高中數(shù)學(xué)：第一章集合121課件

1、1.2集合之間的關(guān)系與運算1.2集合之間的關(guān)系與運算1.2.1集合之間的關(guān)系1.2.1集合之間的關(guān)系1.理解集合之間包含與相等的含義,能識別一些給定集合的子集.2.能使用維恩(Venn)圖表達(dá)集合之間的關(guān)系,尤其要注意空集這一特殊集合的意義.3.理解集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系,并能寫出有限集的子集、真子集與非空真子集.1.理解集合之間包含與相等的含義,能識別一些給定集合的子集.1231.集合之間的關(guān)系 1231.集合之間的關(guān)系 123123123123123名師點撥1.在子集的定義中,不能認(rèn)為當(dāng)集合A中的元素比B中的元素個數(shù)少時,A就是B的子集.只有當(dāng)A中的任何一個元素都是B中的元素時,才

2、能說A是B的子集,不能僅僅依據(jù)元素個數(shù)的多少判定兩集合的關(guān)系.2.當(dāng)A是B的子集,即AB時,不能認(rèn)為A是由B中的部分元素構(gòu)成的集合.因為當(dāng)A=時,有AB,但集合A中不含任何元素;又當(dāng)A=B時,也有AB,但此時集合A中含有B中的全部元素.3.當(dāng)集合A中存在不是集合B中的元素時,我們就說A不是B的子集,記作AB(或BA),讀作:“A不包含于B”(或“B不包含A”).4.AB包括AB和A=B兩種情況.其中AB,可形象地理解為B中元素至少比A中元素多一個;而A=B,可從A的元素與B的元素完全相同去理解.123名師點撥1.在子集的定義中,不能認(rèn)為當(dāng)集合A中的元素比123【做一做1-1】 有下列關(guān)系:10

3、,1,2;10,1,2;0,1,20,1,2;0,1,2=2,0,1.其中錯誤的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解析:正確;錯誤,應(yīng)為10,1,2;正確,也可以寫成0,1,2=0,1,2;正確.故選A.答案:A【做一做1-2】 已知集合A=1,2,3,B=3,x2,2,若A=B,則x的值是()A.1B.-1C.1D.0答案:C123【做一做1-1】 有下列關(guān)系:123【做一做1-3】 指出下列各對集合之間的關(guān)系:(1)A=-1,2,B=1,-2;(2)A=1,2,3,B=0,1,2,3;(3)A=x|x2=1,B=x|x|=1;(4)A=四邊形,B=矩形.解:(1)AB,BA;(2)AB;(

4、3)因為A=1,-1,B=1,-1,所以A=B;(4)四邊形不一定是矩形,但矩形一定是四邊形.因此BA.123【做一做1-3】 指出下列各對集合之間的關(guān)系:1232.維恩(Venn)圖我們常用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部來表示一個集合,用這種圖形可以形象地表示出集合之間的關(guān)系,這種圖形通常叫做維恩(Venn)圖.如果集合A是集合B的真子集,那么就把表示A的區(qū)域畫在表示B的區(qū)域的內(nèi)部(如圖所示).名師點撥1.Venn圖一定是封閉曲線,常畫成橢圓、圓或矩形;2.Venn圖中要把集合的元素寫在封閉曲線的內(nèi)部.1232.維恩(Venn)圖123【做一做2】 如圖所示,對于集合A,B,C,D的關(guān)系,描述正確

5、的是()A.BCB.DAC.ABD.AC答案:D123【做一做2】 如圖所示,對于集合A,B,C,D的關(guān)系,1233.集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系設(shè)A=x|p(x),B=x|q(x),則有 1233.集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系123【做一做3-1】 已知集合M=x|0 x2,N=x|-1x6,則M與N的關(guān)系是.解析:由于0 x2-1x6,但-1x6 0 x2,故MN.答案:MN【做一做3-2】 若集合A=x|x=2n,nZ,B=x|x=4n,nN,則A與B的關(guān)系是.解析:集合A是由2的倍數(shù)構(gòu)成的集合,集合B是由4的倍數(shù)構(gòu)成的集合,4的倍數(shù)一定是2的倍數(shù),但2的倍數(shù)不一定是4的倍數(shù),故BA

6、.答案:BA123【做一做3-1】 已知集合M=x|0 x2,N=一、“”與“”的區(qū)別與聯(lián)系剖析:符號“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系,也就是個體與總體的關(guān)系,是指單個對象與對象的全體的從屬關(guān)系;而符號“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系.從屬關(guān)系()一般只能用在元素與集合之間;包含關(guān)系(,)只能用在集合與集合之間.在使用以上符號的時候先要弄清楚是元素與集合的關(guān)系還是集合與集合之間的關(guān)系.例如,表示元素與集合之間的關(guān)系有:1N,-1N,11,00等,但不能寫成0=0或00;表示集合與集合之間的關(guān)系有:NR,1,2,31,2,3,1,2,31,2,3,4等;但需要注意的是與的寫法都是正確的,前者是從

7、兩個集合間的關(guān)系來考慮的,后者則把看成集合中的元素來考慮.一、“”與“”的區(qū)別與聯(lián)系二、探索集合的子集個數(shù)問題剖析:由子集的定義可知:若集合A是集合B的子集,則有AB,它包含以下兩個方面:(1)AB;(2)A=B.由以上知識,可以得到:若B=a,則其子集可以是,a,即集合中若有1個元素,則其子集個數(shù)為2;若B=a,b,則其子集可以是,a,b,a,b,即集合中若有2個元素,則其子集個數(shù)為4;若B=a,b,c,則其子集可以是,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,即集合中若有3個元素,則其子集的個數(shù)為8;二、探索集合的子集個數(shù)問題若B=a,b,c,d,則其子集可以是,a,b,c,d,a,

8、b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d,a,b,c,d,即集合中若有4個元素,則其子集的個數(shù)為16.綜上所述,集合中的元素個數(shù)每增加1,其子集的個數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍,其對應(yīng)關(guān)系為:元素個數(shù)子集數(shù)目12=212221=223222=234223=24由此可以猜測:若集合中有n個元素,則其子集的個數(shù)應(yīng)為2n,其非空子集的個數(shù)為(2n-1),其真子集的個數(shù)應(yīng)為(2n-1),其非空真子集的個數(shù)為(2n-2).若B=a,b,c,d,則其子集可以是,a,b,三、教材中的“思考與討論”已知集合A的特征性質(zhì)為p(x),集合B的特征性質(zhì)為q(x).“如果p(x)

9、,那么q(x)”是正確的命題,試問集合A和B的關(guān)系如何?并舉例說明.剖析:設(shè)A=x|p(x),B=x|q(x),若“如果p(x),那么q(x)”是正確的命題,則p(x)q(x),即xAxB,根據(jù)子集的定義有AB.舉例說明如下:A=x|x是6的約數(shù),B=x|x是12的約數(shù),即集合A的特征性質(zhì)p(x)是:x是6的約數(shù);集合B的特征性質(zhì)q(x)是:x是12的約數(shù).而6的約數(shù)是1,2,3,6;12的約數(shù)是1,2,3,4,6,12.由此可知,若“如果p(x),那么q(x)”是真命題,則“如果x是6的約數(shù),那么x是12的約數(shù)”,即xAxB,故AB.三、教材中的“思考與討論”題型一題型二題型三題型四題型五【

10、例1】 判斷以下給出的各對集合之間的關(guān)系:(1)A=1,3,5,6,7,B=5,7;(2)A=2,3,B=x|x2-5x+6=0;(3)A=x|x2-x=0,B=x|x2-x+1=0;(4)A=x|0 x1,B=x|0 x3;(5)A=x|x=2k,kZ,B=x|x=2k+2,kZ.分析:對于(1)(2),可直接根據(jù)兩集合的元素進(jìn)行判斷;對于(5),可分析集合中元素的特征性質(zhì)判斷兩集合的關(guān)系;對于(3),要注意空集的特殊性;對于(4),可借助數(shù)軸進(jìn)行判斷.題型一題型二題型三題型四題型五【例1】 判斷以下給出的各對集題型一題型二題型三題型四題型五解:(1)由于A=1,3,5,6,7,B=5,7,

11、由真子集的定義知,集合B是集合A的真子集,即BA.(2)由于B=x|x2-5x+6=0=2,3,而A=2,3,故集合A與集合B相等,即A=B.(3)由于A=x|x2-x=0=0,1,而集合B中的方程x2-x+1=0沒有實數(shù)解,即B=,故BA. (4)由數(shù)軸(如圖所示)可知AB.(5)當(dāng)kZ時,2k是偶數(shù),且能取到所有的偶數(shù);當(dāng)kZ時,2k+2也是偶數(shù),也能取到所有的偶數(shù),因此集合A和集合B都表示所有偶數(shù)的集合,即A=B.題型一題型二題型三題型四題型五解:(1)由于A=1,3,5題型一題型二題型三題型四題型五反思1.集合間的關(guān)系有包含、真包含、相等等.2.判斷兩個集合之間的關(guān)系的方法主要有:(1

12、)對于有限集合,特別是元素個數(shù)較少時,可將元素一一列舉出來進(jìn)行判斷;(2)對于無限集合,特別是用描述法表示的集合,應(yīng)從特征性質(zhì)入手進(jìn)行分析判斷,看其元素之間具備什么關(guān)系,從而得到集合間的關(guān)系;(3)當(dāng)集合是不等式的解集時,可借助數(shù)軸分析判斷集合間的關(guān)系.3.在判斷集合間的關(guān)系時,要注意空集表現(xiàn)形式的多樣性及其特殊性,即空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.題型一題型二題型三題型四題型五反思1.集合間的關(guān)系有包含、真題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】 判斷下列各對集合之間的關(guān)系:(1)M=x|x0,N=x|x0,xR.解:(1)結(jié)合數(shù)軸分析,可得MN,NM;(2)等腰直角三角形

13、一定是直角三角形,但直角三角形不一定是等腰直角三角形,故MN;(3)集合M和N中的元素都是a2+1的形式,但在集合M中,aZ;在集合N中,aR.因為ZR,所以MN;(4)顯然集合M是空集,而N是非空集合,故MN.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】 判斷下列各對集題型一題型二題型三題型四題型五【例2】 已知M=2,a,b,N=2a,2,b2,且M=N,求a,b的值.分析:M=N列方程組解方程組求a,b的值題型一題型二題型三題型四題型五【例2】 已知M=2,a,b題型一題型二題型三題型四題型五反思在考慮兩個集合相等時,應(yīng)注意到集合中元素的互異性.本題結(jié)果易出現(xiàn)含有 這種錯誤的情況,導(dǎo)致該

14、錯誤的原因是忽視了集合中元素的互異性.題型一題型二題型三題型四題型五反思在考慮兩個集合相等時,應(yīng)注題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練2】 設(shè)集合A=3,x2-6,B=x,y,且A=B,求x,y的值.解:因為A=B,所以x=3或y=3.當(dāng)x=3時,x2-6=3,集合A中元素3重復(fù)出現(xiàn),不滿足集合元素的互異性,故舍去;當(dāng)y=3時,應(yīng)有x2-6=x,解得x=-2(x=3舍去),此時A=3,-2,B=-2,3,滿足條件.綜上可知,x=-2,y=3.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練2】 設(shè)集合A=3題型一題型二題型三題型四題型五【例3】 已知集合A=m|m使方程mx2-2x+1=0有唯一實

15、數(shù)解,試寫出集合A的所有子集,并指出哪些是A的真子集.分析:先求出當(dāng)方程mx2-2x+1=0有唯一實數(shù)解時m的值,從而確定集合A的元素,然后根據(jù)子集、真子集的定義寫出子集,并判斷哪些是真子集.題型一題型二題型三題型四題型五【例3】 已知集合A=m|m題型一題型二題型三題型四題型五解:當(dāng)m=0時,方程化為-2x+1=0,解得當(dāng)m0時,要使方程有唯一實數(shù)解,應(yīng)滿足=4-4m=0,解得m=1,所以A=0,1.由0個元素構(gòu)成的子集為:;由1個元素構(gòu)成的子集為:0,1;由2個元素構(gòu)成的子集為:0,1.故集合A的子集共有4個:,0,1,1,2.其中,除集合0,1外,其余的子集全是A的真子集.反思在寫出一個

16、有限集合的子集(真子集)時,首先要確定該集合的全部元素,然后按照子集中所含元素的個數(shù)分類,分別寫出符合要求的子集(真子集).在寫子集時,不能忘記空集和集合本身. 題型一題型二題型三題型四題型五解:當(dāng)m=0時,方程化為-2x題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練3】 滿足條件a,bMa,b,1,2,3的集合M的個數(shù)是()A.3B.4C.7D.8解析:由題意知,集合M中必須含有元素a,b,且至少含有元素1,2,3中的一個,因此集合M的個數(shù)實質(zhì)就是集合1,2,3的真子集的個數(shù),一共有23-1=7個.答案:C題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練3】 滿足條件a,題型一題型二題型三題型四題型五【例

17、4】 設(shè)集合A=-1,1,集合B=x|x2-2ax+b=0,若B,BA,求a,b的值.分析:由B,BA,可見B是A的非空子集.而A的非空子集有-1,1,-1,1,故B要分三種情形討論.題型一題型二題型三題型四題型五【例4】 設(shè)集合A=-1,1題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五反思利用分類討論的思想,考慮集合B的所有可能的情況,這是處理集合與其子集之間關(guān)系的常用方法.另外,此題也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.此題容易出現(xiàn)的錯誤是沒有注意題中的已知條件而考慮B=的情形.題型一題型二題型三題型四題型五反思利用分類討論的思想,考慮集題型一題型二題型

18、三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】 已知集合A=x|2x5.(1)若B=x|xm,且AB,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)結(jié)合數(shù)軸可知,要使AB,應(yīng)有m5;(2)結(jié)合數(shù)軸分析,要使AB,應(yīng)有m2.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】 已知集合A=題型一題型二題型三題型四題型五易錯點:忽視空集致錯【例5】 集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,求實數(shù)m滿足的條件.錯解:由題意并結(jié)合數(shù)軸(如圖所示),故實數(shù)m滿足的條件是2m3.錯因分析:忽略了B=時的情形.題型一題型二題型三題型四題型五易錯點:忽視空集致錯題型一題型二題型三題型四題型五正解:(1)當(dāng)B=時,A,符合題意,此時m+

19、12m-1,解得m2.(2)當(dāng)B時,由題意并結(jié)合數(shù)軸(如圖所示),綜合(1)(2)可知,實數(shù)m滿足的條件是m3.反思空集是一種特殊的集合,也是集合運算中最活躍的一個集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.當(dāng)BA時,B可能為,不要忽視這一種可能,在條件不明確時,要注意分類討論.題型一題型二題型三題型四題型五正解:(1)當(dāng)B=時,A題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練5】 已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|mx-1=0,若QP,則實數(shù)m的值為.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練5】 已知集合P=1 2 3 4 51若集合A=xN+|-2 016x2 017,B=xZ|0 x2 016,則集合A,B之間的關(guān)系為()A.A=BB.ABC.BAD.AB解析:由已知得A