線性代數(shù)講義(2)矩陣課件

1、第1節(jié) 矩陣的定義第2節(jié) 矩陣的運(yùn)算第3節(jié) 逆矩陣第4節(jié) 線性方程組的矩陣解法 第 2 章 矩 陣 1第1節(jié) 矩陣的定義第 2 章 矩 陣 矩陣的概念很簡(jiǎn)單，就是一個(gè)表格，但它的用途卻很廣。 實(shí)際問題和線性代數(shù)中許多問題都可以表示成矩陣的問題。使用矩陣語言可以使許多問題變得更清晰，解決問題的思路也變得更清楚。 現(xiàn)在，矩陣已成為數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基本的概念。2 矩陣的概念很簡(jiǎn)單，就是一個(gè)表格，但它的用途卻很廣。2第1節(jié) 矩陣的定義第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義1. 某位商人分別從 3 處購進(jìn) 4 種貨物，他可以用一個(gè) 3 行 4 列的表格來表示購入貨物的數(shù)量(或價(jià)格或金額)，這里 aij 表

2、示從 i 處購進(jìn)的 j 貨物的數(shù)量一、矩陣概念的引入 貨物1 貨物2 貨物3 貨物4產(chǎn)地1 a11 a12 a13 a14 產(chǎn)地2 a21 a22 a23 a24 產(chǎn)地3 a31 a32 a33 a34 3第1節(jié) 矩陣的定義第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義2. 線性方程組 的解取決于系數(shù) aij ( i = 1, , m, j = 1, , n ), 常數(shù)項(xiàng) bi ( i = 1, 2, , m ) a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2

3、 x2 + + amn xn = bm 對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組完全由下面的表格確定a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm 4第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義2. 線性方程組 BA C D3. 某航空公司在 A, B, C, D四城市之間開辟了若干航線, 如圖所示表示了四城市間的航班圖, 如果從 A 到 B 有航班, 則用帶箭頭的線連接 A 與 B.第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義5 B3. 某航空公司在 A, B四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站 到站 其中 表示有航班.為了便于計(jì)算, 把表中的 改

4、成 1, 空白地方 填上 0, 就得到一個(gè)數(shù)表:ABCDA B C D 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義6四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站 到站 其中 0 0 0 0 00 0 0 這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.ABCDA B C D 11111011第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義7 二、矩陣的定義 設(shè) m 1, n 1, 由 m n 個(gè)數(shù)(有時(shí)是表達(dá)式) aij ( i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n ) 排成的 m 行 n 列的表格a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 稱為 m 行 n 列矩陣. 簡(jiǎn)稱 m

5、n 矩陣. 記為 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義8二、矩陣的定義 設(shè) m 1, n 1a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A = 簡(jiǎn)記為 矩陣 A 的(m, n)元素元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.主對(duì)角線 副對(duì)角線 A = Amn = ( aij )mn = ( aij ). aij 稱為 A 矩陣的 i 行 j 列元素, 或 ( i, j ) 元素. 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義9a11 a12 a1n A = 簡(jiǎn)記為 例如 1 0 3 5 9 6 4 3 是一個(gè) 2 4 實(shí)矩陣, 124 是一個(gè) 3 3 復(fù)矩陣

6、, 13 6 2 i 2 2 2 2 2 2 是一個(gè) 3 1 矩陣, ( 2 3 5 9 ) 是一個(gè) 1 4 矩陣, ( 4 ) 是一個(gè) 1 1 矩陣(是一個(gè)數(shù)). 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義10例如 1 0 3 5 是一個(gè) 2 4幾種特殊矩陣 (1) 只有一行的矩陣( 1 n 矩陣) 稱為行矩陣 或行向量. A = ( a1 a2 an ), 只有一列的矩陣( m 1 矩陣) 稱為列矩陣 或列向量. b1b2 bm B = , 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義11幾種特殊矩陣 (1) 只有一行的矩陣( 1 n 矩陣) a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1

7、am2 amn 記 A = 稱 ( ai1 ai2 ain ) 為 A 的第 i 個(gè)行向量; a1ja2j amj 稱 為 A 的第 j 個(gè)列向量. 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義12a11 a12 a1n 記 A = 稱 例如 是一個(gè) 3 階方陣. (2) 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣 A，稱為 n 階方陣. 也可記作 An.13 6 5 1 2 3 2 2 2 (3) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，m n 零矩陣記作 0mn 或 0.注意 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 ). 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義13例如 是一個(gè) 3 階方陣.

8、(2) 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的1 0 0 0 2 0 0 0 n (4) 形如 的方陣, 不全為 0 稱為對(duì)角矩陣 ( 或?qū)顷?).記作 A = diag( 1, 2, , n ). 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E = En = (5) 方陣 稱為 n 階單位矩陣 ( 或單位陣 ).全為 1 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義141 0 0 (4) 形如 2. 兩個(gè)矩陣 A = ( aij ) 與 B = ( bij ) 為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等, 即則稱矩陣 A 與 B 相等, 例如 為同型矩陣. 同型矩陣與矩陣相等的概念 1. 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等, 列數(shù)相等時(shí), 稱為同

9、型矩陣.1 2 14 35 6 與 8 43 7 3 9 aij = bij ( i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n ), 記為 A = B. 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義15 2. 兩個(gè)矩陣 A = ( aij ) 與 B線性方程組 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 (I) am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm 完全由矩陣a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm確定。稱此矩陣為線性方程組 (I)

10、的增廣矩陣。第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義16線性方程組 a11 x1 + a12 x2 + + aa11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A = 稱矩陣是線性方程組 (I) 的系數(shù)矩陣。第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義17a11 a12 a1n A 1 2 33 1 2A = , 1 x 3 y 1 zB = 補(bǔ)充例1 設(shè)解 已知 A = B, 求 x, y, z. A = B, x = 2, y = 3, z = 2. 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義181 2 3A = 三、小結(jié)(1) 矩陣的概念 m 行 n 列的一個(gè)數(shù)表 a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn A = 第2章 線性方程組 第1節(jié) 矩陣的定義19三、小結(jié)(1) 矩陣的概念 m 行 n 列的一個(gè)數(shù)表 a1(2) 特殊矩