2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)（湖南專版）-考點01 平面向量的概念（解析版）

1、考點01 平面向量的概念一、單選題（共12小題） 1.設(shè)為單位向量，且|1，則|+2|（）ABC3D7【答案】B【分析】通過向量的模，求出向量的數(shù)量積，然后轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：為單位向量，且|1，可得1，可得，|+2|故選：B【知識點】向量的概念與向量的模、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算 2.設(shè)，為單位向量，且|1，則|+2|（）A3BC7D【答案】D【分析】通過向量的模，求出向量的數(shù)量積，然后轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：為單位向量，且|1，所以1，所以，所以|+2|故選：D【知識點】向量的概念與向量的模、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算 3.點C是線段AB靠近點B的三等分點，下列正確的是（）ABC

2、D【答案】D【分析】根據(jù)共線向量的定義即可得結(jié)論【解答】解：由題，點C是線段AB靠近點B的三等分點，33，所以選項A錯誤；22，所以選項B和選項C錯誤，選項D正確故選：D【知識點】平行向量（共線）、向量數(shù)乘和線性運算 4.下列關(guān)于向量的命題正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】C【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷A錯誤，根據(jù)向量長度的定義即可判斷B錯誤，C顯然正確，對于選項D，當(dāng)時，便得不出，即得出選項D錯誤【解答】解：A向量的長度相等，方向不一定相同，從而得不出，即該選項錯誤；B長度不能相互平行，該選項錯誤；C.顯然可得出，該選項正確；D.得不出，比如不共線，且，該選項錯誤故選：C

3、【知識點】向量的概念與向量的模、平行向量（共線） 5.設(shè)向量，不共線，向量與2共線，則實數(shù)k（）A2B1C1D2【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算和共線定理，利用向量相等列方程求出k的值【解答】解：向量，不共線，向量與2共線，則2k（+），（2）（k+），解得2，k2故選：A【知識點】平行向量（共線） 6.已知平面向量，且，則m（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)即可得出，然后進行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運算即可求出m的值【解答】解：，即，解得故選：B【知識點】向量的概念與向量的模 7.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且，則（）AB+C+D【答案】A【分析】由條件利用兩個向量的加減

4、法的法則，以及其幾何意義，求得【解答】解：由題意可得，+，故選：A【知識點】向量的概念與向量的模 8.下列說法正確的是（）A若B若C若D若【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題分析、判斷正誤即可【解答】解：對于A，向量是矢量，不能比較大小，A錯誤；對于B，向量相等時，模長相等且方向相同，B錯誤；對于C，若時，與方向相同，則、共線，C正確；對于D，若時，也可能與方向相同或相反，即、可能共線，D錯誤故選：C【知識點】向量的概念與向量的模 9.下列說法正確的是（）A零向量沒有方向B向量就是有向線段C只有零向量的模長等于0D單位向量都相等【答案】C【分析】根據(jù)零向量，單位向量、有向線

5、段的定義即可判斷出結(jié)論【解答】解：零向量的方向是任意的，故A選項錯誤；有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故B選項錯誤；只有零向量的模長等0，故C選項正確；單位向量模長相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項錯誤故選：C【知識點】向量的概念與向量的模 10.已知點P是ABC的中位線EF上任意一點，且EF平行BC，實數(shù)x，y滿足，設(shè)ABC，PBC，PCA，PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，若S11S，S22S，S33S，則23取最大值時，xy的值為（）ABCD【答案】B【分析】由題意，先用面積表示出23，再利用基本不等式計算出23的最大值，根據(jù)基本不等式等號成立的條件判斷

6、出P是中點，再取點M是BC的中點，結(jié)合平面基本向量定理得出x，y的值，得出正確選項【解答】解：由題意，點P在中位線上，故S1S，即1，S2+S3S，23（）2（S）2，等號當(dāng)且僅當(dāng)S2S3時成立，即23取最大值，由于S2S3，所以P點是EF的中點，取BC的中點為M，則，（）又，即，故，故xy，即xy的值為故選：B【知識點】平面向量的基本定理、平行向量（共線） 11.在ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點，則如圖所示的向量中，相等向量有（）A一組B二組C三組D四組【答案】A【分析】根據(jù)相等向量的定義，找出大小相等，方向相同的向量【解答】解：ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點，在如圖

7、所示的向量中，相等向量是和，有1組故選：A【知識點】平行向量（共線） 12.已知點A（3，2），B（5，1），則與反方向的單位向量為（）A（，）B（，）C（，）D（，）【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義，運算求解即可【解答】解：由題，（2，1），（2，1），與反方向的單位向量為：（，），即（，）故選：B【知識點】向量的概念與向量的模 二、填空題（共8小題） 13.已知（2，1），（6，y），若2+與2平行，則|2+|【分析】利用平面向量坐標(biāo)運算法則求出（2，2+y），（14，12y），再由2+與2平行，求出y3從而（2，1），由此能求出|2+|【解答】解：（2，1），（6，y），（2，2+y

8、），（14，12y），2+與2平行，2（12y）（14）（2+y）0，解得y3（2，1），|2+|故答案為：【知識點】平行向量（共線） 14.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為1，則【分析】連接AE，EC，利用正六邊形的性質(zhì)和余弦定理即可得出與的夾角為60，求得AC的長度，再利用數(shù)量積的定義即可得出【解答】解：連接AE，EC，則AEC是等邊三角形，與的夾角為60，正六邊形ABCDEF的邊長為1，AB1，ABC120，在ABC中，由余弦定理可得|212+12211cos1203，|cos60，則2（）2|22+|232+33則故答案為：【知識點】向量的概念與向量的模 15.已知向量（4，3），則

9、|【答案】5【分析】根據(jù)平面向量的模長公式，計算即可【解答】解：由向量（4，3），所以|5故答案為：5【知識點】平面向量的坐標(biāo)運算、向量的概念與向量的模 16.在ABC中，AB4，AC3，BAC90，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP9若m+（m）（m為常數(shù)），則CD的長度是【分析】以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得B與C的坐標(biāo)，再把的坐標(biāo)用m表示由AP9列式求得m值，然后分類求得D的坐標(biāo)，則CD的長度可求【解答】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（4，0），C（0，3），由m+（m），得，整理得：2m

10、（4，0）+（2m3）（0，3）（8m，6m9）由AP9，得64m2+（6m9）281，解得m或m0當(dāng)m0時，此時C與D重合，|CD|0；當(dāng)m時，直線PA的方程為yx，直線BC的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得xm，y32m即D（，），|CD|CD的長度是0或故答案為：0或【知識點】向量的概念與向量的模 17.已知向量，若滿足，且方向相同，則x【答案】1【分析】由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，求出x的值【解答】解：向量，若滿足，且方向相同，求得x1，或x2（此時，不合題意，舍去），故答案為：1【知識點】平行向量（共線） 18.已知+2，5+6，72，則點A、B、C、D中一定共線的三點是【答案】A、B、

11、D【分析】先求出向量，觀察其與向量是否共線，再求出向量觀察其與向量是否共線，若兩向量過同一點且共線則兩表示兩向量的有向線段的端點是共線的【解答】解：+4+8，找不到一個實數(shù)使得成立，故A，C，D三點不共線+2+42（+2）2，與共線，三點A、B、D共線故應(yīng)填A(yù)、B、D【知識點】平行向量（共線） 19.點C在線段AB上，且，則，【分析】利用，及其向量共線定理即可得出【解答】解：，故答案為：，【知識點】平行向量（共線） 20.向量（1，2），（m，4），若向量2+與2平行，則m【答案】-2【分析】由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算法則，求得m的值【解答】解：向量（1，2），（m，

12、4），若向量2+與2平行，向量2+（2+m，8），2（12m，6），（2+m）（6）8（12m）0，求得m2，故答案為：2【知識點】平行向量（共線） 三、解答題（共8小題） 21.設(shè)A，B，C，D為平面直角坐標(biāo)系中的四點，且A（2，2），B（4，1），C（1，3）（1）若，求D點的坐標(biāo)及|；（2）設(shè)向量，若k與+3平行，求實數(shù)k的值【分析】（1）可設(shè)D（x，y），然后根據(jù)即可得出D（3，6），進而可得出向量的坐標(biāo)，進而求出的值；（2）可求出，然后根據(jù)與平行即可求出k的值【解答】解：（1）設(shè)D（x，y），則，且，（2，3）（x1，y3），解得，D（3，6），；（2），且與平行，9（2k+3）+7

13、（3k2）0，解得【知識點】平行向量（共線）、平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示 22.已知，（1）求向量與所成角的余弦值；（2）若，求實數(shù)k的值【分析】（1）可求出，可設(shè)與所成角為，然后即可根據(jù)即可求出向量與所成角的余弦值；（2）可求出，然后根據(jù)即可求出k的值【解答】解：（1），設(shè)向量與所成角為，則，向量與所成角的余弦值為（2），又，（1）（32k）8（3k1）0，解得【知識點】平行向量（共線）、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 23.已知向量（3，2），（1，2），（4，1）（1）求3+2；（2）若（+k）（2），求實數(shù)k【分析】（1）根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)計算公式計算即可得答案（2）根據(jù)題

14、意，求出（+k）和（2）的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)計算公式可得2（3+4k）（5）（2+k）0，解可得k的值，即可得答案【解答】解：（1）根據(jù)題意，向量（3，2），（1，2），（4，1），則3+23（3，2）+（1，2）2（4，1）（0，6）；（2）向量（3，2），（1，2），（4，1），則（+k）（3+4k，2+k），（2）（5，2），若（+k）（2），則2（3+4k）（5）（2+k）0，解可得k；故k【知識點】平面向量的坐標(biāo)運算、平行向量（共線） 24.設(shè)兩個非零向量不共線，（1）求證：A、B、D共線；（2）試確定實數(shù)k，使和共線【分析】（1）利用向量的加法法則求出，得到3，利用向量共線充要

15、條件知三點共線（2）利用向量共線充要條件設(shè)出參數(shù)，利用平面向量基本定理，在基底上的分解是唯一的列出方程組求出k【解答】證明：（1）兩個非零向量不共線，3+63，A、B、D共線（2）要使和共線，只需存在實數(shù)使得（）；，k2或2【知識點】平行向量（共線） 25.已知向量（4，3cos），（1，2tan）（1）若，求sin的值；（2）若，且（，0），求cos（2+）的值【分析】（1）結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示及同角平方關(guān)系即可求解，（2）結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示及二倍角公式，和角公式即可求解【解答】解：（1）（4，3cos），（1，2tan），若，則8tan3cos0，8sin3cos233sin2，3s

16、in2+8sin30，即（3sin1）（sin+3）0，sin，（2），且（，0），4+6costan0，sin，cos，sin22sincos，cos22cos21，cos（2+）【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系、平行向量（共線） 26.已知向量（1，2），（3，2）（1）當(dāng)k為何值時，向量與垂直？（2）當(dāng)k為何值時，向量與平行？【分析】（1）向量與垂直，則（）（）0，解方程即可；（2）向量與平行時，8（2k+2）8（k3），解方程即可【解答】解：向量（1，2），（3，2），（1）當(dāng)與垂直時，8（k3）+8（2k+2）0，k5；（2）向量與平行時，8（2k+2）8（k3），k【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系、平行向量（共線） 27.如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，G為BE與DF的交點若，（1）試以，為基底表示，；（2）求證：A，G，C三點共線【分析】（1）根據(jù)向量的減法及數(shù)乘的幾何意義即可得到，同樣的辦法表示出即可；（2）先根據(jù)D，G，F(xiàn)三點共線及共線向量基本定理便可得到，存在實數(shù)k使得：，同理根據(jù)B，G，E三點共線可得到所以根據(jù)平面向量基本定理可得到k，從而得到，所以便證出了A，G，C三點共線【解答】解：（1），；（2）D，G，F(xiàn)三點共線，所以存在實數(shù)