第2部分插值與逼近

1、第2部分插值與逼近第1頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六y=f(x)y=p(x) 滿足條件 p(xi) = yi ( i=0, 1,., n) 3. 插值法的思想4. 幾何意義.Oxyx0 x1xn-1xn（2）f(x)稱為被插函數(shù)；說明：（1） p(x) 稱為f(x) 的插值函數(shù)；（3）xi 稱為插值節(jié)點(diǎn), (xi, yi) 稱為插值點(diǎn), a, b 稱為插值區(qū)間； 第2部分 插值與逼近第2頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六x0 x1(x0 ,y0)(x1 ,y1)p1(x)f(x) 2.1 一次插值多項(xiàng)式及誤差p1(x) f(x)已知數(shù)據(jù)表格：x

2、x0 x1y y0 y1 p1(x)是一個(gè)次數(shù)不超過1 的多項(xiàng)式; 求一個(gè)多項(xiàng)式p1(x), 使其滿足如下條件：（2） p 1(xi)=yi =f(xi) (i=0,1) 。幾何意義？問題的引入：第3頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六(1) 一次Lagrange插值公式稱之為節(jié)點(diǎn)x0 , x1 處的Lagrange插值基函數(shù), 是1次多項(xiàng)式 。稱之為一次Lagrange插值多項(xiàng)式特點(diǎn)？定義 稱為函數(shù)f (x)關(guān)于點(diǎn)x0、xk的一階差商(均差)；(2) 一次Newton插值公式 2.1 一次插值多項(xiàng)式及誤差第4頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 2.1

3、 一次插值多項(xiàng)式及誤差(2) 一次Newton插值公式稱之為1次Newton插值多項(xiàng)式(3) 線性（行列式）插值公式稱之為一次線性插值多項(xiàng)式(4) 一次插值的誤差 截?cái)嗾`差R1(x)=f (x) p1(x)稱為插值多項(xiàng)式的誤差（余項(xiàng)）。第5頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六設(shè) f (x) 在區(qū)間 a ,b上2 階導(dǎo)數(shù)存在, xi a, b (i=0,1) 為 2個(gè)互異節(jié)點(diǎn), 則對(duì)任何x a ,b, 有(且與x有關(guān)） 2.1 一次插值多項(xiàng)式及誤差(4) 一次插值的誤差估計(jì)特別地第6頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六問題提出： 2.2 二次插值多項(xiàng)式及誤

4、差估計(jì) p2(x)是一個(gè)次數(shù)不超過2 的多項(xiàng)式; 已知數(shù)據(jù)表格：x x0 x1 x2y y0 y1 y2求一個(gè)多項(xiàng)式p2(x), 使其滿足如下條件：（2） p 2(xi)=yi =f(xi) (i=0,1, 2) 。 (1) 二次Lagrange插值公式第7頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 2.2 二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)稱之為二次Lagrange插值多項(xiàng)式稱之為節(jié)點(diǎn) xi (i=0,1,2) 處的 Lagrange 插值基函數(shù), 是2次多項(xiàng)式 。第8頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六(2) 二次Newton插值公式 2.2 二次插值多項(xiàng)式及誤差估

5、計(jì)補(bǔ)差商概念稱之為2次Newton插值多項(xiàng)式令, 則(3) 逐次線性插值公式第9頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六可驗(yàn)證 2.2 二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(4) 二次插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)設(shè) f (x) 在區(qū)間 a ,b上3 階導(dǎo)數(shù)存在, xi a, b (i=0,1,2) 為 3個(gè)互異節(jié)點(diǎn), 則對(duì)任何x a ,b, 有(且與x有關(guān)）第10頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六的二次插值多項(xiàng)式,且計(jì)算f (3)的近似值并估計(jì)誤差。 例 設(shè)解 插值多項(xiàng)式為第11頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六因?yàn)楣视谑堑?2頁，共46頁，2022年，

6、5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 pn(x)是一個(gè)次數(shù)不超過n 的多項(xiàng)式; 已知數(shù)據(jù)表格：x x0 x1 x2 xny y0 y1 y2 yn求一個(gè)多項(xiàng)式pn(x), 使其滿足如下條件：（2） pn(xi)=yi =f(xi) (i=0,1, ., n) 。 問題提出：其中l(wèi) i(x) (i=0,1, ,n)是節(jié)點(diǎn)xi 處的n次Lagrange插值基函數(shù)。 2.3 n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(1) n 次Lagrange插值公式第13頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 節(jié)函 點(diǎn) 數(shù)函數(shù)值其中A為常數(shù). 由li(xi)=1可得 2.3 n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(1) n 次La

7、grange插值公式第14頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 2.3 n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(1) n 次Lagrange插值公式第15頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六(2) n次Newton插值公式其中稱為 的 階均差。 2.3 n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)第16頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六（3） n次逐次線性插值公式可驗(yàn)證 2.3 n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(4) n次插值余項(xiàng)（2） 若說明：則（1） 誤差的大小依賴于哪些量？節(jié)點(diǎn)的位置和個(gè)數(shù)？第17頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六1901年德國(guó)數(shù)

8、學(xué)家龍格(Runge) 給出一個(gè)例子: 定義在區(qū)間-1，1上，這是一個(gè)光滑函數(shù)，它的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，對(duì)它在-1，1上作等距節(jié)點(diǎn)插值時(shí)，插值多項(xiàng)式情況:問題的引入：2.4 分段低次插值公式 第18頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 這種插值多項(xiàng)式當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)反而不能更好地接近被插值函數(shù)的現(xiàn)象，稱為龍格現(xiàn)象第19頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六2.4 分段低次插值公式 （1）In(x)在每個(gè)小區(qū)間xi，xi+1上是個(gè)次數(shù)不超過1 的多項(xiàng)式; x x0 x1 x2 xny y0 y1 y2 yn求一個(gè)多項(xiàng)式In(x), 使其滿足如下條件：（3） In(

9、xi)=yi =f(xi) (i=0,1, ., n) 。已知數(shù)據(jù)表格： 設(shè)在a, b上取n+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)，且 a= x0 x1x2xn-1xn=b,f(x)的函數(shù)值為yi =f(xi) (i=0,1,2,n), 即（2） In(x）Ca, b; 第20頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六稱之為f(x)在區(qū)間a, b上關(guān)于數(shù)據(jù)(xi , yi ) (i=0,1,2,n)的分段線性插值函數(shù).說明：In(x）的特點(diǎn)？失去了原函數(shù)的光滑性。(1) 插值公式第21頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六在插值區(qū)間a,b上有(2) 插值余項(xiàng)將區(qū)間-1，1分成10等份，做

10、分段線性插值函數(shù)，并做出圖形觀察逼近程度。課下練習(xí)：第22頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六1、兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次Hermite插值多項(xiàng)式求多項(xiàng)式 H3(x), 使其滿足如下條件： H3(x)稱為兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次Hermite(埃爾米特)插值多項(xiàng)式。法1822 -1901 2.5 Hermite(埃爾米特）插值給定如下數(shù)據(jù)表：x x0 x1y y0 y1 y m0 m1 H3(x)是一個(gè)次數(shù)不超過3 的多項(xiàng)式; （2）第23頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 節(jié) 點(diǎn)基 函 數(shù)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0 x1x0 x10(x)10001(x)01000(x)001

11、01(x)00011、兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次Hermite插值多項(xiàng)式 2.5 Hermite(埃爾米特）插值(1) Hermite插值公式設(shè)節(jié)點(diǎn)xi 處的插值基函數(shù)分別是i(x) 和i (x)(i=0,1)令由得由得于是第24頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六1、兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次Hermite插值多項(xiàng)式 2.5 Hermite(埃爾米特）插值同理于是(2) Hermite插值余項(xiàng)第25頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 例 已知f(x)=x1/2及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見下表,用埃爾米特插值公式計(jì)算1251/2的近似值,并估計(jì)其截?cái)嗾`差. x121144 f(x

12、)1112 f (x)1/221/24解第26頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六得由可得第27頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六2、n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的Hermite插值多項(xiàng)式求一個(gè)多項(xiàng)式 H2n+1(x), 使其滿足如下條件： H2n+1(x)稱為n+1節(jié)點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的2n+1次Hermite(埃爾米特)插值多項(xiàng)式。 2.5 Hermite(埃爾米特）插值給定如下數(shù)據(jù)表：x x0 x1 xny y0 y1 yn y m0 m1 mn H2n+1(x)是一個(gè)次數(shù)不超過2n+1 的多項(xiàng)式; （2） H2n+1(xi) =yi , H2n+1(xi)=mi

13、(i=0,1,n).第28頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 2.5 Hermite(埃爾米特）插值(1) Hermite插值公式 設(shè)節(jié)點(diǎn)xi 處的插值基函數(shù)分別是i(x) 和i (x)(i=0,1,.n)2、n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的Hermite插值多項(xiàng)式且與x有關(guān))(2) Hermite插值余項(xiàng)第29頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六1、差商（均差）定義定義 稱為函數(shù)f (x)關(guān)于點(diǎn)x0、xk的一階差商(均差)；為函數(shù)f (x)關(guān)于點(diǎn)x0、x1 、xk 的二階差商（均差）.稱 一般地，若f(x)的k-1階差商存在，f(x)關(guān)于點(diǎn)x0, x1, ,xk

14、-1 ,xk 的k 階差商定義為BACKTABLE第30頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六xif (xi)一階差商二階差商三階差商.x0 x1 x2 x3 f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 . f x0, x1, x2 , x3.差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列表如下:BACK第31頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六已知給定如下數(shù)據(jù)表：x x0 x1 xny y0 y1 yn y m0 m1 mn（1）In(x)在每個(gè)小區(qū)

15、間xi，xi+1上是次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式; 求一個(gè)多項(xiàng)式In(x), 使其滿足如下條件：（2） In(x）C1a, b; （3）3、分段的三次Hermite插值多項(xiàng)式第32頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六(1) 插值公式3、分段的三次Hermite插值多項(xiàng)式第33頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六(1) 插值公式3、分段的三次Hermite插值多項(xiàng)式第34頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六(1) 插值公式稱為分段三次Hermite插值函數(shù).(2) 插值余項(xiàng)3、分段的三次Hermite插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間a, b上有說明：In(

16、x）的特點(diǎn)？導(dǎo)數(shù)一般不易得到。第35頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 在區(qū)間a,b上，給定n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式; 2.6* 三次樣條插值函數(shù)y=f (x)在這些節(jié)點(diǎn)的值為yi=f (xi) (i=0,1,n)。如果a=x0 x1xn=b, 分段表示的函數(shù)S(x)滿足下列條件，稱為三次樣條插值函數(shù).（2） S(xi )=yi (i=0,1,n);(3) S(x) C2a, b.問題的提出第36頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 2.6.1 三次樣條函數(shù)的構(gòu)造S(x) 在

17、區(qū)間的表達(dá)式為記第37頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 2.6.1 三次樣條函數(shù)的構(gòu)造所以同理 (i=1,2,n) (i=0,1,n-1)由 (i=1,2,n-1), 得第38頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六其中即 2.6.1 三次樣條函數(shù)的構(gòu)造設(shè) 為參數(shù), 這種通過確定mi 來求S(x)的方法叫三轉(zhuǎn)角法。第39頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六（1）給定一階導(dǎo)數(shù)值方程組為 2.6.2 邊界條件設(shè)c0 , cn 為常數(shù)，且第40頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六（2）給定二階導(dǎo)數(shù)值設(shè)r0 , rn 為常

18、數(shù)，且 (i=0,1,n-1)根據(jù)和 (i=1,2,n) 2.6.2 邊界條件第41頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六方程組為 2.6.2 邊界條件其中特別稱為自然邊界條件。第42頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六（3）設(shè)f(x) 是周期函數(shù)，最小周期為b a，有則有 2.6.2 邊界條件稱為周期邊界條件。說明（1）以第(2)種邊界條件為例。算法步驟步驟1 計(jì)算步驟2 用追趕方法計(jì)算mn ,m0 ;步驟3xi，xi+1上，寫出在每個(gè)小區(qū)間第43頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六 (i=0,1,n-1)或者(2) 三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì)式 2.6.2 邊界條件第44頁，共46頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)42分，星期六（3）三次樣條函數(shù)的特點(diǎn)？ 2.6.2 邊界條件上機(jī)