(cuò)誤；利用二倍角公式化簡得到，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知B正確；由二次函數(shù)型的函數(shù)最值的求解方法可求得，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，不是的對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，則其在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，不是的對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性結(jié)論如下：（1）若，則關(guān)于直線成軸對(duì)稱；（2）若，則關(guān)于成

2、中心對(duì)稱.2已知，則等于（ ）ABC或D或【答案】B【分析】對(duì)和按照兩角和差的正切公式展開計(jì)算，可得，求出的值，最后求出的值.【詳解】，化簡得，又，化簡得，則，得，所以，又，則，則.故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題計(jì)算結(jié)果時(shí)易忽略，從而導(dǎo)致錯(cuò)解.3黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體得比值等于較小部分與較大部分得比值，該比值為，這是公認(rèn)的最能引起美感的比例黃金分割比例得值還可以近似地表示為，則的 近似值等于（ ）ABCD【答案】B【分析】由題可得，利用展開化簡可得.【詳解】由題可得，.故選：B.4已知函數(shù)，其圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值為（ ）

3、ABCD【答案】C【分析】化簡函數(shù)解析式為，求出函數(shù)的最小正周期，可得出的值，再由平移后所得函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合的取值范圍可得出的值，可得出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可得出的值.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，則該函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，則，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個(gè)整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等）解決相關(guān)問題.5已知函數(shù)，則（ ）A的最小正周期為B的圖象關(guān)于

4、y軸對(duì)稱C的圖象不關(guān)于對(duì)稱D的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】D【分析】A用周期性來判斷，B用奇偶性來判斷，CD選項(xiàng)利用對(duì)稱性來判斷.【詳解】，A選項(xiàng)，和的最小正周期都是，所以的最小正周期是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，和都是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則需判斷.6在中，若，且，則有（ ）ABCD【答案】A【分析】求出，即得的大?。磺蟪?，即得的大小.【詳解】解：因?yàn)椋?，整理得，即，由為三角形?nèi)角得，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，所以A正確，B錯(cuò)誤

5、；，D錯(cuò)誤；又，所以，C錯(cuò)誤故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過三角恒等變換，求出，三角恒等變換關(guān)鍵在于“三看（看角看名看式）”“三變（變角變名變式）”.7已知，則（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)條件利用正弦的和差化積公式展開化簡得到，再利用二倍角公式化簡求值即可【詳解】，所以，即，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角恒等變換，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩角和差的正弦公式以及公式的逆用、余弦二倍角公式及角的變換，屬于常考題.8在中，若，且，則有（ ）ABCD【答案】A【分析】化簡方程得，又，根據(jù)，即可判斷大小關(guān)系，由，化簡計(jì)算即可求取范圍【詳解】解：因?yàn)?，則 因?yàn)樗?，所以，又，?/p>

6、以，因?yàn)?，所以，所?，則所以，A正確，B錯(cuò)誤；由，又，又，所以，即，C，D錯(cuò)誤；故選：A9已知，則（ ）ABCD【答案】A【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.【詳解】由題意有：，又，.故選：A.10ABCD【答案】D【分析】根據(jù)，代入即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：D.11已知，若定義表示不超過的最大整數(shù)，如，.若，則函數(shù)值域?yàn)椋?）ABCD【答案】D【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，利用正弦型函數(shù)值域的求解方法可求得值域，根據(jù)的定義，分段討論得到的值域.【詳解】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的值域?yàn)?故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義運(yùn)算問題，

7、解題關(guān)鍵是能夠通過三角恒等變換和整體對(duì)應(yīng)的方式準(zhǔn)確求得正弦型函數(shù)的值域.12三國時(shí)期，吳國數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理(西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”).如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，則（ ）ABCD【答案】D【分析】如圖。由題意得，從而可得，給等式兩邊平方化簡后得，從而可求出，而，進(jìn)而可求得答案【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：D13已知，則（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)二倍角余弦公式化簡等式，最后根據(jù)平方法結(jié)合二倍角的正弦

8、公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系式中平方和關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】解：，因?yàn)?，所以，即：，則，.故選：A14筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在農(nóng)政全書中用圖畫描繪了筒車的工作原理.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示，盛水桶在處距水面的距離為，后盛水桶到水面的距離近似為(取)（ ）ABCD【答案】B【分析】設(shè)為水平方向與的夾角，可知水桶到水面的距離為，由處的值可構(gòu)造方程求得，根據(jù)所求距離為，利用三角恒等變換公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由

9、題意知：水桶到水面的距離為：(為水平方向與的夾角)由得：，則，則后水桶距離水面的距離為：，即.后水桶距離水面的距離約為.故選：B.15若，則的值為（ ）ABCD【答案】A【分析】先對(duì)利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡，然后代值求解即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：A16已知sin= ，則cos的值為（ ）ABCD【答案】C【分析】已知條件由誘導(dǎo)公式可化為，再由余弦的二倍角公式可解【詳解】解：，故選：17在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為第四象限角，角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P(x0，y0)，若cos()=，則x0=（ ）ABCD【答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義知x0=cos，因?yàn)閏os

10、=，所以利用兩角差的余弦公式可求.【詳解】解：由題意，x0=cos.，又cos()=，=，x0=cos=+=.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)cos()=，縮小角的范圍，從而確定的正負(fù).18ABCD【答案】D【分析】首先根據(jù)角的余弦值及角的范圍求得角的正切值，最后根據(jù)兩角和的正切公式求解即可.【詳解】，.故選：D.19的最小正周期為，則下列說法正確的是（ ）AB函數(shù)的最大值為1C函數(shù)在上單調(diào)遞增D將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象【答案】C【分析】由題意利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式，再利用余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解【詳解】解：因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?/p>

11、所以，解得，故A錯(cuò)誤；由于，可得的最大值為2，故B錯(cuò)誤；在上，故單調(diào)遞增，故C正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)，故D錯(cuò)誤故選：C20ABCD【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦公式化簡即可得解【詳解】故選：D21已知函數(shù)，判斷下列給出的四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的命題有（ ）個(gè)對(duì)任意的，都有；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到偶函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；“函數(shù)取得最大值”的一個(gè)充分條件是“”A0B1C2D3【答案】A【分析】先把化簡，再對(duì)一一驗(yàn)證：對(duì)于，根據(jù)解析式直接驗(yàn)證；對(duì)于，利用相位變換直接驗(yàn)證；對(duì)于，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性直接驗(yàn)證；對(duì)于，直接代入驗(yàn)證.【詳解】函數(shù)，對(duì)于，所

12、以對(duì)；對(duì)于，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，所以對(duì)；對(duì)于，因?yàn)?，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，所以對(duì)；對(duì)于，因?yàn)?，所以為最大值，即“函?shù)取得最大值”的一個(gè)充分條件是“”，所以對(duì).故選：A.【點(diǎn)睛】(1)三角函數(shù)問題通常需要把它化為“一角一名一次”的結(jié)構(gòu)，借助于或的性質(zhì)解題；(2)求單調(diào)區(qū)間，最后的結(jié)論務(wù)必寫成區(qū)間形式，不能寫成集合或不等式22若定義在上的函數(shù)對(duì)任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)現(xiàn)給出如下函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）則上述函數(shù)中具有性質(zhì)的函數(shù)有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】A【分析】對(duì)（1）（3）進(jìn)行驗(yàn)證證明；對(duì)（2）（4）舉反例，即可得到答案；【詳解】對(duì)（1），顯然不成

13、立，故（1）錯(cuò)誤；對(duì)（2），令，則，故（2）錯(cuò)誤； 對(duì)（3），故（3）正確；對(duì)（4），故（4）錯(cuò)誤； 故選：A.23已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：，故選：B24已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的值可以為（ ）ABCD【答案】A【分析】由輔助角公式得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合題設(shè)確定的范圍，即可判斷的可能值.【詳解】由，在上是增函數(shù)，即 ， ，得，又，.故選：A.25已知，那么（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得，代入二倍角公式即可【詳解】因， 所以故選：D26已知，則的值為（ ）ABCD【答案】D【分析

14、】利用二倍角公式，然后弦化切，即可利用已知條件計(jì)算求值【詳解】，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值問題中已知求關(guān)于的代數(shù)式的值時(shí)一般利用弦公切后直接代入求值，在關(guān)于的齊次式中，常常用弦公切的方法轉(zhuǎn)化為的式子27已知，若，則（ ）ABCD【答案】A【分析】由可得，然后利用兩角和與差的正弦公式展開化簡可得，由可得，代入化簡得，由題意可知，所以，再結(jié)合的范圍可求得結(jié)果【詳解】由題意可知，可化為，展開得，則，因?yàn)椋?，所以，則，且，所以，當(dāng)時(shí)不滿足題意，所，因?yàn)?，所以，則，故選：A.28函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）Af(x)的一個(gè)周期為B的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C的一個(gè)零點(diǎn)為D在上單調(diào)遞減【答案】D【

15、分析】由兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷【詳解】由已知，最小正周期是，也是它的一個(gè)周期，A正確；，所以是一條對(duì)稱軸，B正確；，顯然時(shí)，C正確；時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，D錯(cuò)誤故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由用正弦函數(shù)性質(zhì)求解在三角函數(shù)中若是最值，則是一條對(duì)稱軸，若，則是一個(gè)對(duì)稱中心29已知銳角滿足，則（ ）ABCD【答案】C【分析】求出，由兩角和的正切公式展開，結(jié)合已知求得和，然后求得，再由兩角差的正弦公式計(jì)算【詳解】由得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此時(shí)不是銳角）

16、，是銳角，則，所以故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查兩角和正切公式，萬能公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的正弦公式解題關(guān)鍵是確定選用公式的順序，解題時(shí)由函數(shù)名及角的關(guān)系確定選用的公式及順序30ABCD【答案】A【分析】由余弦的二倍角公式變形后求得，平方后結(jié)合正弦的二倍角公式可得【詳解】因?yàn)?，所以，平方得，故選：A31若，則（ ）ABCD【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡，即，代值計(jì)算即可【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：D32若角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則（ ）ABCD【答案】C【分析】先由已知求得，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式和三角恒等變換化簡代入計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】

17、因?yàn)榻墙K邊在直線上，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的類型的問題，關(guān)鍵在于角的終邊得出角的三角函數(shù)值，并且根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角恒等變換化簡代入求值.33將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍得的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，由三角函數(shù)的伸縮變換得到；利用可求得的范圍，將其放入的單調(diào)遞減區(qū)間，可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，又在上單調(diào)遞減，解得：，當(dāng)時(shí)，滿足題意，即.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的基本方法是：利用的范圍求得的范圍，將整體放入對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間中

18、，構(gòu)造不等關(guān)系求得參數(shù)范圍.34已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與直線重合，則的值為 （ ）ABCD【答案】A【分析】先利用三角函數(shù)的定義計(jì)算出，再利用二倍角公式求出，即可求出的值.【詳解】在角的終邊上任取一點(diǎn)P，記,當(dāng)P在第一象限時(shí)，不妨取，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義得：由二倍角公式得：，.所以.當(dāng)P在第三象限時(shí)，不妨取，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義得：由二倍角公式得：，.所以.綜上所述：故選：A.【點(diǎn)睛】(1) 三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P（x,y）在終邊上的位置無關(guān)，嚴(yán)格代入定義式子就可以求出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值；(2)利用三角公式求三角函數(shù)值的關(guān)鍵：選擇合適的公式進(jìn)行化簡求值35已知，都

19、是銳角，且滿足，則（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系中的商關(guān)系，逆用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，即，因?yàn)?，都是銳角，所以，因此有 或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得舍去，故選：C36已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則函數(shù)的圖象（ ）對(duì)稱A關(guān)于直線對(duì)稱B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于直線對(duì)稱D關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的和差公式、輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡求值，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性的性質(zhì)即可求解.【詳解】（其中），因?yàn)橹本€是函數(shù)的對(duì)稱軸，所以有（），所以（，,所以關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；，所以不關(guān)于直線對(duì)稱，也不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C，D錯(cuò)誤

20、.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)變換公式、三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.37ABCD【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以故選：B二、多選題38由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（PLTschebyscheff）多項(xiàng)式則（ ）AB當(dāng)時(shí)，CD【答案】ACD【分析】根據(jù)題目定義以及二倍角公式即可判斷A正確，令，可得，可判斷出B錯(cuò)誤，令可得，結(jié)合可判斷出C正確，根據(jù)二倍角公式可知，D正確【詳解】因?yàn)?，所以，即，故選項(xiàng)A正確；令，則，則

21、，則，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；令，則，可得，所以，則選項(xiàng)C正確；設(shè)，則，將代入，方程成立，即選項(xiàng)D正確故選：ACD39在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，給出下列命題，其中正確的命題為（ ）A若，則；B若，則滿足條件的有兩個(gè)；C若，則是鈍角三角形；D存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【分析】A.利用正弦定理判斷該選項(xiàng)正確；B. 由于，因此滿足條件的有兩個(gè)，所以該選項(xiàng)正確；C. 可以證明， 是鈍角三角形，所以該選項(xiàng)正確；D. 可以證明，所以該選項(xiàng)不正確.【詳解】A.若，由正弦定理可得：，則，所以該選項(xiàng)正確；B. 若，則，因此滿足條件的有兩個(gè)，所以該選項(xiàng)正確；C. 若，則，是鈍角三角形，所以

22、該選項(xiàng)正確；D. 由于當(dāng)時(shí)，所以該選項(xiàng)不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是靈活利用和角的正切公式，只有靈活運(yùn)用該公式才能簡潔高效地判斷后面兩個(gè)選項(xiàng)的真假.40已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）AB函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱D函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長度得到【答案】AC【分析】由圖象求出函數(shù)的解析式，然后逐一去解答各選項(xiàng)的問題而得解.【詳解】由圖象可知，所以，所以，故A選項(xiàng)正確函數(shù)的解析式為，令得：，故的單調(diào)增區(qū)間為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤因?yàn)?，故C選項(xiàng)正確因?yàn)閳D象可由圖象向左平移個(gè)單位長度得到，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：AC【點(diǎn)睛】已知f(x)Asin

23、(x)(A0，0)的部分圖象求其解析式時(shí)，關(guān)鍵是求待定系數(shù)和，一般是由周期求出；由圖象上的最高(低)點(diǎn)或者零點(diǎn)確定 值.41如圖，已知函數(shù)(，)的圖象與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)，若，且，則下列說法正確的是（ ）A的最小正周期為4B將的圖象向左平移個(gè)單位后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C在區(qū)間上的值域?yàn)镈在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】先利用正切定義、兩角差的正切公式和得到與關(guān)系，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)和求得，再結(jié)合，確定，利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由圖象可知， ，所以，由代入整理得，即，設(shè)，則或，由圖象中點(diǎn)，可知，即，又因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以取，所以，則，即，則或，當(dāng)時(shí)，所以舍去；當(dāng)

24、時(shí)，滿足題意，故，則.對(duì)于選項(xiàng)A，其最小正周期， A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，的圖象向左平移個(gè)單位后為，顯然，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，時(shí)，則，所以， C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，時(shí)，單調(diào)遞減， D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：有關(guān)三角函數(shù)問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定A，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時(shí)根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對(duì)稱軸或曲線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.42已知為第一象限角，為第三象限角，

25、且，則可以為（ ）ABCD【答案】CD【分析】利用題中所給的角所屬的象限，結(jié)合題中所給的三角函數(shù)值，利用平方關(guān)系求得角對(duì)應(yīng)的正余弦值，將角進(jìn)行配湊，利用余弦和角公式求得其結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵?，因?yàn)椋?，所以是第二象限角，所以，為第三象限角，所以，因?yàn)?，所以是第二象限角或第三象限角，?dāng)是第二象限角時(shí)，此時(shí)，當(dāng)是第三象限角時(shí)，此時(shí)，故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問題，正確解題的關(guān)鍵是在利用平方關(guān)系求角的正余弦值時(shí)，注意分析角終邊的位置，注意符號(hào)的選取.第II卷（非選擇題）三、解答題43討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）設(shè)，解關(guān)于的不等式.【答案】

26、（1）答案見解析；（2），.【分析】（1）應(yīng)用分析法：若為偶函數(shù)有，易得恒成立；若為奇函數(shù)有，易得恒成立；再根據(jù)的取值范圍即可確定分別為奇、偶函數(shù)是否能成立.（2）由函數(shù)不等式，將自變量代入化簡得，結(jié)合題設(shè)及余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解集.【詳解】（1）由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，得，即，故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，1、偶函數(shù)，則有，即，可得，整理得：要使對(duì)一切恒成立，在中有.2、奇函數(shù)，則定義域內(nèi)，任意有，如，而，顯然在上不成立，綜上，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).（2）由，代入得，化簡為，展開整理得：，即，可得解集為，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用分析法，假設(shè)為奇或偶函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為說明在已知的范

27、圍中是否有使、成立的區(qū)間即可.（2）將自變量代入函數(shù)式，結(jié)合三角恒等變換化簡，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求解集.44在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出的值；若問題中的三角形不存在，說明理由問題：在中，角，的對(duì)邊分別為，已知，_注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】答案不唯一，具體見解析【分析】若選，則由正弦定理可得，化簡后可求出角或，再由求出，然后由可求出的值；若選，則由正弦定理得，即可得，再利用余弦定理可求得，從而可求出角，再由求出，然后由可求出的值；若選，由結(jié)合輔助角公式和基本不等式可得，則可求出，而利用基本不等式時(shí)有，從而可得三角形為等邊三角形

28、，與相矛盾，則可得問題中的三角形不存在【詳解】選：因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以或，即或因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此的值為或選：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以，因此的值選：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，于是，即；且，即，注意到，因此，即，于是為等邊三角形，因此與相矛盾，故不存在【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可求出角的值，再結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式求出的值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題45在函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：向量，；函數(shù)這三個(gè)

29、條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題.已知_，函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為（1）若，且，求的值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（1）；（2），.【分析】（1）選擇條件時(shí)，首先根據(jù)對(duì)稱軸可得三角函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而可得，再根據(jù)圖象向左平移后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，進(jìn)而根據(jù)其已知范圍可得，所以有，再根據(jù)已知條件及得，代入可得結(jié)果；選擇條件時(shí)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)倍角公式、輔助角公式可得，利用對(duì)稱軸可得三角函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而可得，所以有，下同選擇條件；選擇條件時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)和與差的公式及三角函數(shù)倍角公式、輔助

30、角公式變形可得，以下同選擇條件；（2）根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間可得，解不等式組可得的單調(diào)遞減區(qū)間，令為整數(shù)，可得在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）選條件時(shí)，的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，而，的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，.選條件時(shí)，的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，而，以下同；選條件時(shí)，以下同.（2）由，解得，令，；令，.函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，.46求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)，求的值域【答案】（1）對(duì)稱軸方程為x，kZ（2）【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求得函數(shù)f

31、（x）的對(duì)稱軸方程(2)由平移變化得的解析式，再利用整體換元法求值域【詳解】（1）函數(shù)f（x）2sinxcosx+2sin（x）cos（x）sin2xsin（2x）sin2xcos2x2sin（2x），令2xk，求得x，kZ，故函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為x，kZ（2）令則，故的值域?yàn)?7求函數(shù)的最小正周期及單凋遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的值域【答案】（1）最小正周期是，單凋遞減區(qū)間是；（2）.【分析】先利用二倍角公式和輔助角法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】，（1）函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)的單凋遞減區(qū)間是；（2）因?yàn)?，所以，則，所以，所以函數(shù)的值域是【點(diǎn)睛】方法

32、點(diǎn)睛：1討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成yAsin(x)(0)的形式2函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.3對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等)可以通過換元的方法令tx，將其轉(zhuǎn)化為研究ysin t的性質(zhì)48設(shè)為常數(shù)，函數(shù)（）（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求此函數(shù)的值域.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）化簡，利用正弦函數(shù)的增區(qū)間可求出的增區(qū)間；（2）利用對(duì)恒成立可求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的值域可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）定義域，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以對(duì)于任意

33、的，均有成立，即也即對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立，只有，此時(shí)，因?yàn)椋?，故此函?shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）中，利用對(duì)恒成立可求出是解題關(guān)鍵.49求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若，求的值.【答案】（），；（）.【分析】（1）先用輔助角公式變形函數(shù)為，再把帶入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，分離出即可得解；（2）由，即，根據(jù)的范圍求出，帶入即可得解.【詳解】（）令，得，的單調(diào)增區(qū)間為，；（），即，又，所以，得.50（2017浙江紹興市高三二模）已知函數(shù)（）求的最小正周期；（）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】（）；（）【分析】（）先化簡，再利用公式可求最小正周期；（）解不等式，可求在上的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】解：（）因?yàn)?/p>

34、所以故的最小正周期為（）由，得，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為51對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對(duì)的的“余弦方差”（1）若集合，求集合A相對(duì)的“余弦方差”；（2）判斷集合相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是否為一個(gè)與無關(guān)的定值，并說明理由；（3）若集合，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值，求出、【答案】（1）；（2）證明見解析；定值；（3）或.【分析】由“余弦方差”的定義，對(duì)（1）（2）（3）逐個(gè)求解或證明即可.【詳解】（1）因?yàn)榧?，所以；?）由“余弦方差”的定義得：，.所以是與無關(guān)的定值. （3）由“余弦方差”的定義得：，,，要使是一個(gè)與無關(guān)的定值，則，因?yàn)?，所以與的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱或關(guān)于原

35、點(diǎn)對(duì)稱，又，所以與的終邊只能關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以或時(shí)，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是對(duì)“余弦方差”的定義應(yīng)用和較強(qiáng)的運(yùn)算能力.52已知，函數(shù).（1）將的解析式化為的形式；（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）代入向量數(shù)量積公式表示出函數(shù)，然后利用降冪公式和輔助角公式合一化簡即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上的最大值為，可判斷成立，從而列不等式求解.【詳解】（1）由題意，.（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為，所以在區(qū)間上成立，故，從而53求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若，求的值；（3）若函數(shù)

36、在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由題意先表示出的表達(dá)式，然后運(yùn)用輔助角公式化簡，求出在區(qū)間上的最值（2）由題意得，結(jié)合求解出答案（3）表示出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合題意討論得到的取值范圍.【詳解】（1） ， 因?yàn)椋?，所以，所以?）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以?所以 （3），令， 得， 因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在，使得 所以有 即 因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?所以， 所以 從而有，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，利用輔助角公式化簡求出最值，并結(jié)合三角函數(shù)圖像的單調(diào)性求的取值范圍，解決此類問題常采用整體

37、代換思想54已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊與單位圓交點(diǎn)為（1）求和的值；（2）求的值【答案】（1），；（2）【分析】先由任意角的三角函數(shù)的定義求出、，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦及二倍角正弦公式求值.【詳解】根據(jù)題意， （1）， ，（2）55已知，都是銳角，（1）求；（2）求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)公式，列出方程組求解，再根據(jù)角的范圍求得，最后展開求解即可;（2）利用關(guān)系，利用的三角函數(shù)值，計(jì)算正切，正弦，余弦都可，最后根據(jù)角的范圍求解.【詳解】解：（1）：，是銳角，所以（2）是銳角，是銳角，法一：，法二：法三：.【點(diǎn)睛】(1)給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入展開式即可(2)通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關(guān)鍵點(diǎn)在選取函數(shù)，常遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為