萬有引力中的能量

1、物理訓(xùn)練課講義訓(xùn)練課老師： 李武星 時間：內(nèi)容訓(xùn)練目標(biāo)要求訓(xùn)練內(nèi)容五.人造衛(wèi)星、天體的運(yùn)動1.引力勢：質(zhì)量為m的物體離地心的距離為r,設(shè)地球的質(zhì)量為M,則物體的引力勢能（嚴(yán)格上是地球和物體共有的,mmE =G 12 且取無限遠(yuǎn)引力勢能為零） p r證：把物體移到無限遠(yuǎn),引力做功等于引力勢能的減小量,只要求出引力的功,可求出引力勢能。把物體移動過程分為無限段過程，每一過程?r都為無限小.MmW =-Gm Ar = -G在r1MmW =-Gm Ar = -G在r1到r2的過程中引力做功1r12m .（r r rr 2 1 r1r2）=-GMm（丄-丄）rr12W2同理在丫2到r3的過程中引力做功2

2、=-GMm（丄-丄）rr23W = -Gm（- 在r .到r的過程中引力做功2rn-1n-1nL-丄）rnW = -W + W +12所以在r,到r的過程中引力做功 121n=-Gm（丄-）rr1n無限遠(yuǎn)rn?（引力勢能為零）,mm=W = Gr,適用于均勻球體或質(zhì)點(diǎn)間。工k Ar = k（丄-丄）注意：上述方法也是求r2r1 r2 的常用方法（積分）。宇宙速度： TOC o 1-5 h z m v 2GG = mv =屮 第一宇宙速度（環(huán)繞速度），r2 r，得衛(wèi)星的速度 九r=7.9?10=7.9?103m/s.當(dāng)r=R時，衛(wèi)星繞地球表面作圓周運(yùn)動的速度1 R1m 1mmv 2 G = mv

3、 2 G第二宇宙速度（脫離速度），由機(jī)械能守恒： 2 2 R 2r衛(wèi)星脫離地球的條件是當(dāng)r?時，v?0,2GM得v22GM得v2至少為,=J2 Rg=11.2?103m/s.第三宇宙速度（逃逸速度），已知M =2? 1030kg,r旳=1.5?10iim.日日地 TOC o 1-5 h z ，2GMAm12 gM化0mv 2 一 G 日=mv2 一 G 日 03 r2r飛船脫離太陽條件（太陽和飛船組成的系統(tǒng)）:日地飛船脫離太陽條件（太陽和飛船組成的系統(tǒng)）:，-!2GM 日V 3_（ r 即脫離地球后相對太陽的速度至少I日地=42.2?103m/s.注意：發(fā)射衛(wèi)星時發(fā)射的方向、地點(diǎn)和時間的選擇？

4、地球繞太陽公轉(zhuǎn)的線速度v?=2?r /T=29.8?103m/s. 日地脫離地球時，相對地球的速度v3?=v3?-v?=12.4?103m/s. 即在地球上發(fā)射的速度v3=時，才能使脫離地球時相對地球的速度v3?=12.4?103m/s。12 qM 地m 1mv2 一 G 地=mv 2 + 0 由機(jī)械能守恒定律（地球和飛船組成的系統(tǒng)）：2竹也2，GM 地 m =1 mv 2因竹也22，所以v3 7+ v32 八11.22 +12.42 X103 = 16.7?103m/s 3天體運(yùn)動的軌道與能量從理論上可以證明行星的運(yùn)動（或衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動）軌道為三種圓錐曲線，即橢圓（包括圓）拋物線和 雙曲線

5、。它們的運(yùn)動軌道跟哪些因素有關(guān)呢？（1）橢圓軌道旦+止=1橢圓方程為a2 b2 ，長半軸為a、短半軸為b,半焦距Ic = 2 -b2，質(zhì)量為M的太陽在其焦點(diǎn)S （c, 0）處，如圖所示。質(zhì)量為m的行星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動時，行星和太陽構(gòu)成的引力勢能和動能之和（以下簡稱能量）為:mv mv 2 一 G2Mmr設(shè)行星在橢圓軌道頂點(diǎn)時的速率分別為v1和v2，行星繞太陽運(yùn)動時機(jī)械能守恒，即 E =1 mv 2 GMm = 1 mv2 G-Mm2r 2 1 a-c ,要求出行星的能量，必須先求出行星在橢圓軌道的頂點(diǎn)1處的速率v1（即v1用M、G、a、c來表示）。5可用二種方法求解，一種是根據(jù)機(jī)械能守恒定

6、律和開普勒第二定律求得, 另一種是根據(jù)機(jī)械能守恒定律和曲線運(yùn)動向心力公式求得。我們先根據(jù)機(jī)械能守恒定律和開普勒第二定律求解。一1 mv2 gZ = 1 mv2 GMm-根據(jù)機(jī)械能守恒定律：2 1 a-c 2 2a + c。根據(jù)開普勒第二定律：v1（a 一 C）= v2（a + C）。由上述二式解得：a c GMva2 c2 a由上述二式解得：則行星做橢圓軌道運(yùn)動時具有的能量:mv2 -G如mv2 -G如1 a 一 ca + ci： a 2 一 c 21、2i GM丿MmMmG = -G 0a 一 c2a我們再根據(jù)機(jī)械能守恒定律和曲線運(yùn)動向心力公式求解。12Mm12Mmmv 2 一 G= mv

7、2 一 G 根據(jù)機(jī)械能守恒定律：21a-c22a + c。設(shè)橢圓頂點(diǎn)1和2的曲率半徑分別為?和?2。貝=?2。在頂點(diǎn)1,由曲線運(yùn)動向心力公式:Mm(a - c)2V在頂點(diǎn)1,由曲線運(yùn)動向心力公式:Mm(a - c)2Vj2在頂點(diǎn)2,由曲線運(yùn)動向心力公式:Mm(a + c)2p 1v1由上述四式解得：a + c GM a 2 - c 2 飛 aa 一 c ,GM a 2 - c2 a（根據(jù)橢圓的半焦距c、長半軸a（根據(jù)橢圓的半焦距c、長半軸a、短半軸b的關(guān)系：c2 = a2 -b2，可得橢圓頂點(diǎn)1和2的曲率半徑必 a2p 3 = p 4 =r頂點(diǎn)3和4的曲率半徑a3n b，證略）E = mv 2 G則行星做橢圓軌道運(yùn)動時具有的能量：2 1即行星的能量小于零時，行星做橢圓軌道運(yùn)動。2）拋物線軌道MmMm=-G 0 c a2a即行星的能量大于零時，行星做雙曲線軌道運(yùn)動?；?,3 GMv =、 v =衛(wèi)以 2 1丄2 R的速度沿地面發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，不計空氣阻力，求衛(wèi)星的周期。（已知地球的 半徑 R=6.4?106m）（答案：1.42?104s）宇宙飛船繞地球中心作圓周運(yùn)動，飛船質(zhì)量為m,軌道半徑為2R（R為地球的半徑，已知地球的質(zhì)量為M）,現(xiàn)將飛船轉(zhuǎn)移到另一半徑為4R新的圓 軌道上，如圖所示.求（1）轉(zhuǎn)移時所需要的能量.（2）如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切線軌道