彈塑性力學(xué)與有限元彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系課件

1、彈塑性力學(xué)與有限元彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系彈塑性力學(xué)與有限元 彈塑性力學(xué)與有限元彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系彈塑性力學(xué)與有限主要內(nèi)容彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系概述加載總則和流動法則理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)于塑性強化的幾點評述需要判斷應(yīng)變往塑性變形發(fā)展還是彈性變化，即需要加卸載條件判斷；塑性變形時，應(yīng)變和應(yīng)力的關(guān)系如何，需要流動法則來解決；塑性變形后，材料屈服極限是否提高，屈服曲面如何變化，由強化法則來判斷。主要內(nèi)容彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系概述需要判斷應(yīng)本章學(xué)習(xí)要點：掌握加載工程、卸載過程、中性變載等概念理解理想

2、彈塑性材料的增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系本章學(xué)習(xí)要點：彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker-prager模型彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Dru彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker-prager模型彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Dru彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker-prager模型彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Dru彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker-prage

3、r模型彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理想彈塑性材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Dru彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則強化法則的概念 :在加載過程中，屈服面不斷改變它的形狀以使應(yīng)力點總是位于它上面，從某一個屈服面如何進入后繼屈服面的準(zhǔn)則就是強化法則，也就是控制加載面發(fā)展的規(guī)則。隨加載，屈服極限會不斷提高，稱為強化或硬化,新的屈服極限： (s)new = Max()后繼屈服條件（也稱加載條件） (s)new 處于屈服狀態(tài) (s)new 處于卸載狀態(tài) 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則強化法則的概念 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Max()隨塑性變形歷史單調(diào)增長，Max()(p)后繼屈服條件即加載條件也可表示為 (p)0 為了描

4、述強化性質(zhì)，需要：（1）記錄塑性加載的歷史；（2）描述強化與塑性加載歷史的關(guān)系。表達加載歷史的參量為硬化參量(強化參數(shù))，它又稱為內(nèi)變量（internal- variable），它不能由觀測儀器直接觀測求出，而應(yīng)力變形一類可由儀器直接測出的量稱外變量,硬化參量記為 .彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Max()隨塑性變形歷史單調(diào)增彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則目前常用的硬化參量有如下幾種：1塑性功 , 是目前巖土彈塑性理論中用得較多的。2有效塑性應(yīng)變3等效塑性剪應(yīng)變4塑性體應(yīng)變彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則目前常用的硬化參量有如下幾種：彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則使用一組內(nèi)變量（=1，2，n）描述塑性變

5、形歷史;后繼屈服條件 f (ij，)=0 隨塑性變形的發(fā)展，不斷變化，后繼屈服面或加載面也隨之改變。 當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)ij處在加載面上，f (ij，) = 0施加增量dij：（1）加載：dij指向加載面外（2）中性變載：dij沿著加載面（3）卸載：dij指向加載面內(nèi)彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則使用一組內(nèi)變量（=1，2，彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則由于任何一種應(yīng)力狀態(tài)都不能位于加載面之外 增量后 f (ij+dij，+d) = 0 增量前 f (ij，) = 0， 一致性條件：彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則由于任何一種應(yīng)力狀態(tài)都不能位于加彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則隨加載過程，內(nèi)變量不斷地增加中性變載或

6、者卸載時，則內(nèi)變量保持不變總之：內(nèi)變量只會增加，不會減少。 且只有產(chǎn)生新的塑性變形時，它才會增加。 這是由塑性變形的不可逆性所決定的。 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則隨加載過程，內(nèi)變量不斷地增加彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則幾何特點（在應(yīng)力空間）：加載面形狀和中心位置都不變，大小變化，形狀相似的擴大；物理意義：假定材料在強化后仍保持各向同性的性質(zhì)。數(shù)學(xué)表示： f(ij，k)=f0(ij) k() = 0各向同性強化（等向強化） 等向強化可理解為材料某一方向上因加載屈服極限得到提高，所有其它方向的屈服極限都將因此而得到同等程度的提高。彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則幾何特點（在應(yīng)力空間）：加載面形彈塑性

7、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Mises初始屈服條件 函數(shù)可通過單軸拉伸下實驗曲線確定. 加載（后繼屈服）條件彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Mises初始屈服條件 函數(shù)可彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則幾何特點（在應(yīng)力空間）：形狀和大小、方向保持不變，只是中心位置發(fā)生改變，加載面作剛體移動。物理意義：材料在強化后為各向異性。隨動強化數(shù)學(xué)表示：f (ij,ij)=f 0(ij-ij) k = 0 ij 是一個表征加載面中心移動的應(yīng)力值，稱為反（背）應(yīng)力（back stress）提供了考慮Bauschinger效應(yīng)的簡單方法。 f 0(ij-ij) = k 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則幾何特點（在應(yīng)力空間）：形

8、狀和大彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Prager隨動強化模型式中c是材料常數(shù)，由試驗確定。對于Mises屈服條件，該模型可寫成最簡單的方法就是假設(shè)dij和dij線性相關(guān)，這就是所謂的Prager強化準(zhǔn)則(Prager,1995,1956),即：反（背）應(yīng)力增量dij應(yīng)平行于塑性應(yīng)變增量彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Prager隨動強化模型式中c是彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Ziegler隨動強化模型為了得到在子空間中也有有效的隨動強化法則，Zigeler(1959)修改了Prager強化法則，假設(shè)以如下形式沿折減應(yīng)力矢量ij =ij -ij方向 平移其中，d是一個正的比例系數(shù)，其與所經(jīng)歷的變形歷史

9、有關(guān)，為簡 單起見，這個系數(shù)可假設(shè)有如下形式:彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則Ziegler隨動強化模型為了得彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則混合強化幾何特點：加載面大小、位置和中心都改變，它是前面兩種情況的綜合； 數(shù)學(xué)表達： f (ij，ij，k) = f0 (ij,ij) k()= 0 與隨動強化不同的是，這里k隨加載的歷史而變化。在這種情況下，加載面既有均勻膨脹又有平移，前者用k()度量，后者用ij確定.彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則混合強化幾何特點：加載面大小、位在結(jié)合兩種強化法則的同時，把塑性應(yīng)變增量分為兩個共線的分量彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化法則混合強化其中， dpiij與屈服面的膨脹有關(guān)，

10、dpkij與屈服面的平移有關(guān)假設(shè)這兩個應(yīng)變分量為在結(jié)合兩種強化法則的同時，把塑性應(yīng)變增量分為兩個共線的分量彈彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變 為了描述強化性質(zhì)，需要：記錄塑性加載的歷史;描述強化與塑性加載歷史的關(guān)系。強化函數(shù)是關(guān)于強化參數(shù)（ 或 ）的函數(shù)，它的函數(shù)形式是與 材料有關(guān)的。 我們定義有效應(yīng)力e和有效塑性應(yīng)變p，它們分別折算為單軸應(yīng)力試驗中的應(yīng)力和塑性應(yīng)變。有效應(yīng)力有效塑性應(yīng)力e定義：彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變 為彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變其中，A和n由e折算為單軸試驗中的應(yīng)力1的條件來確定，比如，對于von Mises材料，可以假設(shè) f0

11、(ij)=J2，則有:對于在X1方向的加載試驗，e1，而其它方向應(yīng)力分量為零，由此可得A1/3和n2，因此因為在塑性應(yīng)變中，f0k0，對于這種材料強化函數(shù)k可用e表示為：有效應(yīng)力彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變其中，A和n由e彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變歷史上的兩個假設(shè)：一個是假設(shè)強化以來于塑性功Wp， 即屈服的抗力取決于在材料上所做的總塑性功Wp，這被稱為加工強化假設(shè)；另一個假設(shè)稱作應(yīng)變強化假設(shè)，假 設(shè)強化與總的塑性變形有關(guān)，同時塑性變形經(jīng)常被表示 為所謂的有效塑性應(yīng)變p。所謂的有效塑性應(yīng)變p用塑性增量的簡單組合來確定有效塑性應(yīng)變彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性

12、應(yīng)變歷史上的兩個假設(shè)：彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變用流動法則，得到：在軸向加載條件下，按定義dp等于dp11,因此，由上式得到有效塑性應(yīng)變彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變用流動法則，得到：彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變有效應(yīng)力有效塑性應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力有效應(yīng)變關(guān)系表示了彈塑性材料強化過程的特性現(xiàn)在用單軸應(yīng)力試驗來標(biāo)定，它的一般形式:微分法給出增量關(guān)系其中，Hp=de/ dp稱為塑性模量。對各向同性強化材料，Hp表示屈服面的膨脹率.彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變有效應(yīng)力有效塑性彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對于混合強化材料，e的變化歸因于屈服面的膨脹和平移。假

13、設(shè)屈服面的膨脹由折減的有效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來決定有效應(yīng)力有效塑性應(yīng)變關(guān)系對上面方程進行微分可得到屈服面的膨脹率:有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變其中， Hp為與屈服面的膨脹有關(guān)的塑性模量, 和M并不是相互獨立的，如果M給定，就能根據(jù)e( p)來建立函數(shù) .彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對于混合強化材料，e的變化歸因于屈服面彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為證明這一點，首先令式中，系數(shù)B取決于隨動強化法則和塑性勢能函數(shù)的類型。對于某些材料B的特殊形式將在例7.11中討論。由此和式(7.87)，式(7.89)容易導(dǎo)出有效應(yīng)力有效塑性應(yīng)變關(guān)系由于M在單調(diào)試驗中的不確定性，所以其值不應(yīng)該影響Hp 的值。那么式(7.91)要求利用式(7.

14、87)和式(7.89)，可以把e和e表示為有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變考慮到式(7.93)左和式(7.94)，可得彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為證明這一點，首先令式中，系數(shù)B取決于隨彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在這一節(jié)中，將推導(dǎo)強化材料的增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,特別地，將討論兩種強化法則：各向同性強化和混合強化。兩組本構(gòu)關(guān)系：(1)一個是用應(yīng)力增量dij的形式表示 應(yīng)變增量dij ；(2)另一個是用應(yīng)變增量dij的形式表示dij應(yīng)力增量 。虎克定律的如下形式：其中，Dijkl是彈性柔度張量.彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在這一節(jié)中，彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變

15、關(guān)系一致性要求在塑性變形過程中應(yīng)力點總是位于屈服面上。因此對于各向同性強化材料，以下兩個方程也必須滿足:各向同性強化應(yīng)力增量形式的表達式式中，彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系一致性要求在彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系根據(jù)式(7.105)有：把上式代入流動法則式(7.4)和式(7.79右)則導(dǎo)出考慮到式(7.27),式(7.103)和式(7.108左),得到應(yīng)變增量表達式或以應(yīng)力增量表示的應(yīng)變增量彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系根據(jù)式(7.彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系其中， 是彈塑性柔度張量，表示為以應(yīng)變增量表示的應(yīng)力增量考慮

16、到式(7.29)和式(7.105)有把d和應(yīng)變增量聯(lián)系起來，則有其中從式(7.4)，式(7.179)和式(7.112)可得彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系其中， 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系把式(7.114)左代入式(7.29)得到應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系為或在這里，Cijkl是彈塑性剛度張量，表示為其中彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系把式(7.1彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系混合強化對于混合強化材料的屈服面表示為一致性要求增量形式的一致性要求彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系混合強化對于彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的

17、增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系反應(yīng)力增量dij與塑性變形相關(guān)，如果用Prager 強化準(zhǔn)則式(7.84)，則有如果用Ziegler強化準(zhǔn)則式(7.85)，則有因此在兩者中的任一情況下，可寫出彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系反應(yīng)力增量d彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對Prager法則對Ziegler法則把式(7.124）代入式(7.121)導(dǎo)出其中彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對Prage以應(yīng)力增量表示的應(yīng)變增量如前述的各項同性強化情況同樣推導(dǎo)可得到彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系以應(yīng)力增量表示的應(yīng)變增量如前述的各項同性強化情況同樣推導(dǎo)可得

18、推導(dǎo)與各向同性強化材料相同，最終表達式為以應(yīng)變增量表示的應(yīng)力增量其中彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系強化材料的增量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)與各向同性強化材料相同，最終表達式為以應(yīng)變增量表示的應(yīng)力關(guān)于塑性強化的幾點評述彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker穩(wěn)定性假設(shè)(1)在施加附加力系的過程中，外力在所產(chǎn)生的位移變化上做正功；(2)在附加力系施加和卸除的一個完全循環(huán)中，外力所做的凈功和由此產(chǎn)生惟一的變化為非負(fù)值。數(shù)學(xué)上兩個穩(wěn)定性假設(shè)可表示為：關(guān)于塑性強化的幾點評述彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker穩(wěn)定關(guān)于塑性強化的幾點評述彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker穩(wěn)定性假設(shè)數(shù)學(xué)上兩個穩(wěn)定性假設(shè)表達式的進一步簡化：注意到：由式(7.143)和式(7.145)導(dǎo)出如下的充分條件關(guān)于塑性強化的幾點評述彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker穩(wěn)定關(guān)于塑性強化的幾點評述彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Drucker穩(wěn)定性假設(shè)考慮圖示的一個循環(huán)受力過程，在該過程中外力所做的功為：關(guān)于塑性強化的幾點