1991全國高考理科數(shù)學(xué)試題

1、(理工農(nóng)醫(yī)類)考生注意：這份試卷共三道大題(26個(gè)小題)滿分120分一、選擇題：本大題共15小題；每題3分，共45分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是吻合題目要求的把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號內(nèi)(1)已知sin=4，并且是第二象限的角，那么tg的值等于()5(A)43(C)343(B)4(D)43(2)焦點(diǎn)在(1，0)，極點(diǎn)在(1，0)的拋物線方程是()(A)y2=8(x+1)(B)y2=8(x+1)(C)y2=8(x1)(D)y2=8(x1)(3)函數(shù)y=cos4xsin4x的最小正周期是()(A)2(B)(C)2(D)4若是把兩條異面直線看作“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面

2、直線共有()(A)12對(B)24對(C)36對(D)48對(5)函數(shù)y=sin(2x+5)的圖像的一條對稱軸的方程是()2(A)x=(B)x=24(C)x(D)x548若是三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，且極點(diǎn)S在底面的射影O在ABC內(nèi)，那么O是ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)內(nèi)心(7)已知an是等比數(shù)列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(8)若是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為=16，那么它的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為()53cos(A)（0，0），（6，）(B)(3，0)，(3，0

3、)(C)（0，0），（3，0）(D)(0，0)，(6，0)(9)從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中最少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺，則不同樣的取法共有()(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種(10)若是AC0且BC0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題若是甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么()丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件丙是甲的充要條件丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件(12)limn(1111)(11的值等于()(1)

4、(1)n345n2(A)0(B)1(C)2(D)3(13)若是奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，7上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間7，3上是()(A)增函數(shù)且最小值為5(B)增函數(shù)且最大值為5(C)減函數(shù)且最小值為5(D)減函數(shù)且最大值為5(14)圓x2+2x+y2+4y3=0上到直線x+y+1=0的距離為2的點(diǎn)共有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)(15)設(shè)全集為R，f(x)=sinx，g(x)=cosx，M=x|f(x)0，N=x|g(x)0，那么會集x|f(x)g(x)=0等于()(A)MN(B)MN(C)MN(D)MN二、填空題：本大題共5小題；每題3分，共15分把答案填在題

5、中橫線上(16)arctg1+arctg1的值是_322不等式6xx21，那么a=在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，若是PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PAPBPCa那么這個(gè)球面的面積是三、解答題：本大題共6小題；共60分(本小題滿分8分)求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出使函數(shù)y取最小值的x的會集(本小題滿分8分)已知復(fù)數(shù)z=1i,求復(fù)數(shù)z23z6的模和輻角的主值z1(本小題滿分10分)已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求點(diǎn)B到平面EFG的距離(本小題滿分10分)依照函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)

6、f(x)=x3+1在(，+)上是減函數(shù)(本小題滿分12分)已知n為自然數(shù)，實(shí)數(shù)a1，解關(guān)于x的不等式logaxlog2x12loga3xn(n2)n1loganx1(2)nloga(x2a)a3(26)(本小題滿分12分)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為3的直線交雙5曲線于P、Q兩點(diǎn)若OPOQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程1991年一般高等學(xué)校招生全國一致考試數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參照解答及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答指出了每題所要觀察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種較為常有的解法，若是考生的解法與本解答不同樣，可依照試題的主要觀察內(nèi)容參照評分標(biāo)準(zhǔn)擬定相應(yīng)評分細(xì)則

7、二、每題都要評閱終究，不要由于考生的解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對該題的評閱當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分時(shí)，若是該步今后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響的程度決定后邊部分的給分，但不得超過后邊部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；若是這一步今后的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不給分三、為了閱卷方便，本試題解答中的推導(dǎo)步驟寫得較為詳細(xì)，贊同考生在解題過程中合理省略非要點(diǎn)性的推導(dǎo)步驟四、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)五、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)一、選擇題本題觀察基本知識和基本運(yùn)算每題3分，滿分45分(1)A(2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A(8)D(9)C(10)C(11)A(1

8、2)C(13)B(14)C(15)D二、填空題本題觀察基本知識和基本運(yùn)算每題(16)(17)14x|2x1(18)43三、解答題3分，滿分15分(19)1+10(20)3a25(21)本小題觀察三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)滿分8分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)2sinxcosx+2cos2x1分=1sin2x(1cos2x)3分=2sin2x+cos2x=2+2sin(2x+)5分4當(dāng)sin(2x+)=1時(shí)y獲取最小值226分4使y取最小值的x的會集為x|x=k3，kZ8分8(22)本小題觀察復(fù)數(shù)基本看法和運(yùn)算能力滿分8分解：z23z6=

9、(1i)23(1i)6z11i13i2分=i2=1i4分1i的模r=12(1)2=2由于1i對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限且輻角的正切tg=1，所以輻角的主值=78分4本小題觀察直線與直線，直線與平面，平面與平面的地址關(guān)系，以及邏輯推理和空間想象能力滿分10分解：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O由于ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EFBD，H為AO的中點(diǎn)BD不在平面EFG上否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點(diǎn)G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾由直線和平面平行的判判定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離4分BDAC

10、，EFHCGC平面ABCD，EFGC，EF平面HCG平面EFG平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線6分作OKHG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離8分正方形ABCD的邊長為4，GC=2，AC=42，HO=2，HC=32在RtHCG中，HG=3222222由于RtHKO和RtHCG有一個(gè)銳角是公共的，故RtHKOHCGOK=HOGC22211HG2211即點(diǎn)B到平面EFG的距離為21110分11注：未證明“不在平面上”不扣分BDEFG(24)本小題觀察函數(shù)單調(diào)性的看法，不等式的證明，以及邏輯推理能力滿分10分證法一：在(，+)上任取

11、x1，x2且121分xx則f(x2)f(x1)=x13x23=(x1x2)(x12x1x2x22)3分x1x2，x1x204分當(dāng)x1x20；6分當(dāng)x1x20時(shí)，有x12x1x2x220；f(x)f(x)=(2x1x2221128分即f(x2)f(x1)所以，函數(shù)f(x)=x3+1在(，+)上是減函數(shù)10分證法二：在(，+)上任取x1，x2，且x1x2，1分則f(x2)f(x1)=x13x23=(x1x2)(x12x1x2x22)3分12，xx1204分xx0又x12x221(x12x22)|x1x2|x1x22x12x1x2x220，f(x)f(x)=(xx)2112(x12x1x2x22)0

12、8分即f(x2)1(2)nloga(x2a)33當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1(2)n0，不等式等價(jià)于3logaa2xlog(xa)由于a1，式等價(jià)于x0 x2a0 xx2a0ax2xa0 xa114a114a2x2由于114a4a=a，222所以，不等式的解集為x|ax114a2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1(2)nloga(x2a)由于a1，式等價(jià)于x0 x2a0 xx2a0ax2xa0 xaxa114a或114a10分xx22由于114a114a4aa，12分20，22所以，不等式的解集為x|x114a2綜合得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原不等式的解集是x|a114ax2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原不等式的解集是x|x114a2本小題觀

13、察雙曲線性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識，以及綜合解析能力滿分12分解法一：設(shè)雙曲線的方程為x2y2a2b2=1依題意知，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足方程組x2y21a2b2y3xc其中ca2b25將式代入式，整理得(5b23a2)x2+6a2cx(3a2c2+5a2b2)=03分設(shè)方程的兩個(gè)根為x，x，若22b3，即直線與雙曲線的兩條125漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn)同，與題設(shè)矛盾，所以依照根與系數(shù)的關(guān)系，有x1x26a2c23a25bx1x23a2c25a2b25b23a2由于P、Q在直線y=3(xc)上，可記為5P(x1，3(x1c)，Q(x2，3(x2c

14、)553(x1c)3(x2c)由OPOQ得55=1，x1x2整理得3c(x1+x2)8x1x23c2=0將，式及c2=a2+b2代入式，并整理得3a4+8a2b23b4=0，(a2+3b2)(3a2b2)=0由于a2+3b20，解得b2=3a2，所以c=22ab=2a由|PQ|=4，得(x23c)3c)22212155整理得(x1+x2)24x1x210=0將，式及b2=3a2，c=2a代入式，解得a2=1將a2=1代入b2=3a2得b2=3故所求雙曲線方程為x2y2=13解法二：式以上同解法一5b23a206分8分10分12分4分解方程得x1=3a2c40ab2，x2=3a2c40ab26分5b23a25b23a2由于P、Q在直線y=3(xc)上，可記為P(x1，3(x1c)，Q(x2，3(x2c)5