矩陣變換的特征值與特征向量

1、矩陣變換的特征值與特征向量第1頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五矩陣變換的特征值與特征向量第2頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五復(fù)習(xí)若向量= ,利用逆矩陣解二元一次方程組則與共線,即與平行,即.第3頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五表示一個(gè)壓縮變換BCAxyO11MBCAxyO1121第4頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五ABCxy11-1OABCBAxy11-1ON關(guān)于y軸的反射變換第5頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五一般地,給定矩陣M,若存在一個(gè)非零向量和實(shí)數(shù),滿足M = 則稱為

2、矩陣M的特征值, 為矩陣M的屬于特征值的特征向量.特征向量變換后的像與原向量是共線的特征向量的不變換性第6頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五還有沒有其他的特征值和特征向量?如何確定矩陣的特征值和特征向量呢?第7頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五實(shí)例分析由定義知第8頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五特征向量是非零向量,將問題轉(zhuǎn)化為:二元一次方程組何時(shí)有非零解.存在逆矩陣N-1M 無特征向量第9頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五當(dāng) 2-5-24 = 0 時(shí), 才可能是M的特征值解方程得 1 =8 2 =-3第1

3、0頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五將 1 =8 代入 (5.2)1 =8 是M的特征值都是屬于特征值1 =8 的特征向量.第11頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五將 2 =-3 代入(5.2) x+y=0對(duì)每一個(gè)x0的值,都是屬于2 =-3的特征向量 2 =-3 是 M 的特征值第12頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五對(duì)于矩陣M,若有特征值及相應(yīng)的特征向量,即M=,則對(duì)任意實(shí)數(shù)t(t0),t也必是矩陣 M 對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.由于它們是共線的第13頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五堂上練習(xí)1.求下列矩

4、陣的特征值和特征向量第14頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五堂上練習(xí)2.利用特征向量的定義證明,若 是矩陣M對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量,則 t(實(shí)數(shù)t0)也必是矩陣 M 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量.第15頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五抽象概括若矩陣 M 存在特征值,及其對(duì)應(yīng)的特征向量第16頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五因此,矩陣M的特征值必須滿足方程方程的根即為矩陣 M 的特征值一個(gè)二階方陣最多可以有兩個(gè)特征值方程最多有兩根解得特征值代入第17頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五第18頁，共29頁，202

5、2年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五當(dāng) b0 時(shí),由( - a ) x by = 0當(dāng)x0時(shí)第19頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五例1解矩陣M的特征值 滿足方程解得 M 的兩個(gè)特征值 1=2, 2=3設(shè)屬于特征值 1=2 的特征向量為滿足方程組第20頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五這樣的向量有無窮多個(gè),可表示為為屬于特征值1=2的一個(gè)特征向量設(shè)屬于特征值 2=3 的特征向量為滿足方程組這樣的向量有無窮多個(gè),可表示為為屬于特征值2=3的一個(gè)特征向量第21頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五綜上所述,有兩個(gè)特征值1=2,2=3第2

6、2頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五對(duì)上例中連續(xù)實(shí)施n次矩陣M的變換,則第23頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五一般地,當(dāng)矩陣M有特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量 ,即 M = 則有 Mn = 給定兩個(gè)不同線向量1,2及任意向量,總存在實(shí)數(shù)s,t,使得 = s1 + t2如果矩陣M 有兩個(gè)不同線的特征向量1,2 ,及其相應(yīng)的特征值1,2 ,有 M1= 1 1 , M2= 2 2 對(duì)任意向量有M=M(s1 + t2)=s(M1)+ t(M2)= s( 11)+ t(22) 第24頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五變換結(jié)果,任意向量在矩陣M 作用下的變換結(jié)果均可以用它們表示.對(duì)一般向量連續(xù)實(shí)施矩陣M 所表示的變換時(shí),M2 = M2(s1+t2)= s ( M21 ) + t (M2 2)第25頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五一般地第26頁，共29頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)19分，星期五例2解利用例1結(jié)果是矩陣M分別對(duì)應(yīng)特征值12的兩個(gè)特征向量,且它們不同線第27頁，共29頁，20