六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)

1、實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)一、常值函數(shù)（也稱常數(shù)函數(shù)） y =c （其中 c 為常數(shù)）；常數(shù)函數(shù)（cy）0c0c平行于 x 軸的直線y 軸本身定義域 r定義域 r二、冪函數(shù)xy，x是自變量，是常數(shù)；1. 冪函數(shù)的圖像：2. 冪函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)xy2xy3xy21xy1xy定義域r r r 0,+ ) x|x 0 值域r 0,+ ) r 0,+ ) y|y 0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增0,+ ) 增增增(0,+ ) 減(- ,0 減(- ,0) 減公共點（1,1 ）x y o xy2xy3xy1xy21xyo 0yx cyo x y y 實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案1）當(dāng)為正整數(shù)

2、時，函數(shù)的定義域為區(qū)間為),(x，他們的圖形都經(jīng)過原點，并當(dāng)1 時在原點處與x 軸相切。且為奇數(shù)時，圖形關(guān)于原點對稱；為偶數(shù)時圖形關(guān)于y 軸對稱；2）當(dāng)為負(fù)整數(shù)時。函數(shù)的定義域為除去x=0 的所有實數(shù)；3）當(dāng)為正有理數(shù)nm時， n 為偶數(shù)時函數(shù)的定義域為（0, + ）， n 為奇數(shù)時函數(shù)的定義域為（-,+ ），函數(shù)的圖形均經(jīng)過原點和（1 ,1 ）；4）如果 mn圖形于 x 軸相切，如果mn,圖形于 y 軸相切，且m為偶數(shù)時，還跟y 軸對稱； m ，n 均為奇數(shù)時，跟原點對稱；5）當(dāng)為負(fù)有理數(shù)時，n 為偶數(shù)時，函數(shù)的定義域為大于零的一切實數(shù)；n 為奇數(shù)時，定義域為去除 x=0 以外的一切實數(shù)。三

3、、指數(shù)函數(shù)xay(x是自變量 ,a是常數(shù)且0a，1a)，定義域是 r ； 無界函數(shù) 1. 指數(shù)函數(shù)的圖象：2. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)xay) 1(axay)10(a定義域r 值域(0 ，+) 奇偶性非奇非偶公共點過點(0，1) ，即0 x時，1y單調(diào)性在），（是增函數(shù)在），（是減函數(shù)1） 當(dāng)1a時 函 數(shù) 為 單 調(diào) 增 , 當(dāng)10a時 函 數(shù) 為 單 調(diào) 減 ；2） 不 論x為 何 值 ,y總 是 正 的 , 圖 形 在x軸 上 方 ；3） 當(dāng)0 x時 ,1y, 所 以 它 的 圖 形 通 過 (0,1)點 。1yo (0,1) x y xay)10(ax xay)1(a1yo (0,1

4、) y 實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案3. （選，補充）指數(shù)函數(shù)值的大小比較*na；a. 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)xaxf)(，xaxf1)(的函數(shù)圖像關(guān)于y 軸對稱。b.1. 當(dāng)1a時，a 值越大，xay的圖像越靠近 y 軸；b.2. 當(dāng)10a時，a 值越大，xay的圖像越遠(yuǎn)離 y 軸。4. 指數(shù)的運算法則（公式）；a. 整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)),0(qnma；(1) nmnmaaa(2) nmnmaaa(3) mnnmnmaaa(4) nnnbaabb. 根式的性質(zhì)；(1)aann； (2) 當(dāng) n 為奇數(shù)時，aann當(dāng) n 為偶數(shù)時，)0(0)(aaaaaannc. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；(1)1,0(*nzn

5、maaanmnm(2)1,0(11*nznmaaaanmnmnmy xaxf)(xaxf1)(o (0,1) x x o (0,1) y xxf2)(xxh3)(o (0,1) y xxq21)(xxg31)(實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案四、對數(shù)函數(shù)xyalog(a是常數(shù)且1, 0 aa) ，定義域),0(x 無界 1. 對數(shù)的概念：如果 a(a 0，a1) 的 b 次冪等于 n，就是nab，那么數(shù)b 叫做以 a 為底 n的對數(shù)，記作bnalog, 其中 a 叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)，式子nalog叫做對數(shù)式。對數(shù)函數(shù)xyalog與指數(shù)函數(shù)xay互為反函數(shù)，所以xyalog的圖象與xay的圖象關(guān)于直線x

6、y對稱。2. 常用對數(shù)：n10log的對數(shù)叫做常用對數(shù)，為了簡便，n的常用對數(shù)記作nlg。3. 自然對數(shù)： 使用以無理數(shù)7182.2e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，為了簡便，n的自然對數(shù)nelog簡記作nln。4. 對數(shù)函數(shù)的圖象：5. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)xyalog)1(axyalog)10(a定義域(0 ，+) 值域r 奇偶性非奇非偶公共點過點(1，0)，即1x時，0y單調(diào)性在(0,+ ) 上是增函數(shù)在(0,+ ) 上是減函數(shù)1）對數(shù)函數(shù)的圖形為于y 軸的右方，并過點(1,0) ；2）當(dāng)1a時，在區(qū)間 (0,1) ，y 的值為負(fù)，圖形位于x 的下方；在區(qū)間(1, +) ，y 值為正，圖形位

7、于x 軸上方，在定義域是單調(diào)增函數(shù)。1a在實際中很少用到。y o x (1,0) 1xxyalog) 1(ao x (1,0) y 1xxyalog) 10(a實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案6. （選，補充）對數(shù)函數(shù)值的大小比較*na；a. 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)xyalog，xya1log的函數(shù)圖像關(guān)于x 軸對稱。b.1. 當(dāng)1a時， a 值越大，xxfalog)(的圖像越靠近x 軸；b.2. 當(dāng))10(a時， a 值越大，xxfalog)(的圖像越遠(yuǎn)離x 軸。7. 對數(shù)的運算法則（公式）；a. 如果 a 0，a1，m 0，n0，那么：nmmnaaalogloglognmnmaaalogloglogm

8、nmanaloglogb. 對數(shù)恒等式：nanalog)010(naa，且c. 換底公式：(1)bnnaablogloglog（1,0 aa，一般常常換為e或 10為底的對數(shù) , 即bnnblnlnlog或bnnblglglog）(2) 由公式和運算性質(zhì)推倒的結(jié)論：bmnbananloglogd. 對數(shù)運算性質(zhì)(1)1的對數(shù)是零，即01loga；同理01ln或01lg(2) 底數(shù)的對數(shù)等于1，即1logaa；同理1ln e或110lgy o x (1,0) xyalogxya1logy o x (1,0) xxf2log)(xxf3log)(y o x (1,0) xxf21log)(xxf3

9、1log)(實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案五、三角函數(shù)1. 正弦函數(shù)xysin, 有界函數(shù)，定義域),(x，值域 1, 1y圖象：五點作圖法：0，2，23，22. 余弦函數(shù)xycos，有界函數(shù)，定義域),(x，值域 1, 1y圖象：五點作圖法：0，2，23，23. 正、余弦函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)xysin)(zkxycos)(zk定義域r 值域-1,1 -1,1 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性2t2t對稱中心)0,(k)0,2(k對稱軸2kx)0,2(k單調(diào)性在22 ,22kkx上是增函數(shù)在232 ,22kkx上是減函數(shù)在kkx2,2上是增函數(shù)在kkx2,2上是減函數(shù)最值22kx時，1maxy22kx時，1miny

10、kx2時，1maxykx2時，1miny實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案4. 正切函數(shù)xytan，無界函數(shù)，定義域)( ,2zkkxx，值域),(yxytan的圖像5. 余切函數(shù)xycot，無界函數(shù)，定義域zkkxx,),(yxycot的圖像6. 正、余切函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)xytan)(zkxycot)(zk定義域2kxkx值域rr奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性tt單調(diào)性在)2,2(kk上都是增函數(shù)在) 1( ,(kk上都是減函數(shù)對稱中心)0 ,2(k)0 ,2(k零點)0,(k)0,2(k2o 2322532232253y x 2o 23225223225y x 實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案7. 正割函數(shù)xysec，無界函

11、數(shù)，定義域)( ,2zkkxx，值域1secx8. 余割函數(shù)xxysin1csc，無界函數(shù)，定義域)( ,zkkxx，值域1cscx9. 正、余割函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)xysec)(zkxycsc)(zk定義域kxx2kxx值域), 1 1(，), 1 1(，奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)周期性2t2t單調(diào)性)232,2()2,22(kkkk減)2,22()22 ,2(kkkk增)22,232()22,2(kkkk減)232,2()2,22(kkkk增2o 232252232253y x -1 1 2o 232252232253y x -1 1 xysec的圖像xycsc的圖像實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案續(xù)表：性質(zhì)函數(shù)

12、xysec)(zkxycsc)(zk對稱中心)0,2(k)0 ,(k對稱軸kxkx2漸近線kx2kx六、反三角函數(shù)1. 反正弦函數(shù)xyarcsin，無界函數(shù)，定義域-1,1，值域,0a.反正弦函數(shù)的概念：正弦函數(shù)xysin在區(qū)間2,2上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為xyarcsin2. 反余弦弦函數(shù)xyarccos，無界函數(shù)，定義域-1,1，值域,0b. 反余弦函數(shù)的概念：余弦函數(shù)xycos在區(qū)間,0上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記為xyarccosxyarcsin的圖像xyarccos的圖像3. 反正、余弦函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)xyarcsinxyarccos定義域-1,1 -1,1 值域,0,0奇

13、偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)o x y 1 -1 22o x y 1 -1 2實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案4. 反正切函數(shù)xyarctan，有界函數(shù)，定義域),(x, 值域2,2c.反正切函數(shù)的概念：正切函數(shù)xytan在區(qū)間2,2上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為xyarctan5. 反余切函數(shù)xarcycot，有界函數(shù)，定義域),(x, 值域,0d. 反余切函數(shù)的概念：余切函數(shù)xycot在區(qū)間,0上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為xarcycotxyarctan的圖像xarcycot的圖像6. 反正、余弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)性質(zhì)xyarctanxarcycot定義域r 值域2,2,0奇偶性奇函數(shù)非奇非偶

14、單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)x y o 22x y o 2實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案三角函數(shù)公式匯總一、任意角的三角函數(shù)在角的終邊上任取一點),(yxp，記：22yxr。正弦：rysin余弦：rxcos正切：xytan余切：yxcot正割：xrsec余割：yrcsc二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：1cscsin，1seccos，1cottan商數(shù)關(guān)系：cossintan，sincoscot平方關(guān)系：1cossin22，22sectan1，22csccot1三、誘導(dǎo)公式x軸上的角，口訣：函數(shù)名不變，符號看象限；y軸上的角，口訣：函數(shù)名改變，符號看象限。四、和角公式和差角公式sincoscossin)sin(s

15、incoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(五、二倍角公式cossin22sin2tan1tan22tan2222sin211cos2sincos2cos二倍角的余弦公式常用變形：（規(guī)律：降冪擴(kuò)角，升冪縮角）2cos22cos12sin22cos12)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案22cos1cos2，22sin1sin2，2cos12sin2sin2cos1tan六、三倍角公式)3sin()3sin(sin4sin4sin33sin3)3cos()3cos(cos4cos3cos43cos3)3tan()3tan(tantan31tantan33tan23七、和差化積公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos八、輔助角公式)sin(cossin22