線性代數(shù)課件33

1、3.3 行列式行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式的應(yīng)用矩陣的初等變換與行列式展開式定理(拉普拉斯定理)矩陣的伴隨矩陣矩陣的秩克萊姆法則計(jì)算行列式的值(1) 行列式的定義定義：用排列來定義行列式線性代數(shù)-第三章線性代數(shù)-第三章例：所有的 3 元排列為:123, 132, 213, 231, 312, 321.定義：例：在排列 45312 中, 全部的逆對(duì)為:(4, 3), (4, 1), (4, 2); (5, 3), (5, 1), (5, 2); (3, 1), (3, 2).對(duì)排列中的每個(gè)數(shù), 統(tǒng)計(jì)位于它右邊且比它小的數(shù)的個(gè)數(shù)線性代數(shù)-第三章定義：常用的記號(hào)：行列式是針對(duì)方陣而定義的線性代數(shù)-

2、第三章例：例：解：數(shù)的乘法滿足交換律列指標(biāo)構(gòu)成了一個(gè) 5 元排列 23514,又由于 23514 的全部逆對(duì)為:(2, 1); (3, 1); (5, 1), (5, 4).命題：轉(zhuǎn)置不改變行列式的值對(duì)于行列式而言, 行、列的地位是對(duì)等的用行列式的定義驗(yàn)證關(guān)于行的結(jié)論, 對(duì)于列也成立; 反之亦然線性代數(shù)-第三章利用行列式的定義計(jì)算行列式例：一元排列只有一個(gè)： 1, 其符號(hào)為 1. 例：二元排列有 2 個(gè): 12; 21對(duì)角元的乘積反對(duì)角元的乘積例：線性代數(shù)-第三章把上面 6 項(xiàng)相加即得可以在三階行列式中畫線來記憶綜上, 階數(shù)不超過 3 的行列式可以直接用定義來計(jì)算.例：計(jì)算行列式解：線性代數(shù)-

3、第三章但是, 有如下的例子例：解：任取其定義式中的一項(xiàng):繼續(xù)上述討論得到:對(duì)角元的乘積對(duì)于下三角行列式有相同的結(jié)論.作業(yè)：習(xí)題3.3：1, 2. 線性代數(shù)-第三章(2) 行列式的基本性質(zhì)、用初等變換計(jì)算行列式回顧：任意矩陣都可以用初等變換化為階梯形矩陣階梯形方陣是上三角陣引理：交換行列式的兩行 (列), 其余的行 (列) 不變, 則行列式的值變號(hào).用行列式的定義引理：某行(列)有公因子時(shí), 可先提出線性代數(shù)-第三章命題：因此, 可以用矩陣的初等變換來計(jì)算行列式. 一般地, 利用初等變換把行列式轉(zhuǎn)化為三角行列式, 可以簡(jiǎn)化計(jì)算.例：解：交換1，2行推論：線性代數(shù)-第三章例：解：例：解：線性代數(shù)-

4、第三章推論：行列式與數(shù)乘的關(guān)系注：定理：行列式與矩陣乘法的關(guān)系推論：乘積的行列式等于行列式的乘積.作業(yè)：習(xí)題3.3：3, 4.線性代數(shù)-第三章(3) 行列式與矩陣的秩、行列式與可逆陣命題：可以用兩種方法證明 推論：例：例：用行列式證明如下的結(jié)論：例：向量個(gè)數(shù)等于維數(shù)時(shí), 可以用行列式來判斷線性相關(guān)或線性無關(guān).線性代數(shù)-第三章定義：定理：行列式的一個(gè)應(yīng)用：利用行列式可以刻畫矩陣的秩. 線性代數(shù)-第三章(4) 展開式定理 (拉普拉斯定理) 及其應(yīng)用研究行列式, 除了矩陣的初等變換以外, 另一個(gè)重要的想法是, 把高階的行列式轉(zhuǎn)化為更低階的行列式. 回顧：3 階行列式可以寫為若干 2 階行列式的表達(dá)式

5、線性代數(shù)-第三章(3-1) 展開式定理(拉普拉斯定理)定義：按某一行或某一列的展開式定理：注：注：在計(jì)算行列式的值時(shí), 可以先作初等變換, 使得某行或某列盡含有可能多的 0, 然后再用展開式進(jìn)行計(jì)算.線性代數(shù)-第三章例：解：按第3列展開例：解：分別把第 1 行的 1, 2 倍加到第 2, 3 行, 使得第 3 列只有一個(gè)非零的數(shù).按第 3 列展開.線性代數(shù)-第三章例：推論：(3-2) 展開式定理的矩陣形式、伴隨矩陣推論：線性代數(shù)-第三章例：解：線性代數(shù)-第三章推論：寫成矩陣乘法的形式定義：定理： (拉普拉斯定理: 矩陣形式.)數(shù)量陣線性代數(shù)-第三章例：例：對(duì)角元交換位置；非對(duì)角元變號(hào).例：證明：任意上 (下) 三角陣的伴隨矩陣仍然是上 (下) 三角陣.例：例：線性代數(shù)-第三章(3-3) 行列式的應(yīng)用：求逆矩陣、克萊姆法則定理：例：其理論意義在于：給出了逆矩陣的一個(gè)公式.有唯一解線性代數(shù)-第三章定理：(克萊姆法則.) 該定理的理論意義在于：在這種情況下給出了解的具體公式.