立體幾何中的向量方法用1課件

1、利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題數(shù)學(xué)專(zhuān)題二利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題數(shù)學(xué)專(zhuān)題二學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系； (1)直線與直線的位置關(guān)系; (2)直線與平面的位置關(guān)系; (3)平面與平面的位置關(guān)系; 2、求解空間中的角度； 3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個(gè)重要空間向量學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法1、判斷直線、平面間的位一.引入兩個(gè)重要的空間向量 1.直線的方向向量 把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱(chēng)為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB

2、的方向向量是zxyAB一.引入兩個(gè)重要的空間向量 1.直線的方向向量 2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面,記作n,這時(shí)向量n叫做平面的法向量. n2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.你能用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角嗎？你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小嗎？ 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，

3、二.立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系 不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a ,b. 若ab,即a=b,則ab. 若ab,即ab = 0,則ababab二.立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系a(2)直線與平面的位置關(guān)系 直線L的方向向量為a,平面的法向量為n,且L . 若an,即a =n,則 L 若an,即an = 0,則a .nanaLL(2)直線與平面的位置關(guān)系nanaLL(3)平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為n1 ,平面的法向量為n2 若n1n2,即n1=n2,則若n1n2,即n1 n2= 0,則n2n1n1n2(3

4、)平面與平面的位置關(guān)系n2n1n1n2立體幾何中的向量方法用1課件立體幾何中的向量方法用1課件3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? 如圖,設(shè)a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若na且nb,則n.換句話說(shuō),若na = 0且nb = 0,則n . abn3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? abn(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四

5、步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). (1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. AAABCDOA1B1C1D1zxy例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z =1解得:得:由 =（-1，-1，2）， =（-1

6、，1，2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D1例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求證: C C1BDA1B1C1D1CBAD例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是證明：設(shè) a, b, c,依題意有| a |=| b |，于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD 證明：設(shè) a, b, 例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1A1

7、C1B1ACBEDzxy例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則 解之得 ，取z = 1得n=(-2,0,1)(1) =- n,從而A1E 平面DBC1(2) ,而 n =-2+0+2=0AB1 平面DBC1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-利用向量解決 空間角問(wèn)題立體幾何中的向量方法用1課件異面直線所成角的

8、范圍： 思考：結(jié)論：題型1：線線角小結(jié)異面直線所成角的范圍： 思考：結(jié)論：題型1：線線角小結(jié)(2)直線與與平面所成的角若n是平面的法向量, a是直線L的方向向量,設(shè)L與所成的角, n與a所成的角 則 = - 或= - 于是,nnaa(2)直線與與平面所成的角nnaa（3）二面角設(shè)n1 、n2分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角-L-的大小與法向量n1 、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2n1n2（3）二面角n1n2n1n2題型三：

9、二面角二面角的范圍：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍題型三：二面角二面角的范圍：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍1.異面直線所成角： 2.直線與平面所成角： 3.二面角：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍1.異面直線所成角： 2.直線與平面所成角： 3.二面角：關(guān)例1如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),求對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值. BC A MxzyB1C1D1A1CD例1如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn)解: 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0)

10、,cos =|cos|設(shè)DB1與CM所成角為, 與 所成角為,于是：解: 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 設(shè)正練習(xí)1：練習(xí)1：所以 與 所成角的余弦值為解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則： 所以：所以 與 所成角的余弦值為解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建例2正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為 ，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO例2正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為 解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,

11、z)得 由 ，解得 ，取y= ,得n=(3, ,0)，設(shè) 與n夾角為而故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30.解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則練習(xí)2：在長(zhǎng)方體 中，練習(xí)2：在長(zhǎng)方體 例3 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS例3 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向

12、量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小滿足 二面角A-SD-C的大小為 .解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，0練習(xí)3練習(xí)3設(shè)平面設(shè)平面空間向量之應(yīng)用3利用空間向量求距離空間向量之應(yīng)用3利用空間向量求距離BAaMNnab一、求異面直線的距離BAaMNnab一、求異面直線的距離nabAB方法指導(dǎo):作直線a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為nabAB方法指導(dǎo):作直線a、b的方向向量a、b，求a、b例1在棱長(zhǎng)為1的正方體AB

13、CD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1zxyABCDD1C1B1A1解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由 ,得 n=(-1,-1,2). ,異面直線AC1與BD間的距離解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 zxyABCC1EA1B1練習(xí)1zxyABCC1EA1B1練習(xí)1zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以EA1B1zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以

14、EA12.點(diǎn)到平面的距離A為平面外一點(diǎn)(如圖), n為平面的法向量,過(guò)A作平面的斜線AB及垂線AH. = = . 于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值.nABH2.點(diǎn)到平面的距離nABH例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= 解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得

15、 n=(- ,0,1). , 或 ,或 ,可見(jiàn),選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí),與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無(wú)關(guān). 解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 練習(xí)2、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離。DABCGFExyz練習(xí)2、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG平面ABCD，CDABCGFExyzDABCGFExyz例3、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，求直線BD到平面GEF的距離。DABCGFExyz三、求直線與平面間距離例3、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG平面ABCD，CG正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求BD與平面GB1D1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ練習(xí)3:G正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求BD與平面GB1D1的距離A1B1C 例4、正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求平面AD1C與平面A1BC1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ四、求平面與平面間距離 例4、正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求平面AD1C與平面A1B練習(xí)4、在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFDB的距離。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz練習(xí)4、在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B