電磁場矢量分析第三次課

1、電磁場矢量分析第三次課第1頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五2本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)1.2 常用正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理第2頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五31. 標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1 矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定

2、是常矢量。 矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。 第3頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五4矢量用坐標(biāo)分量表示zxy第4頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五5（1）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運算 矢量的加法矢量的減法 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律第5頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五6（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點積）矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量 與 的夾角第6頁，共77頁，2022年，5月20日，6

3、點41分，星期五7（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量 與 的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若 ，則若 ，則第7頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五8（5）矢量的混合運算 分配律 分配律 標(biāo)量三重積 矢量三重積第8頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五9 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變

4、量。第9頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五101、直角坐標(biāo)系 位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量 點P(x0,y0,z0)0yy=（平面） o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐標(biāo)系 x yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydx第10頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五112、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第11頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五123、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元

5、矢量第12頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五134、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq ofxy單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 f第13頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五*上述關(guān)系可以寫成矩陣形式*單位矢量映射關(guān)系常用于混合坐標(biāo)下矢量運算時的 統(tǒng)一坐標(biāo)*本課時作業(yè): 證明位置矢量14圓柱坐標(biāo)下的矢量 在直角坐標(biāo)中如何表達(dá)?第14頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五*每日題例;習(xí)題1.6,1.7*剃度運算的物

6、理意義和基本性質(zhì),相關(guān)題例說明*哈密頓算符的表達(dá)*通量,散度運算的物理意義*三大坐標(biāo)系的散度公式推導(dǎo)*高斯定理 ,相關(guān)恒等式15第二次課要點;第15頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五161.3 標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示

7、為：第16頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五17標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值線(面)等值面: 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點：意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。第17頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五18標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場關(guān)心的是物理量的分布變化規(guī)律.增量其中第18頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五19標(biāo)量場梯度的物理意義等位面上等位面間,增量du相等,

8、路徑dl以法線方向最短,變化率最大梯度代表著場點處標(biāo)量變化率最大的方向和最大變化率任意方向上的變化率稱為方向?qū)?shù),為梯度在其指定方向en上的投影:第19頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五202. 方向?qū)?shù)意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念： u(M)沿 方向增加； u(M)沿 方向減?。?u(M)沿 方向無變化。 M0M方向?qū)?shù)的概念 特點：方向性導(dǎo)數(shù)既與點M0有關(guān)，也與 方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。 式中： 第20頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五21梯度的表達(dá)式(統(tǒng)一于線元的表達(dá)下)：

9、圓柱面坐標(biāo)系 球面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系 3、標(biāo)量場的梯度（ 或 ）意義：描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念： ，其中 取得最大值的方向第21頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五22標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第22頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五23 題例 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。試

10、求： (1) 該函數(shù) 在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量； (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量 el= ex cos60ey cos45 ez cos60方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。 解 (1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為第23頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五24表征其方向的單位矢量 (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為第24頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五25而該點的梯度值為 顯然，梯度 描述

11、了P點處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。第25頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五關(guān)于距離R的梯度運算距離為標(biāo)量,(x,y,z)為場點,(x,y,z)為場源所在的源點存在26第26頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五上述重要結(jié)論的證明見例。27第27頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五矢量場關(guān)心的問題圍繞一張場圖展開：28場源場量媒質(zhì)位函數(shù)邊界條件能量結(jié)構(gòu)、參數(shù)第28頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五借助于流速場，首先解決場量分布已知，場源如何定位？定義什么運算來定位場源？其次要明確矢量的場

12、源有那些具體形式，如何分類？通量，散度，環(huán)流，旋度都是相關(guān)的概念。亥姆霍斯回答了場源的類型。29第29頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五301.4 矢量場的通量與散度 1、矢量線 意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。矢量線oM 第30頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五312、矢量場的通量 問題：如何定量描述矢量場的大??？ 引入通量的概念。 通量的概念：其中：面積元矢量；面積元的法向單位矢量；穿過面積元 的通量； 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合

13、曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量第31頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五32通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義第32頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五矢量閉合面通量的物理意義是尋找場域閉合面內(nèi)標(biāo)性場源的宏觀總量,對標(biāo)性場源的定位是不精確的,需要在點源意義下進(jìn)行定位33第33頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五343、矢量場的散度 為了定量研究

14、場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。 散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。散度代表著標(biāo)性場源的點密度第34頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五35柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式(推導(dǎo)論證)：散度的有關(guān)公式：第35頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五36直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計算FzzDxDyDP 不失一般性，令包圍P點的微體積V 為一直平行六面體

15、，如圖所示。則 M(x,y,z)第36頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五37根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為借助于直角坐標(biāo)系推導(dǎo),整理成矢性表達(dá),利用場性質(zhì)不因坐標(biāo)而變的性質(zhì)推廣到其他坐標(biāo)系是非常重要的手段第37頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五38園柱面坐系散度公式的推導(dǎo)驗算結(jié)合習(xí)題1.17第38頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五39球面坐標(biāo)系散度推導(dǎo)第39頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五404、散度定理體積的剖

16、分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 (物理意義是標(biāo)性場源宏觀總量平衡) 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第40頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五散度定理的幾個應(yīng)用:*驗算散度的表達(dá)推導(dǎo)是否正確,如果散度(標(biāo)性點源)的體積分(宏觀總量),與矢量閉合面的積分(宏觀總量)相等,證明散度推導(dǎo)出來的表達(dá)式是真確的習(xí)題1.18求（1）矢量 的散度；（2）求 對中心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求 對此立方體表面的積分，驗證散度定理。4

17、1第41頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五*散度定理用于積分轉(zhuǎn)換,一個方向計算復(fù)雜換另一個方向可能較。如：換成散度的體積分去完成較快，避免了混合坐標(biāo)的下矢量的面積分計算.42第42頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五*用于公式整和，尤其是基本方程微分形式和積分形式的相互轉(zhuǎn)換*本課時內(nèi)容小結(jié)43第43頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五每日練習(xí):習(xí)題1.17,驗證散度定理判斷圓柱坐標(biāo)的散度表達(dá) 是否正確已知:44第44頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五面積分方向45第45頁，共77頁，2022年，5月20日，6點

18、41分，星期五體積份方向:因此圓柱坐標(biāo)的散度表達(dá)是正確的46第46頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五47利用高斯散度定理證明如下結(jié)論:其中:高斯散度定理先證積分方向,在轉(zhuǎn)化微分方向第47頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五48因此有第48頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五*本課時要點:*了解環(huán)流、旋度運算的物理意義，借助直角坐標(biāo)系完成推導(dǎo)，推廣到其他坐標(biāo)系，結(jié)合斯托克斯定理加于驗算。*了解主要的矢量恒等式*了解 雙重微分運算的展開形式*了解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，場的分類，位函數(shù)引用的條件*歸納本章要點*討論部分重點習(xí)題49第49頁，

19、共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五501.5 矢量場的環(huán)流和旋度 矢量場的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。（對于旋渦源，矢量閉合面的積分恒等于零，需要定義其他的運算 ）第50頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五51 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。 第51頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五52如果矢量場的任

20、意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念（旋渦源只能用矢量的線積分來尋找定位） 矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即環(huán)流的物理意義：指定路徑上的旋渦源宏觀總量，標(biāo)性的結(jié)果第52頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五53如果矢量場在指定閉合回路的環(huán)流為零，可能場域無源，也可能正負(fù)旋渦源抵消，也可能是路徑與旋渦源垂直。因此環(huán)流運算對旋渦源的定位是不精確的，需要在點源意義下表達(dá)。定義 為旋度旋度運算結(jié)果為矢量

21、，代表旋渦點源的強(qiáng)度和方向完成旋度運算只需要計算旋渦源在坐標(biāo)三個面上的投影第53頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五54 過點M 作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限稱為矢量場在點M 處沿方向n的環(huán)流面密度。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。 特點：其值與點M 處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（ ） （1）環(huán)流面密度第54頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五55而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。oyDz DyCMzx

22、1234計算 的示意圖 直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式第55頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五56于是 同理可得故得概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面 密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法 線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度第56頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五57旋度的計算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系第57頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五58旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零物理意義：旋渦點源永遠(yuǎn)無法用矢量的閉合面積分來發(fā)

23、現(xiàn)第58頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五593、Stokes定理（物理意義：旋渦點源宏觀總量平衡） Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第59頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五603、Stokes定理（物理意義：旋渦點源宏觀總量平衡） *Stokes定理可以用于驗證旋度的表達(dá)是否正確Stokes可以用于積分轉(zhuǎn)換，一種運算有時換成另一個方向去完成 可能較簡明Sto

24、kes定理也常用于公式整合、推導(dǎo)*題例討論習(xí)題：1.21、1.22 及習(xí)題1.31第60頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五614、散度和旋度的區(qū)別 第61頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五621、矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度； 旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6

25、無旋場與無散場第62頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五632、矢量場按源的分類（1）無旋場(性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場第63頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五64（2）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場第64頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五65（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分第65頁，共77頁，

26、2022年，5月20日，6點41分，星期五66基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。第66頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五67亥姆霍茲定理: 若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 式中： 亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定。1.8 亥姆霍茲定理第67頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五68有界區(qū)域 在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。第68頁，共77頁，2022年，5月20日，6點41分，星期五亥姆霍茲定理本質(zhì):場源明確了,則場的性質(zhì)就明確。任何矢量場都只有散度和旋度兩種源（無界條件下，微分運算連續(xù)