幾何體外接球外切球問題

1、球的組合體問題專題已知三棱錐P-ABC中，PA=4, AB=AC=2士, BC=6, PA丄面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積 為（ ）A. 16n B. 32n C. 64n D. 128n已知正三棱錐P - ABC中E, F分別是AC, PC的中點(diǎn)，若EF丄BF, AB=2,則三棱錐P - ABC的外 TOC o 1-5 h z 接球的表面積（）A. 4n B. 6n C. 8n D. 12n已知正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為2,且球心在點(diǎn)A, B, C所確定的平面上，則該正三棱錐的表面積是（）A. 3i 2+3 B. 3C. 3：15+3：2 D. 3已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面

2、邊長(zhǎng)為3,則該正三棱錐的外接球的表面積為（）A. ，B. 4n C.D. 16n HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 33若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為a,且其體積為2込，則此三棱柱外接球的表面積是（）A n B.， nC. 3n D.亙n HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 3336已知球的表面積為4n,則球的內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)為（）A.B.立 C. 1 D. 27已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是（）A. &廳B. 12

3、.込 C. 1呂込 D.旳込&已知三棱柱的各側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，且側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)之比為2： 1，頂點(diǎn)都 在一個(gè)球面上，若該球的表面積為互_兀，則此三棱柱的側(cè)面積為（）DD. 6已知表面積為24n的球體，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）的高為4,則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積為（）A. 32 B. 36 C. 48 D. 64已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，且滿足PA-PB = O 疋二0,疋巨二0,則三棱錐P - ABC的側(cè)面積的最大值為（）A. 9 B. 18 C. 36 D. 7211.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，且PA、P

4、B、PC兩兩互相垂直,則三棱錐P - ABC的側(cè)面積的最大值為（）A. 18 B. 24 C11.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，且PA、PB、PC兩兩互相垂直,則三棱錐P - ABC的側(cè)面積的最大值為（）A. 18 B. 24 C. 18 .W D. 24 .212.半徑為4的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則 ABC、ACD、ADB面積之和sabc+Sacd+Sadb的最大值為()A. 8B. 16 C. 32 D. 64對(duì)數(shù)函數(shù)練習(xí)13已知 a=21-2, b=(護(hù)-0-2，c=2log52，則a， b，c的大小關(guān)系為（）A. bVaVc B

5、. cVaVb C.cVbVa D. bVcVa14.設(shè)a, b, c均為正數(shù),且 2a= log 過,2專）=los2c，則（）A. aVbVc B. cVbVa C.cVaVb D. bVaVc15.已知函數(shù)f）二_2 DVmVI則不等式1口g2工-1 呂i虹-1） flei g辛+1 ）危5的解集為（A.令 1)B. 1, 4 C.峙，4) D. 1,心丄16已知且二2萬(wàn)，匕二遼盹冷萬(wàn)，器訕皿，則實(shí)數(shù)a，b, c的大小關(guān)系是（）A. acb B. bac C. abc D. cba17下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10igx的定義域和值域相同的是（）A. y=x B. y=lg

6、x C. y=2x D. TOC o 1-5 h z 18.若 ab0，0VcV1，貝9()A. log cVlogbc B. log aVlog b C. acVbcD. cacbabcc19.已知 a=log20.3, b=log032，c=log080.4 貝U()A. cab B. bca C. cba D. bac20.已知函數(shù) f (x) =log x2 - 2 (2a - 1)x+8, aR,若 f (x)在a, +)上為減函數(shù), T取值范圍為（）B（晉 取值范圍為（）B（晉 2 C.（A.(，2， 1D.(詩(shī)，12X23X2/322X23X2/32si nZBAC=!，2016

7、年12月12日的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共20小題）1. （2016秋晉中期末）已知三棱錐P-ABC中，PA=4, AB=AC=2主，BC=6, PA丄面ABC，則此三棱 錐的外接球的表面積為（）A. 16n B. 32n C. 64n D. 128n【分析】根據(jù)已知求出Aabc外接圓的半徑，從而求出該三棱錐外接球的半徑和三棱錐的外接球表面 積.【解答】解：底面 ABC中，AB=AC=2主，BC=6，.cosZBAC二二-丄2所以三棱錐外接球的半徑R2=r2+ （爭(zhēng)）2= （2T3）2+22=16, 所以三棱錐P - ABC外接球的表面積S=4nR2=64n.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】

8、本題考查了三棱錐的外接球體積與計(jì)算能力的應(yīng)用問題，確定三棱錐的外接球半徑是解題的 關(guān)鍵.2. （2016福安市校級(jí)模擬）已知正三棱錐P-ABC中E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，若EF丄BF，AB=2, 則三棱錐P - ABC的外接球的表面積（）A. 4n B. 6n C. 8n D. 12n【分析】由正三棱錐的性質(zhì)、線面垂直的判定定理證明PA丄平面PBC，可得以PA、PB、PC為從同一 點(diǎn)P出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，利用正方體的體對(duì)角線 是外接球的直徑，求出半徑，代入球的表面積求出答案.【解答】解：TE、F分別是AC，PC的中點(diǎn)，EFPA，TP-ABC是正三

9、棱錐，PA丄BC （對(duì)棱垂直），.EF丄BC，又 EF丄BF，且 BFABC=B，.EF丄平面PBC,PA丄平面PBC,.ZAPB=ZAPC=ZBPC=90,以PA、PB、PC為從同一點(diǎn)P出發(fā)的正方體三條棱， 將此三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示：三棱錐和正方體有相同的外接球，正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，又AB=2，PA=P，2R=，則R=，2三棱錐P - ABC的外接球的表面積為：4nR2=4nX （#） =6n, 故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正三棱錐的性質(zhì)、線面垂直的判定定理，以及球的表面積公式，幾何體外接球的 表面積的求法，將正三棱錐還原為正方體是解題的關(guān)鍵.（2016大慶校級(jí)三模）已知正

10、三棱錐P-ABC的外接球的半徑為2，且球心在點(diǎn)A，B，C所確定 的平面上，則該正三棱錐的表面積是（）A.2+3 B. 3（T龍+亡）C. 31石+3立 D. 3 （衛(wèi)+亡）【分析】畫出圖形，求出正三棱錐的底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)以及斜高，然后求解正三棱錐的表面積.【解答】解：正三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上.所以ABC的中心就是球心0, PO是球的半徑，也是正三棱錐的高，則 R=2，由題意可知：0A=0B=0C=2，底面三角形ABC的高為：3.則害AB=3，AB=2 迂，PA=3 遼，則該正三棱錐的表面積是：寺X 2 一：3 X3+3X寺X V gX

11、 ；/ + 2=3i 3+3il 5-故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的表面積的求法，正三棱錐與外接球的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì) 算能力.（2016潮州校級(jí)模擬）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為3,則該正三棱錐的外接球的表面 積為（）A. ，B. 4n C.D. 16n33【分析】由題意推出球心0到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用直角三角形BOE,求出球的半徑，即可求出 外接球的表面積.【解答】解：如圖，正三棱錐A - BCD中，底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2， BE*33，高AE=J扭2_ee?=1.由球心0到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，在直角三角形BOE中，BO=R，EOF臚諮=1 - R，由 BO

12、2=BE2+EO2，得 R2=3+（1 - R）2，R=2，外接球的半徑為，表面積為：2nR3=33故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題屬于中檔題，考查空間想象能力，計(jì)算能力；直角三角形BOE是本題解題的關(guān)鍵，仔 細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提.（2016太原二模）若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為a，且其體積為2七，則此三棱柱外接球的表面積 是（ ）A n B. ， nC. 3n D.空n333【分析】由題意可得：:心貝沱，解得a.設(shè)此三棱柱外接球的半徑為R,利用勾股定理可得R2.再利用球的表面積計(jì)算公式即可得出.【解答】解：由題意可得：立心2心=2込，解得a=2.設(shè)此三棱柱外接球的半徑為R設(shè)此三棱柱外接球

13、的半徑為R,則R2=此三棱柱外接球的表面積S=4nR2= 故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等邊三角形的面積計(jì)算公式、球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力 與計(jì)算能力，屬于中檔題.（2016秋福州期中）已知球的表面積為4n，則球的內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)為（）D. D. 2【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為X，利用球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線即為球的直徑、球的表面積計(jì)算公式即 可得出.【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為X,則X 4n=4n，解得x= 故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線即為球的直徑的性質(zhì)、球的表面積計(jì)算公式，考查了推 理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.（2015哈

14、爾濱校級(jí)一模）已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為算的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是（）A. & 廳 B. 13.込 C. 1 呂込 D. 24/1【分析】由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，得球的半徑 和棱柱底面正邊長(zhǎng)的關(guān)系，求出邊長(zhǎng)，即求出底面正的面積；得出棱柱的表面積.【解答】解：由球的體積公式，得4nR3=R=1.正三棱柱的高h(yuǎn)=2R=2.設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切圓的半徑為詩(shī)導(dǎo)4.a=2 . 3.：該正三棱柱的表面積為：3a2R+2XX /=18T3.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的體積，柱體體積公

15、式的應(yīng)用；本題的解題關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，這是通過正 的內(nèi)切圓與邊長(zhǎng)的關(guān)系得出的. TOC o 1-5 h z 8 （2015衡陽(yáng)二模）已知三棱柱的各側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，且側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)之 比為2： 1,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，若該球的表面積為匹n則此三棱柱的側(cè)面積為（）3A.七 B. C. 8D. 62【分析】球與三棱柱的關(guān)系得出4nr2= n，得r2=，根據(jù)幾何性質(zhì)得出r2=x2+ （ x） 2，利用公式 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 333得出三棱柱的側(cè)面積為6.【解答】解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x球半徑為r，則4nr2= n，得r2=

16、， HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 33又題意得r2=X2+ （ X）2，解得x=1，3故三棱柱的側(cè)面積為6.故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題空間幾何體的性質(zhì)，球與三棱柱的鑲嵌問題，注意邊長(zhǎng)，半徑的關(guān)系，計(jì)算準(zhǔn)確，屬于 中檔題.（2015秋資陽(yáng)期末）已知表面積為24n的球體，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底 面）的高為4,則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積為（）A. 32 B. 36 C. 48 D. 64【分析】先由球的表面積求出球的半徑，由此能求出其內(nèi)接正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，從而能求出這個(gè)正 四棱柱的側(cè)面積.【解答】解：設(shè)表面積為24n的球體的半徑為R，

17、則4nR2=24n，解得R6，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）的高為4，設(shè)這個(gè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，且+ 4 ?=2i 6，解得 a=2，這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積S=4X2X4=32.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱柱的側(cè)面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn) 用.（2015秋瓊海校級(jí)月考）已知三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，且滿足亙歪二0,丙憂二0,藥庶二0,則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為（）A. 9 B. 18 C. 36 D. 72【分析】由已知得PA，PB，PC兩兩垂直，36=PA2+PB2+PC2,由基本不等式可得36PAP

18、B+PBPC+PAPC， 由此能求出三棱錐P - ABC的側(cè)面積的最大值.【解答】解：耳是二0,耳憂二0,疋庶二0,.PA，PB, PC兩兩垂直，又三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上（2X3）2=PA2+PB2+PC2,則由基本不等式可得 PA2+PB22PAPB, PA2+PC22PAPC, PB2+PC22PBPC,即 36=PA2+PB2+PC2PAPB+PBPC+PAPC則三棱錐P - ABC的側(cè)面積sd（PAPB+PBPC+PAPC）W18,2則三棱錐P - ABC的側(cè)面積的最大值為18.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的側(cè)面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審

19、題，注意基本不等式 性質(zhì)的合理運(yùn)用.（2014焦作一模）已知三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，則三棱錐P - ABC的側(cè)面積的最大值為（）A. 18 B. 24 C. 18 .邁 D. 24 .2【分析】由已知，三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，且PA, PB, PC兩兩垂直，球 直徑等于以PA, PB, PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，由基本不等式易得到三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最 大值.【解答】解：TPA, PB, PC兩兩垂直，又三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，以PA, PB, PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為

20、球的一條直徑.36=PA2+PB2+PC2, 則由基本不等式可得 PA2+PB22PAPB, PA2+PC22PAPC, PB2+PC22PBPC,即 36=PA2+PB2+PC2PAPB+PBPC+PAPC則三棱錐P - ABC的側(cè)面積S丄（PAPB+PBPC+PAPC）W18,2則三棱錐P - ABC的側(cè)面積的最大值為18,故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的側(cè)面積，基本不等式，棱柱的外接球，其中根據(jù)已知條件，得到 棱錐的外接球直徑等于以PA, PB, PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，是解答本題的關(guān)鍵.（2013建鄴區(qū)模擬）半徑為4的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，AB, AC, AD兩兩互相垂

21、直，則 ABCACDADB 面積之和 Smbc+S“cd+Sdb 的最大值為（）A. 8 B. 16 C. 32 D. 64【分析】AB, AC, AD為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的一個(gè)角，故a2+b2+c2=64，計(jì)算三個(gè)三角形的面積之和，利 用基本不等式求最大值.【解答】解析：C.根據(jù)題意可知，設(shè)AB=a, AC=b, AD=c，則可知AB, AC, AD為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的 一個(gè)角.故a2+b2+c2=64,而故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用構(gòu)造法求球的直徑、利用基本不等式求最值問題，考查了同學(xué)們綜合解決交 匯性問題的能力.（2017南開區(qū)模擬）已知a=2i.2, b= -） -0.2, c=2log5

22、2，則a, b, c的大小關(guān)系為（）A. bVaVc B. cVaVb C. cVbVa D. bVcVa【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【解答】解：b=（丄）-o.2=2o.2V21.2=a,2ab1.Vc=2log52=log54bc.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.14. （2017湖北模擬）設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且2a=l訓(xùn)a,，則（）A. aVbVc B. cVbVa C. cVaVb D. bVaVc【分析】比較大小可以借助圖象進(jìn)行比較，觀察題設(shè)中的三個(gè)數(shù)a, b, c,可以借助函數(shù)圖象的交 點(diǎn)的位置進(jìn)行比較.【解

23、答】解：分別作出四個(gè)函數(shù)y=（寺二滬5 gp,y=2x, y=log2x的圖象，觀察它們的交點(diǎn)情況.由圖象知：a VbVc.【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是對(duì)數(shù)值大小的比較，本題比較大小時(shí)用到了對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，比較大 小的題在方法上應(yīng)靈活選擇，依據(jù)具體情況選擇合適的方法.15-（2017百色一模）已知函數(shù)f嘰，4則不等式心小彎咲討g的解集為（）A.（丄，1） B. 1, 4 C.（丄，4） D. 1, +*lo1呂護(hù)-(. g I 4lo1呂護(hù)-(. g I 4宣-， 或T【分析】不等式r0log3K+lllog2x+2aogl4x-l)5，解出即可得出Io Sjx+ll【解答】解：不等式 log

24、2i_ (lo g j 4xl) f Clogx+lXBr0log3K+ll“ logrj+Clcig! 4k-1J=CS， 解得1WxW4,或寺Kcb B. bac C. abc D. cba_丄丄丄【分析】化簡(jiǎn)且二2三#，口嚴(yán)心）2=3 ?亍u今J皿冷JcMx） I；令，進(jìn)而得出.-丄丄-丄【解答】 解：二王亍，=2 二F，匚今 J ；訪門說x弓 JcmG I；令，而 0逅 ,3bc.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、微積分基本定理，考查了推理能 力與計(jì)算能力，屬于中檔題. （2016新課標(biāo)II）下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10igx的定義域和值域相同的是（）A. y=x B. y=lgx C. y=2x D.V K【分析】分別求出各個(gè)函數(shù)的定義域和值域，比較后可得答案.【解答】解：函數(shù)y=10igx的定義域和值域均為（0, +*）,函數(shù)y=x的定義域和值域均為R,不滿足要求；函數(shù)y