2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)（湖南專版）-考點05 一元二次函數(shù)、方程和不等式1（解析版）

1、考點05 一元二次函數(shù)、方程和不等式11.函數(shù)f（x）x2+bx+c的零點為1和2，那么不等式x2bx+c0的解集為（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|x1或x2Dx|x2或x1【解答】解：二次函數(shù)f（x）x2+bx+c的零點為1和2，則對應(yīng)一元二次方程x2+bx+c0的兩個實數(shù)根為1和2，所以b（1+2）1，c122，所以不等式x2bx+c0化為x2+x20，解得2x1，所以不等式的解集為x|2x1故選：A【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 2.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sna4n1+b1（a0，b0），則的最小值為（）ABCD【解答】解：Sna4n1+b1（a0，b0），S1a+，當(dāng)n2時，

2、anSnSn13a4n2，數(shù)列an是等比數(shù)列，a1，a+b4，則，當(dāng)且僅當(dāng)且a+b4即a1，b3時取得最小值為，故選：D【知識點】基本不等式及其應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì) 3.若k1，a0，則k2a2+的最小值是（）A4B4C8D16【解答】解：k1，a0，則k2a2+448，當(dāng)且僅當(dāng)k1且即a1，k2時取等號，則k2a2+的最小值是8故選：C【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 4.已知關(guān)于x的不等式x2axb0的解集是（2，3），則a+b的值是（）A11B11C7D7【解答】解：關(guān)于x的不等式x2axb0的解集是（2，3），所以方程x2axb0的解2和3，由根與系數(shù)的關(guān)系知，a2+31，b23，解得b6

3、，所以a+b7故選：D【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 5.若M2a23a+5，Na2a+4，則M與N的大小關(guān)系為（）AMNBMNCMNDMN【解答】解：MN2a23a+5（a2a+4）a22a+1（a1）20；MN故選：A【知識點】不等式比較大小 6.若對任意的正數(shù)a，b滿足a+3b10，則的最小值為（）A6B8C12D24【解答】解：任意的正數(shù)a，b滿足a+3b10a+3b1所以則（）（a+3b）+6，因為：+26，所以（）（a+3b）+612，（當(dāng)且僅當(dāng)時，a，b時，等號成立），故選：C【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 7.已知不等式對一切恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）Am6Bm6Cm7D

4、m7【解答】解：2（x1）+m+2m+6當(dāng)且僅當(dāng)2（x1）即x1時取等號，對一切恒成立，0，則m+60m6故選：A【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 8.若不等式ax2+2x+c0的解集是（）（），則不等式cx22x+a0的解集是（）ABC2，3D3，2【解答】解：不等式ax2+2x+c0的解集是（）（），和是方程ax2+2x+c0的兩個實數(shù)根，由，解得：a12，c2，故不等式cx22x+a0即2x22x120，即x2x60，解得：2x3，所以所求不等式的解集是：2，3，故選：C【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 9.關(guān)于x的不等式解集為a，b，則ab（）A1B2C3D4【解答】解：令f（x）x23x

5、+4，則f（x）（x2）2+1，f（x）minf（2）1，由題意可知a1，且f（a）f（b）b，ab，由f（b）b得到 b23b+4b，解得b（舍去）或b4，由拋物線的對稱軸為x2得到a0，ab4故選：D【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 10.若不等式x2m+4x，x0，1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）Am3或m0Bm3C3m0Dm3【解答】解：不等式x2m+4x，x0，1恒成立，只需m（x24x）min，x0，1函數(shù)f（x）x24x（x2）24，x0，1，f（x）minf（1）3，m3，故選：D【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 11.若a，b都是正數(shù)，且a+b1，則（a+1）（b+1）的最

6、大值為（）AB2CD4【解答】解：由題意，可知：（a+1）（b+1）（）2（）2故選：C【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 12.不等式（3x）（1+x）0的解集是（）A（1，3）B（，1）（3，+）C（3，1）D（，3）（1，+）【解答】解：不等式（3x）（1+x）0可化為（x3）（x+1）0，解得1x3，所以不等式的解集為（1，3）故選：A【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 13.若f（x）4x2kx8在5，8上為單調(diào)遞減函數(shù)，則k的取值范圍是（）A（，10B64，+）C（，4064，+）D40，64【解答】解：由題意，可知：二次函數(shù)f（x）4x2kx8開口向上，對稱軸x函數(shù)f（x）在5，8上為單

7、調(diào)遞減函數(shù)對稱軸x，k64故選：B【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 14.若正數(shù)x、y滿足x+4yxy0，則的最大值為（）ABCD【解答】解：正數(shù)x、y滿足x+4yxy0，y0，解得x4，當(dāng)且僅當(dāng)x4時等號成立，的最大值為故選：B【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 15.不等式ax2+bx+c0的解集為（4，1），則不等式b（x2+1）a（x+3）+c0的解集為（）ABCD【解答】解：不等式ax2+bx+c0的解集為（4，1），則不等式對應(yīng)方程的實數(shù)根為4和1，且a0；由根與系數(shù)的關(guān)系知，不等式b（x2+1）a（x+3）+c0化為3a（x2+1）a（x+3）4a0，即3（x2+1）（x+3）40，解得

8、1x，該不等式的解集為（1，）故選：B【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 16.已知a，b是正實數(shù)，且a+b2，則+的最小值為【解答】解：a，b是正實數(shù)，且a+b2，則+（+）（a+b）（5+），當(dāng)且僅當(dāng)且a+b2即b，a時取等號則+的最小值為故答案為：【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 17.已知x0，y0，x+3y+3xy80，則x+3y的最小值是【解答】解：因為x0，y0，且x+3y+3xy80，所以x+3y+3xy80 x+3y+8，所以（x+3y+8）（x+3y4）0，所以x+3y4，當(dāng)x3y時x+3y取得最小值4，故答案為：4【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 18.關(guān)于x的不等式x2+px20

9、的解集為（q，1），則p+q【解答】解：由題意知，方程x2+px20有一個根為1，代入方程求得p1；所以不等式為x2+x20，解得其解集為（2，1）；所以q2，所以p+q1故答案為：1【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 19.不等式2x2x+60的解集是【解答】解：不等式2x2x+60可化為2x2+x60，解得2x；該不等式的解集是2，故答案為：2，【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 20.已知x0，y0，且x+y1，則的最小值為【解答】解：x0，y0，且x+y1，+（x+y）（+）5+5+25+2，當(dāng)且僅當(dāng)xy，x+y1，即y2，x3時取等號故答案為：5+2【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 21.若

10、不等式px2qx+r0的解集為x|x2或x3，則不等式（qx2+px+r）（x1）0的解集為【解答】解：px2qx+r0的解集為x|x2或x3，所以其對應(yīng)的方程px2qx+r0有兩個根2，3，且p0，px2qx+rp（x+2）（x3）px2px6p，所以qp，r6p（qx2+px+r）（x1）0，即p（x2+x6）（x1）0，即（x+3）（x2）（x1）0，由穿針引線法，得x（3，1）（2，+）故答案為：（3，1）（2，+）【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 22.已知正數(shù)x，y滿足x+y1（）求xy的最大值；（）求的最小值【解答】解：（）xy（）2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時，等號成立；（）+3+3+23

11、+2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1，y2時，等號成立；【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 23.已知二次函數(shù)f（x）2x2+ax+3（1）若f（x）在1，1上單調(diào)，求a的取值范圍；（2）求f（x）在1，1上最小值【解答】解：（1）若f（x）在1，1上單調(diào)遞增，則x1，即a4，若f（x）在1，1上單調(diào)遞減，則x1，即a4，故a4或者a4；（2）根據(jù)（1）當(dāng)a4時，f（x）在1，1上單調(diào)遞增，f（x）minf（1）5+a，當(dāng)a4時，f（x）在1，1上單調(diào)遞減，f（x）minf（1）5a，當(dāng)4a4時，f（x）的最小值為f（）【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 24.已知f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）2，f（x+1）f

12、（x）2x+3（1）求函數(shù)f（x）的解析式（2）設(shè)h（x）f（x）2tx，當(dāng)x1，+）時，求函數(shù)h（x）的最小值【解答】解：（1）設(shè)f（x）ax2+bx+c（a0），f（0）c2，f（x+1）f（x）2x+3，a（x+1）2+b（x+1）+c（ax2+bx+c）2x+3，2ax+a+b2x+3，c2，a1，b2，f（x）x2+2x+2，（2）由題意得h（x）x2+2（1t）x+2，對稱軸為直線xt1，當(dāng)t11即t2時，函數(shù)在1，+）單調(diào)遞增h（x）minh（1）52t，當(dāng)t11即t2時，函數(shù)在1，t1單調(diào)遞減，在t1，+）單調(diào)遞增，綜上：h（x）min【知識點】函數(shù)解析式的求解及常用方法、二次

13、函數(shù)的性質(zhì)與圖象 25.設(shè)函數(shù)f（x）x2+mx+n，已知不等式f（x）0的解集為x|1x4（1）求m和n的值；（2）若f（x）ax對任意x0恒成立，求a的取值范圍【解答】解：（1）依題意，1，4為方程x2+mx+n0的兩根，所以m1+4，n14，即m5，n4；（2）由（1）知，f（x）x25x+4，所以f（x）ax對任意x0恒成立，即x25x+4ax對任意x0恒成立，x0，ax+5在（0，+）上恒成立，當(dāng)x0時，0，根據(jù)基本不等式，x+5251，當(dāng)且僅當(dāng)x2時，等號成立，所以a1【知識點】一元二次不等式及其應(yīng)用 26.若a，b，cR+，且滿足a+b+c2（1）求abc的最大值；（2）求+的最

14、小值【解答】解：a，b，cR+，且滿足a+b+c2（1）abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號，故abc的最大值；（2）+（3）（3+2+2+2），當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號+的最小值【知識點】基本不等式及其應(yīng)用 27.已知x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a0的兩個實數(shù)根（1）是否存在實數(shù)a，使x1+x1x24+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）為負(fù)整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值【解答】解：（1）由題意可知4a24a（a6）24a0，即a0又a60，a6，a0且a6由題可知x1+x2，x1x2x1+x1x24+x2，即x1x24+x1+x2，4+，解得a24經(jīng)檢驗，符合題意存在實數(shù)a，a的值為24（2）（x1+1）（x2+1）x1+x2+x1x2+1+1為負(fù)整數(shù)，整數(shù)a的值應(yīng)取7，8，9，12【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 28.設(shè)函數(shù)