高中 高二 數(shù)學 函數(shù)的極值與 最大（?。┲担ǖ谝徽n時）

1、 5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值 第一課時 函數(shù)的極值 深圳市龍崗區(qū)布吉高級中學 李福蓮一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 1. 內(nèi)容：極值的概念，了解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系，運用導數(shù)方法求函數(shù)極值。2. 內(nèi)容解析：（1）極值的概念：函數(shù)的極值本質(zhì)反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)。教學時可以用高臺跳水實例引入函數(shù)極值的討論，先讓學生結合實際經(jīng)驗，通過觀察圖形直觀形象的得到“局部最值的初步想法，通過對比函數(shù)的最值，引發(fā)學生的認知沖突,使學生認識到“局部最值”不同于函數(shù)最值，是一個全新的概念，從而生成函數(shù)極值的概念。需要注意的是，“在附近”的含義實際上指的是一個非常小的區(qū)間，

2、這個區(qū)間的左端點比小，右端點比大。這個區(qū)間要多小就可以有多小，這里我們用的是自然語言來進行表述。在高等數(shù)學里我們還會用符號語言精確刻畫“在附近”的含義。（2）函數(shù)的極值與導數(shù)的關系：學生對函數(shù)的極值有了初步的了解后，學生就會面臨難題，如何利用導數(shù)求函數(shù)的極值呢？這一部分主要是探究求極值的算法，雖然沒有新知識和新概念的生成，但教師在教學中依然要符合學生的認知規(guī)律，要讓學生認識到利用導數(shù)來求極值是通過探究自然而然形成的。先讓學生觀察函數(shù)極值附近兩側(cè)的圖像變化，認識到函數(shù)極值點左右兩側(cè)圖像變化趨勢是相反的。學生知道圖象的上升與下降是用單調(diào)性來刻畫的，而函數(shù)單調(diào)性又可以用導數(shù)來刻畫的。因此，學生自然而

3、然地就明白函數(shù)的極值可以借助導數(shù)來求解。（3）運用導數(shù)方法求函數(shù)極值：學生通過觀察圖象可以自己總結求函數(shù)極值的一般步驟，但是還是會忽略定義域，因此要強調(diào)學生注意這一點，通過例題的變式可以達到這一目標。為了能夠更加簡捷地求極值，教師要示范利用表格完整的書寫求極值的過程。需要強調(diào)的是，在高中研究的函數(shù)都是處處可導的函數(shù)。再啟發(fā)學生得出函數(shù)在一點的導數(shù)值為0是函數(shù)在這點處取得極值的必要條件，而非充分條件。并舉出反例f(x)=x3加以說明。3. 教學重點：極大值、極小值概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的步驟。目標與目標解析1. 目標：結合函數(shù)圖像，了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；理

4、解函數(shù)極值的概念，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值。通過觀察具體的函數(shù)圖像，學生直觀感知極值這一概念的生成過程，并積極主動地參與探索函數(shù)的極值與導數(shù)值變化之間的關系的活動，親身經(jīng)歷用導數(shù)研究極值方法的過程。通過學習，學生體會導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具性和優(yōu)越性，掌握極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，增強數(shù)形結合的意識；通過體會成功，形成學習數(shù)學知識、了解數(shù)學文化的積極態(tài)度；通過規(guī)范地表達求函數(shù)極值的過程，養(yǎng)成縝密的思維習慣。2. 目標解析：達成上述目標的標志分別是：（1）能夠通過函數(shù)圖象判斷函數(shù)的極值點和極值。（2）能夠通過導函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的極值點。（3）能夠利用導數(shù)求解一元三次函數(shù)的極值。教學問題診斷

5、解析 問題診斷為何可以利用導數(shù)直接判斷極值是第一個教學問題，也是教學難點。導數(shù)理論從產(chǎn)生到完備經(jīng)歷了幾個世紀，凝聚了數(shù)學家的心血。如今學生“再創(chuàng)造”學習時，在沒有教師的引導下，導數(shù)介入函數(shù)的極值中是很難理解。這樣的突然一跳作為學生的探究起點，難度很大，不免給學生造成此內(nèi)容好像是“帽子里跳出的兔子”。因此，探究的起點應從學生熟悉的公式或概念開始。學生對函數(shù)的極值有了初步的了解后，那么困惑產(chǎn)生了：如何求函數(shù)的極值呢?這一部分主要是探究求極值的算法，雖然沒有新知識和新概念的生成，但依然要符合學生的認知規(guī)律。要讓學生認識到利用導數(shù)來求極值是通過探究自然而然形成的。先引導學生觀察函數(shù)極值附近兩側(cè)的圖像變

6、化如何？學生就能聯(lián)系單調(diào)性進行想到函數(shù)的極值可以用導數(shù)來刻畫。再引導學生從圖象中觀察得出如何區(qū)分極大值和極小值，進而得到求極值的一般步驟。 值得注意的是，中學主要探討可導函數(shù)的極值，高等數(shù)學中極值點處導數(shù)可以不存在，如 是該函數(shù)的極小值點，但 不存在。（2）函數(shù)在某點處的導數(shù)值為0是可導函數(shù)取得極值的必要條件，而非充分條件。這個第二個教學問題，也是教學難點。學生通過例1的講解以及求極值的基本步驟，可以更加清楚的認識到，函數(shù)在處取得極值的充分條件是：；在的左右兩側(cè)導數(shù)值是異號的。然后再安排教科書上的思考導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎？在學生認識到函數(shù)在某點取得極值的充分條件后，學生容易想到特

7、例，進而得出結論：“導數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點”。 教學難點函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件，求可導函數(shù)的極值的步驟。教學支持條件分析為了理解極值的概念，只需要學生借助圖象直觀，進行數(shù)學抽象即可。當t=a時，運動員距水面的高度h最大。為了讓學生從圖象上直觀地看到t=a附近函數(shù)導數(shù)值的正負性變化，教學時可以采用信息技術工具，放大函數(shù)在t=a附近的圖象。因此可以借助幾何畫板作為教學支持條件。先作出函數(shù)圖象在t=a的左側(cè)某點處的切線，當切點沿函數(shù)圖象從t=a的左側(cè)移動至右側(cè)時，切線斜率由正數(shù)變到為0，再由0變到負數(shù)。教學過程設計 情境引入 問題1 觀察廬山連綿起伏的圖片，思考廬山的山勢

8、有什么特點？ 圖1師生活動：學生間激烈地爭論著這個問題，教師再給出這節(jié)課要研究的角度，結合蘇軾在題西林壁中的詩句“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”，描述的是廬山的連綿起伏。由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的峰點 與谷點，這就象數(shù)學上要研究的函數(shù)的極值。設計意圖將學生從要我學被動學習情緒激發(fā)到“我要學”的積極主動的學習欲望上來，學生能夠自覺地參與課堂教學的過程中來。合作探究問題2 觀察圖2和圖3，函數(shù)在點處的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值之間有什么關系？ 圖2 圖3 師生活動：學生觀察分析后發(fā)表自己的見解。教師在前面活動的基礎上進行點評，函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大，它是一個局部的概念，

9、不同于函數(shù)的最值，為了區(qū)分函數(shù)的最值，我們要加以新的定義。然后給出極大值的概念：函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大，我們把叫做函數(shù)的極大值點，叫做函數(shù)的極大值。類似地，學生給出極小值的概念：函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小，我們把叫做函數(shù)的極小值點，叫做函數(shù)的極小值。教師再強調(diào)：（1）極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點, 極小值、極大值統(tǒng)稱為極值；（2）極值點是橫坐標, 極值是縱坐標。（3）“在附近”的含義實際上指的是一個非常小的區(qū)間，這個區(qū)間的左端點比小，右端點比大。這個區(qū)間要多小就可以有多小，這里我們用的是自然語言來進行表述。在高等數(shù)學里我們還會用符號語言精確刻畫“在

10、附近”的含義。設計意圖讓學生將觀察分析得到的結論用科學嚴謹?shù)臄?shù)學語言表達出來，有利于學生思維從感性層面提升到理性層面，培養(yǎng)歸納概括能力。問題3 觀察圖4，找出圖中的極值點，并說明哪些為極大值點，哪些為極小值點？ 圖 4 追問1 函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值點和極小值點唯一嗎？追問2 區(qū)間的端點能成為極值點嗎？追問3 極大值一定大于極小值嗎？師生活動：小組討論交流并展示后，教師再加以點評，極值刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值刻畫的是函數(shù)的整體性質(zhì)，是兩個不同的概念。設計意圖對問題進行遞進式分解，有利于學生思維的有序展開。追問的設置有利于學生對概念的辨析和理解。問題4 回到圖象2、圖象3，函數(shù)在極值點附

11、近的圖象變化如何？ 圖 2 圖 3 追問1 函數(shù)圖象的上升與下降可以用什么來刻畫？ 追問2 函數(shù)單調(diào)性可以用什么來刻畫呢？師生活動：學生觀察認識到函數(shù)極值點左右兩側(cè)圖像變化趨勢是相反的。而圖象的上升與下降是用單調(diào)性來刻畫的，函數(shù)單調(diào)性又可以用導數(shù)來刻畫的。接著教師利用幾何畫板進行演示，先作出函數(shù)圖象在t=a的左側(cè)某點處的切線，當切點沿函數(shù)圖象從t=a的左側(cè)移動至右側(cè)時，切線斜率由正數(shù)變到為0，再由0變到負數(shù)。追問3 如何區(qū)分極大值與極小值呢？師生活動：放大附近函數(shù)的圖像，請學生觀察幾何畫板展示的動態(tài)過程，得到當時，函數(shù)單調(diào)遞增，；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，。這樣，當在的附近從小到大經(jīng)過時，先正后負，

12、且連續(xù)變化，于是有。再由學生總結求函數(shù)極值的步驟：（1）先求f(x)的零點；（2）再利用口訣：先正后負是極大值；先負后正是極小值。設計意圖讓學生經(jīng)歷可以利用導數(shù)求極值這一知識的自主建構過程，借助圖象直觀，進行數(shù)學抽 象形成極值口訣，乘勢而上，讓學生自己總結求極值的基本步驟，培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。 學以致用例題1 求函數(shù)的極值。師生活動：教師啟發(fā)學生思考，并示范解答問題。在此基礎上，引導學生歸納用導數(shù)求函數(shù)y=f (x)極值的步驟：第1步，求出函數(shù)的定義域；第2步，求出導數(shù)f (x)的零點；第3步，用f (x)的零點將函數(shù)f (x)的定義域劃分成若干個開區(qū)間，列表給出

13、f (x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y=f (x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值。追問：導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎？師生活動：學生在前面例題的基礎上，容易想到如果導數(shù)值在這個根左右兩側(cè)同號，那么這個根不是極值點。如f (x)x3，f (0)0， 但x0不是f (x)x3的極值點所以，當f (x0)0時，要判斷xx0是否為f (x)的極值點，還要看f (x)在x0兩側(cè)的符號是否相反。設計意圖此問題是教科書第93頁例6，教師通過例題解答向?qū)W生示范如何利用導數(shù)求函數(shù)的極值。讓學生養(yǎng)成規(guī)范表達的良好習慣，學會探索利用列表法簡潔明了的表達方式的方法。并讓學生體會到函數(shù)在一點的導數(shù)值為

14、0是函數(shù)在這點取極值的必要條件，而非充分條件。例題2 函數(shù)f (x)的導函數(shù)y= f (x)的圖象如圖所示，試找出函數(shù)f (x)的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點。追問：函數(shù)y= f (x)的極大值點和極小值點分別是什么？師生活動：教師引導學生利用求極值的三步曲來進行判斷。對于函數(shù)y= f (x)的極大值點和極小值點，教師要特別強調(diào)導函數(shù)也是一個函數(shù)，它也可以有極大值點和極小值點。設計意圖通過該例題，讓學生能夠通過觀察導函數(shù)的圖象，利用求極值的三步曲，判斷出極值點的位置。也讓學生明白還可以根據(jù)極值點的定義來進行判斷。 當堂檢測 求下列函數(shù)的極值：(1); (2).【設計意圖】通過習

15、題的訓練，學生進一步體會用表格的形式解題的優(yōu)勢。課堂小結請學生總結一下本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法。師生活動：教師引導學生自行總結本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，在此基礎上，結合學生總結的情況及時進行補充完善。設計意圖回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，總結用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟，使學生進一步體會導數(shù)在研究函數(shù)極值中的作用，感受算法思想。目標檢測設計檢測1 函數(shù)的定義域為，導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x) ()A無極大值點，有四個極小值點B有三個極大值點，兩個極小值點C有兩個極大值點，兩個極小值點D有四個極大值點，無極小值點設計意圖考查學生對利用導函數(shù)的圖象判斷函數(shù)極值的認識。檢測2 (多選題)下列四個函數(shù)

16、中，在x0處取得極值的函數(shù)是()Ayx3 Byx21 Cy|x| Dy2x設計意圖考查學生對利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的掌握程度。檢測3 求下列函數(shù)的極值:(1) fx(2) .設計意圖考查學生對利用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟的掌握程度。檢測4 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,求實數(shù)a的取值范圍.設計意圖考查學生對用導數(shù)刻畫函數(shù)極值的認識。1.C設yf (x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f (x)在xx1，xx3處取得極大值，在xx2，xx4處取得極小值2.BC對于A，y3x20，yx3單調(diào)遞增，無極值；對于B，y2x，x0時y0，x0時y0，x0為極值點；對于C，根據(jù)圖象，在(0，)上單調(diào)遞增，在(，0)上單調(diào)遞減，C符合；對于D，y