MM定理證明過程MM定理證明過程

1、無稅收據(jù)件下的MM定理1.1假定條件假定1：無摩擦市場(chǎng)假定不考慮稅收；公司刊行證券無交易成本和交易花費(fèi)，投資者不用為買賣證券支付任何花費(fèi)；沒關(guān)系交易存在；不論舉債多少，公司和個(gè)人均無破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參加者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)體制是完整且齊備的；不存在自然壟斷、外面性、信息不對(duì)稱、公共物件等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改良；等等；資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用公司內(nèi)部信息都沒法套利，沒有無風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)；投資者能夠以公司借貸資本利率同樣的利率借入或貸出隨意數(shù)目的資本。假定2：一致預(yù)期假定所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能獲得相關(guān)宏觀、行業(yè)、公司的所有信息，對(duì)其進(jìn)行完整理性的前瞻性剖析

2、，所以大家對(duì)質(zhì)券價(jià)錢預(yù)期都是同樣的，并且且投資者對(duì)組合的預(yù)期利潤率微風(fēng)險(xiǎn)都依據(jù)馬克維茲的投資組合理論權(quán)衡。1.2MM定理第一命題及其推論定理第一命題：有財(cái)務(wù)杠桿公司的市場(chǎng)價(jià)值和無財(cái)務(wù)杠桿公司的市場(chǎng)價(jià)值相等。第一命題的含義：即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本構(gòu)造沒關(guān)，而只與其盈余水平相關(guān)。這說明將來擁有完整同樣的盈余能力的公司市場(chǎng)價(jià)值同樣，但因?yàn)槠淝穫潭炔灰粯訕右兀仕鼈兊膬糌?cái)產(chǎn)可能有很大差異。定理第一命題證明過程：證明方法是無套利平衡剖析法?；A(chǔ)假定：我們假定有兩家公司公司A和公司B，它們的財(cái)產(chǎn)性質(zhì)完整同樣但資本構(gòu)造完整不一樣。A公司沒有欠

3、債（這是一種極端假定，但作為比較基準(zhǔn)更能說明問題）B公司的欠債額度是D，假定該欠債擁有永遠(yuǎn)性質(zhì)，因?yàn)榭蛇B續(xù)盈余的公司總能夠用新刊行的債券來償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完整不一樣，那是沒有收入根源且信息不對(duì)稱下致使的平生借債花費(fèi)計(jì)劃無效）。細(xì)節(jié)假定：B公司目前債務(wù)利率為r（固定值）；A、B兩公司目前的股安分別是SA和SB（固定值）；A、B兩公司目前權(quán)益資本預(yù)期利潤率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期利潤率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指目前的預(yù)期利潤率）；A、B兩公司任何年份的息稅前利潤（EBIT）同樣，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）；A、B兩公司

4、目前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；A、B兩公司目前股票的市場(chǎng)價(jià)錢與其真切價(jià)值完整一致，分別為MPA和MPB（固定值）；A、B兩公司目前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。注：假定中固定值許多是因?yàn)殪o態(tài)觀察公司目前價(jià)值?？紤]一個(gè)套利策略：賣出A公司1%的股票；同時(shí)買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比率可隨意假定，但一定均為同一值）。這類套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表1。表1上述套利策略的現(xiàn)金流頭寸即時(shí)現(xiàn)金流將來每年現(xiàn)金流賣出1%A股票*PVA*EBIT買入1%B股票*SB*MPB*（EBIT-D*r）買入1%B債券*D*D*r凈現(xiàn)金流NC0第一，任何公司

5、的財(cái)產(chǎn)都等于賬面的欠債加權(quán)益，A公司無欠債，所以有PVASEA;PVBDSEB其次，任何公司的股票價(jià)錢都等于其股東權(quán)益與股本的比值：MPAPVA/SA;MPB(PVBD)/SB再次，市場(chǎng)不該當(dāng)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)，故NC=0，也就是0.01*PVA0.01*SB*MPB0.01*D0MPB(PVAD)/SB由推得：PVAPVB，命題證畢。定理第一命題推論一：債轉(zhuǎn)股后假如盈余未變，那么公司的股票價(jià)錢也不變。證明：假定B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：kD/SEB1k(SEBD)/SEBPVB/SEBPVA/SEBSA/SB將代入得：MPAPVA/SAPVB/(SB(1k)(DSEB)/(SB(1k)SE

6、B(1k)/(SB(1k)MPB證畢。定理第一命題推論二：股東希望利潤率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上漲而上漲。含義：正常狀況下B公司在債轉(zhuǎn)股以后會(huì)降低其股票的預(yù)期利潤率，或許說A公司的股票預(yù)期利潤率小于B公司的股票的預(yù)期利潤率。證明：B公司的財(cái)產(chǎn)欠債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：RDABD/PVBD/(DSEB)k/(1k)REABSEB/PVBSEB/(DSE)1/(1k)因?yàn)楣舅卸惽袄麧櫨鶅?yōu)先用于分配股息，并且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)錢反應(yīng)股票價(jià)值。則由股票利潤現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期利潤率rA和rB分別知足：MPAEBIT/SAEBIT(1rA)jSA*rAj1MPB(E

7、BITR*D)/SBEBITR*D(1rB)jSB*rBj1同時(shí)EBITr*PVB，因?yàn)檫@表示即便公司所有舉債經(jīng)營，公司產(chǎn)生的稅息前利潤也足夠支付利息，也就是說股票的利潤率大于債券的利潤率，因?yàn)橄到y(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期利潤相般配的結(jié)果致使這個(gè)不等式必定建立。故可推導(dǎo)出：EBITr*DEBITr*DEBITEBITEBITrBPVBDPVBPVArA，證畢。SEBSA*MPA定理第一命題推論三：股東每股盈余也會(huì)跟著財(cái)務(wù)杠桿的上漲而上漲。含義：正常狀況下，債券轉(zhuǎn)為股票以后，公司股東的每股盈余也會(huì)降落。證明：A、B兩公司每股盈余分別為：EAEBIT;EB(EBITR*D)SASB將代入的第二式得：(EBITR

8、*D)(1k)(EBITR*D)k*EBIT(1k)*R*DEBSAEASBSA因?yàn)镋BITr*PVB，再將前面RDAB定義式代入，能夠推得：k*EBIT(1k)*R*D(1k)(kEBITR*D)(1k)*D(EBITr)01kPVB由得：EBEA，證畢。注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)特別少的人有可能會(huì)感覺上述三個(gè)推論感性理解上有互相矛盾的地方，故須深入思慮現(xiàn)實(shí)過程。1.3MM定理第二命題及其推論定理第二命題：公司加權(quán)均勻資本成本（WACC）與公司的資本構(gòu)造沒關(guān)。證明：因?yàn)楣続僅有股權(quán)融資，故WACCArASEBDEBITEBITWACCBrBPVBrPVBPVBPVArA，證畢。定理第二命題推論：有欠債的

9、公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無欠債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)賠償，風(fēng)險(xiǎn)賠償?shù)谋嚷室蜃邮乔穫鶛?quán)益比k。（是否是和CAPM、多因子模型、套利訂價(jià)和單證券訂價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）證明：由（從頭編號(hào)）得：rBPVBrAr*DrAD(rAr)rAk(rAr)，證畢。SEBSEBSEB有稅收據(jù)件下的MM定理2.1假定條件考慮稅收，其余假定與前面同樣。有稅收據(jù)件下的推論。MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)2.2MM定理第一命題及其推論定理第一命題：在考慮稅收的狀況下，有財(cái)務(wù)杠桿的公司的市場(chǎng)價(jià)值等于無財(cái)務(wù)杠桿的公司的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率

10、制等也同樣的），那么兩公司的稅后利潤（EAT）分別為：EATA(1T)*EBITEATB(1T)*(EBITr*D)r*D(1T)*EBITT*r*DEATA，證畢。此中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈余對(duì)比，這是B公司多出來的部分，這是因?yàn)锽公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中?；蛟S也能夠理解為沒有欠債的公司舉債時(shí)，政府需要把本來征的稅的一部分退給公司的借主，或許說舉債成本里T*r是政府買單的（時(shí)機(jī)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1T)*r，這是

11、從金融的角度或許說時(shí)機(jī)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤和會(huì)計(jì)利潤的差異同樣，而證券訂價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能正確。明顯A、B兩公司的稅前價(jià)值仍舊同樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收狀況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：PVA/PVA(1T)PVB/PVB(1T)(1r*D)DPVA/D(1(1T)r*PVB)PVA/EBITEBIT此中D(1(1T)r*PVB)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。EBIT定理第一命題推論一：在考慮稅收狀況下，股東的希望利潤率仍舊會(huì)跟著財(cái)務(wù)杠桿的上漲而上漲。即在考慮稅收的狀況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍舊建立。證明：考慮稅收，A

12、公司股票預(yù)期利潤率為：rA/EBIT(1T)EBIT(1T)EBIT(1T)rASA*MPA/PVA/(1T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和（從頭編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期利潤率為：EBITrD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rDrD/1TrBSB*MPB/PVB/D/(1T)*rD*PVBPVA(1rDPVAEBIT)EBIT再由得：rB/rA/rDrD，因?yàn)镋BITrD（盈余足夠付利息，保證PVA(1T)(1)EBIT不破產(chǎn)），故rB/rA/，證畢。定理第一命題推論二：考慮稅收狀況下，股東的每股利潤也仍舊會(huì)跟著財(cái)務(wù)杠桿的上漲而上漲

13、，即在考慮稅收狀況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍舊建立。證明：A、B兩公司每股盈余分別為：EA/(1T)EBIT;EB/(1T)(EBITrD)rDSASB將第一部分第一命題推論一下邊的代入得：EB/(1k)(1T)(EBITrD)rDEA/TrDk(1T)(EBITrD)rDEA/SASA因EBITrD，故上不等式建立，證畢。MM定理第一命題推論三：在考慮稅收狀況下，WACC與公司資本構(gòu)造相關(guān)。（證略）依據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)/和無稅收狀況下的貝塔系數(shù)的關(guān)系為(1(1T)D)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期利潤，而后再依據(jù)公司計(jì)算出SEWACC，明顯WACC是受資本構(gòu)造影響的。定理第一命題推論四：在考慮稅收狀況下，有欠債的公司的權(quán)益資本成本仍舊大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無欠債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)賠償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如）。注：一個(gè)延長(zhǎng)，PV/PV(1(1Tc)(1Ts)D，Tc表示公司所得稅率，Ts表示股票