競賽講座19排列組合、二項式定理

1、競賽講座 19排列、組合、二項式定理基礎(chǔ)知識1排列組合題的求解策略1）排除：對有限條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這是解決排列組合題的常用策略2）分類與分步有些問題的處理可分成若干類，用加法原理，要注意每兩類的交集為空集，所有各類的并集是全集；有些問題的處理分成幾個步驟，把各個步驟的方法數(shù)相乘，即得總的方法數(shù)，這是乘法原理3）對稱思想：兩類情形出現(xiàn)的機會均等，可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù)4）插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時可采用插空法即先安排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間5）捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“

2、大元素” ，然后與其它“普通元素”全排列，然后再“松綁” ，將這些特殊元素在這些位置上全排列6）隔板模型：對于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數(shù)，常用隔板模型如將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個縫隙中任意插入 3 塊隔板，把球分成4 堆，分別裝入4 個不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為C113 ，這也就是方程a b cd12 的正整數(shù)解的個數(shù)2圓排列1）由 A a1 , a2 , a3 , , an 的 n 個元素中，每次取出 r 個元素排在一個圓環(huán)上，叫做一個圓排列（或叫環(huán)狀排列） 2）圓排列有三個特點： （ i ）無頭無尾；（ ii ）按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列；iii

3、 ）兩個圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列（ 3）定理：在A a1 ,a2 ,a3 , an 的 n 個元素中，每次取出r 個不同的元素進行r圓排列，圓排列數(shù)為Pn r3可重排列允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列在 m 個不同的元素中，每次取出 n 個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序那么第一、第二、 , 、第 n 位是的選取元素的方法都是 m 種，所以從 m 個不同的元素中，每次取出 n 個元素的可重復(fù)的排列數(shù)為mn 4不盡相異元素的全排列如果 n 個元素中，有p1 個元素相同，又有p2 個元素相同， , ，又有 ps 個元素相同（ p1

4、p2psn ），這 n 個元素全部取的排列叫做不盡相異的n 個元素的全排n!列，它的排列數(shù)是p1 ! p2 !ps!5可重組合（ 1）從 n 個元素， 每次取出p 個元素， 允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn)1,2, p 次的組合叫從 n 個元素取出p 個有重復(fù)的組合（ 2）定理：從 n 個元素每次取出p 個元素有重復(fù)的組合數(shù)為：H npCnr( p 1) 6二項式定理b) nnCnk a n k bk（ n N *（ 1）二項式定理 (a）k0（ 2）二項開展式共有n 1項（ 3） Tr 1Cnr a n r br（ 0rn ）叫做二項開展式的通項，這是開展式的第r 1項（ 4）二項開展式中首末兩端等距

5、離的兩項的二項式系數(shù)相等n（ 5）如果二項式的冪指數(shù)n 是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)Cn2最大；如果 n 是n 1n1奇數(shù)，則中間兩項的二項式系數(shù)Cn2與 Cn2最大（ 6）二項式開展式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項系數(shù)之和，即Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn57數(shù)學(xué)競賽中涉及二項式定理的題型及解決問題的方法二項式定理，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多年來在高考中未能充分展示應(yīng)有的知識地位，而數(shù)學(xué)競賽的命題者卻對其情有獨鐘1）利用二項式定理判斷整除問題：往往需要構(gòu)造對偶式；2）處理整除性問題：構(gòu)造對偶式或利用與遞推式的結(jié)合；3）求證不等式：通過二項式展開，取展開式中的若干項進行放縮；4）綜合其他知識解

6、決某些綜合問題：有些較復(fù)雜的問題看似與二項式定理無關(guān)，其實通過觀察、分析題目的特征，聯(lián)想構(gòu)造合適的二項式模型，便可使問題迅速解決例題分析例 1數(shù) 1447,1005,1231 有某些共同點， 即每個數(shù)都是首位為 1 的四位數(shù)， 且每個四位數(shù)中恰有兩個數(shù)字相同，這樣的四位數(shù)共有多少個？例 2有多少個能被 3 整除而又含有數(shù)字 6 的五位數(shù)？例 3有 2n 個人參加收發(fā)電報培訓(xùn)，每兩人結(jié)為一對互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對方式？例 4將 n 1個不同的小球放入 n 個不同的盒子中，要使每個盒子都不空，共有多少種放法？例 5在正方體的8 個頂點， 12 條棱的中點， 6 個面的中心及正方體的中心共點中

7、，共線的三點組的個數(shù)是多少個？例 6用 8 個數(shù)字 1,1， 7,7，8,8， 9,9 可以組成不同的四位數(shù)有多少個？27 個例 7用A,B,C, D,E五種顏色給正方體的各個面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有多少種不同的涂色方式？例 8某種產(chǎn)品有4 只次品和 6 只正品（每只產(chǎn)品可區(qū)分），每次取一只測試，直到只次品全部測出為止求最后一只次品在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？例 9在平面上給出 5 個點，連結(jié)這些點的直線互不平行，互不重合，也互不垂直，過每點向其余四點的連線作垂線，求這此垂線的交點最多能有多少個？例 10。.8 位政治家舉行圓桌會議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其

8、入坐方法有多少種？例 11某城市有 6 條南北走向的街道， 5 條東西走向的街道如果有人從城南北角（圖 A 點）走到東南角中 B 點最短的走法有多少種？例 12用 4個 1 號球， 3個 2 號球， 2個 3 號球搖出一個9 位的獎號，共有多少種可能的號碼？例 13將 r 個相同的小球，放入n 個不同的盒子（ rn ）（ 1）有多少種不同的放法？（ 2）如果不允許空盒應(yīng)有多少種不同的放法？例 14 8 個女孩和 25個男孩圍成一圈，任意兩個女孩之間至少站著兩個男孩（只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就重合的排列認(rèn)為是相同的）例 15設(shè) n1990 ，求 1 (13C n2 32C n433 C n6394C n

9、198395 C n901) 的2n值例 16當(dāng) nN*時， (37 ) 的整數(shù)部分是奇數(shù)還是偶數(shù)？證明你的結(jié)論例 17已知數(shù)列 a0 , a1 ,a2 ,a3 ,（ a00 ）滿足： ai1ai 12ai (i1,2,3,)求證：對于任意正整數(shù)n ，p(x) a0 Cn0 (1x) na1Cn1 x(1x) n 1an 1Cnn 1 x n1 (1x) an Cnn x n 是一次多項式或零次多項式例 18若 (52) 2 r 1ma （ r , mN *,0 a 1 ），求證： a(ma) 1例 19設(shè) x (15220 )19(15220)82 的整數(shù)部分，求x 的個數(shù)數(shù)字例 20已知

10、(12)100a2b（ a, bN ）求 ab 的個位數(shù)字例 21試證大于 (13)2 n 的最小整數(shù)能被2n 1 整除（ nN ）例 22求證：對任意的正整數(shù)n ，不等式 (2n 1) n( 2n) n(2n1) n 例 23設(shè) a, bR ，且11求證對于每個 nN ，都有a1b(a b)na nbn22 n2 n 1訓(xùn)練題1 8 次射擊，命中3 次，其中愉有2 次連續(xù)命中的情形共有（）種（A）15（B）30（ C）48（D）602在某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3 名選手各比賽了 2 場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行了50 場。那么，在上述 3 名選手之間比賽

11、的場數(shù)是（）（A）0（ B）1（C）2（D）33若 (1xx2 )1000 的展開式為 a0 a1 xa2 x 2a2000 x 2000 ，則a0 a3a6a9a1998 的值為（A）3333（B） 3666（C） 3999（ D ） 320014某人從樓下到樓上要走11 級樓梯，每步可走1級或 2級，不同的走法有（）種（ A ）144（ B） 121（ C）64（D）815從 7 名男乒乓球隊員，5 名女乒乓球隊員中選出4 名進行男女混合雙打，不同的分組方法有（）種（ A ） 2C72C52（ B） 4C72C52（ C） P72 P52（ D ） C72C526有 5 分、 1 角、 5

12、 角的人民幣各2 枚、3 張、9張，可組成的不同幣值（非0）有（）種（A）79（B）80（ C）88（D）897從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這 10個數(shù)中取出 3 個數(shù)，使其和為不小于10 的偶數(shù)，不同的取法有 _種8 把(76)6寫成N1N 的形式，為 N 自然數(shù)，則 N 9已知直線 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合 3,2, 1,0,1,2,3 中的 3 個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是_10設(shè) ABCDEF 為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A 處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一若在 5 次之內(nèi)跳到 D 點，則停止跳動；若5

13、次之內(nèi)不能到達 D 點，則跳完5 次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種11如果：（1）a,b,c,d 都屬于 1,2,3,4 ；（ 2）ab,b c,c d,da； (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值，那么，可以組成的不同的四位數(shù)abcd 的個數(shù)是 _12在一個正六邊形的六個區(qū)域種植觀賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4 種不同的植物可供選擇，則有種載種方案13 10 人圍圓桌而，如果甲、乙二人中間相隔4 人，有種坐法14 19912000 除以 106 的余數(shù)是15設(shè) (5 2 7)2 n1 的展開中，用I 記它的整數(shù)部分， F記它的小數(shù)部分求證：( IF )F 是一定值16從1,2,3,19 中，按從小到大的順序選取 a1 ,a2 , a3 , a4 四個數(shù)，使得 a2 a12