課時考點函數(shù)與導數(shù)的綜合應用

1、文檔編碼 : CL5X6A7D1T6 HE5A3O7G1O6 ZB4E4M3N5C3課時考點 3 函數(shù)與導數(shù)的綜合應用高考考綱透析：利用導數(shù)爭辯函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的最大值和最小值；高考風向標：函數(shù)與方程、 不等式學問相結(jié)合是高考熱點與難點；利用分類爭辯的思想方法論證或判定函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的極值、最值,函數(shù)與導數(shù)的綜合題必是高考題中六個解答題之一；熱點題型 1：導函數(shù)與恒不等式已知向量ax2,x1 ,b1x,t,如函數(shù)fx ab在區(qū)間（ 1, 1）上是增函數(shù),求 t 的取值范疇 . 解法 1：依定義 f x x 2 1 x t x 1 x 3x 2tx t ,2就 f x 3 x 2 x

2、 t .如 f x 在 1,1 上是增函數(shù) , 就在 1,1 上可設 f x 0 .2 2f x 0 t 3 x 2 x , 在區(qū)間 1,1 上恒成立 , 考慮函數(shù) g x 3 x 2 x ,1 2由于 g x 的圖象是對稱軸為 x , 開口向上的拋物線,故要使 t 3 x 2 x 在區(qū)間3（ 1, 1）上恒成立 t g 1 , 即 t 5 .而當 t 5 時 , f x 在 1,1 上中意 f x 0 , 即 f x 在 1,1 上是增函數(shù) .故 t的取值范疇是 t 5 . 解法 2：依定義 f x x 2 1 x t x 1 x 3x 2tx t ,2f x 3 x 2 x t .如 f

3、x 在 1,1 上是增函數(shù) , 就在 1,1 上可設 f x 0 .f x 的圖象是開口向下的拋物線,當且僅當 f 1 t 1 0 , 且 f 1 t 5 0 時f x 在 1 1, 上中意 f x 0 , 即 f x 在 1,1 上是增函數(shù) .故 t 的取值范疇是 t 5 .變式新題型 1：已知函數(shù) f x x 3ax 1,（1）如 f x 在實數(shù) R 上單調(diào)遞增,求 a 的取值范疇；（2）是否存在這樣的實數(shù) a ,使 f x 在 1 1, 上單調(diào)遞減,如存在,求出 a 的取值范疇；如不存在,請說明理由；解題分析： 此題應留意檢驗,第一小題需驗證a0是否符合,其次小題需驗證a3是否符合？熱點

4、題型 2：導函數(shù)的極值與分類爭辯理科 已知aR,爭辯函數(shù)fxexx2axa1 的極值點的個數(shù). 解:fxex2xa0 .exx2axa1 exx2a2x2a1 ,令fx 1 0 得x2a2x2 a（1）當 a 2 2 4 2 a 1 a 2 4 a a a 4 0 .2即 a 0 或 a 4 時 , 方程 x a 2 x 2 a 1 0有兩個不同的實根 x 1 , x 2 , 不妨設 x 1 x 2 ,于是 f x e x x x 1 x x 2 , 從而有下表 :x , 1x x1 x 1x 2 x 2 2x , f x + 0 0 + f x f 1x 為極大值 f x 2 為微小值即此時

5、 f x 有兩個極值點 . （2）當 0 即 a 0 或 a 4 時 , 方程 x 2 a 2 x 2 a 1 0 有兩個相同的實根x 1 x 2于是 f x e x x x 1 2故當 x x 1 時 , f x ;0 當 x x 2 時 , f x ,0 因此 f x 無極值 . （3）當 0 , 即 0 a 4 時 , x 2 a 2 x 2 a 1 ,0f x e x x 2 a 2 x 2 a 1 0 , 故 f x 為增函數(shù), 此時 f x 無極值 . 因此當a 4 或 a 0 時 , f x 有 2 個極值點 , 當 0 a 4 時 , f x 無極值點 . （文科） 設函數(shù) f

6、 x 2 x 3 3 a 1 x 2 6 ax 8 , 其中 a R. （1）如 f x 在 x 3 處取得極值,求常數(shù) a 的值；（2）如 f x 在 0, 上為增函數(shù),求 a 的取值范疇 . 解：（）f x 6 x 2 6 a 1 x 6 a 6 x a x 1 .因 f x 在 x 3 取得極值,所以 f 3 6 3 a 3 1 0 . 解得 a 3 .經(jīng)檢驗知當 a 3 時 , x 3 為 f x 為極值點 . （）令 f x 6 x a x 1 0 得 x 1 a , x 2 1 .當 a 1 時 , 如 x , a ,1 , 就 f x 0 , 所以 f x 在 , a 和 ,1

7、上為增函數(shù),故當 0 a 1 時 , f x 在 0, 上為增函數(shù) . 當 a 1 時 , 如 x 1, a , , 就 f x ,0 所以 f x 在 1, 和 a , 上為增函數(shù),從而 f x 在 , 0 上也為增函數(shù) . 綜上所述,當 a ,0 時 , f x 在 , 0 上為增函數(shù)變式新題型 2：3 3 2已知函數(shù) f x x 3 bx 2 c,如函數(shù) f x 的一個極值點落在 x 軸上,求 b c 的值；f x 1 0解題分析： 此題有三個未知量,極值點的橫坐標 x 1 , b , c,但只有兩個方程 /,因f x 1 0此解出 x 1 , b , c 是不行能的；只能從兩方程中查找

8、出 x 1 , b , c 的合理關系來解決問題；熱點題型 3：導函數(shù)與轉(zhuǎn)化的思想方法（理科） 已知函數(shù) fxlnx ,gx1 ax 2bx,a 0；2a 的取值范疇；（）如 b2,且 hxfx gx存在單調(diào)遞減區(qū)間,求（）設函數(shù) fx 的圖象 C1 與函數(shù) gx圖象 C2 交于點 P、Q,過線段 PQ 的中點作 x 軸的垂線分別交 C1,C2于點 M、N,證明 C1 在點 M 處的切線與 C2在點 N 處的切線不平行；解：（I）b 2 時 , h x ln x 1 ax 2 2 x,22就 h x 1ax 2 ax 2 x 1 .x x由于函數(shù) hx存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以 h x 0 時,就

9、 ax2+2x10 有 x0 的解 . 當 a0 時, y=ax2+2x1 為開口向上的拋物線,ax2+2x 10 總有 x0 的解；當 a0 總有 x0 的解；就 =4+4a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根 .此時, 1a0. 綜上所述, a 的取值范疇為（1,0）（ 0,+）（II ）證法一 設點 P、Q 的坐標分別是（x1, y1）,（x2, y2）,0 x1x2. 就點 M 、N 的橫坐標為 x x 1 x 2 ,21 2C1 在點 M 處的切線斜率為 k 1x |xx 12 x 2x 1 x 2 ,C2 在點 N 處的切線斜率為 k 2 ax b |xx 12 x 2 a

10、 x 12 x 2 b .假設 C1在點 M 處的切線與 C2 在點 N 處的切線平行,就 k1=k 2. 即 2 a x 1 x 2 b,就x 1 x 2 22 x 2 x 1 a x 2 2x 1 2 b x 2 x 1 a x 2 2bx 2 ax 1 2bx 1 x 1 x 2 2 2 2= y 2 y 1 ln x 2 ln x 1 .2 x 21 所以 ln x 2 x 1. 設 t x 2, 就 ln t 2 t 1 , t 1 . x 1 1 x 2 x 1 1 tx 12令 r t ln t 2 t 1 , t 1 . 就 r t 1 42 t 12 .1 t t t 1 t

11、 t 1由于 t 1 時,r t 0,所以 r t 在 1 ,）上單調(diào)遞增 . 故 r t r 1 0 .就 ln t 2 t 1. 這與沖突,假設不成立1 t故 C1 在點 M 處的切線與 C2 在點 N 處的切線不平行證法二：同證法一得 x 2 x 1 ln x 2 ln x 1 2 x 2 x 1 .由于 1x 0,所以 x 21 ln x 22 x 21 .x 1 x 1 x 1x 2令 t,得 t 1 ln t 2 t 1 , t 1 . x 11令 r t t 1 ln t 2 t 1 , t ,1 就 r t ln t 1 .t由于lnt111tt21,所以t1 時,lnt10.

12、0.ttt2t故lnt1 在1,+t 在1,+ 上單調(diào)遞增 .從而 上單調(diào)遞增lnt110,即rtt于是rt故rtr1 0 .即t1 lnt2t1 .這與沖突,假設不成立故 C1 在點 M 處的切線與C2 在點 N 處的切線不平行變式新題型3：（文、理合用）時,fx有微小值, 當x13時,fx曲線yfxax3bx2cx,當x13有極大值, 且在 x 1 處切線的斜率為 3 ；（ 1）求2的圖象關于點 P 中心對稱？如存在,請求出點fx ；（2）是否存在一點P,使得yfxP 坐標,并給出證明；如不存在,請說明理由；解題分析： 第一小題三個條件三個未知量,解方程就行；其次小題：曲線關于點對稱可接受

13、解析幾何中求軌跡方程的一種方法坐標代入法（相關點法）,求出對稱曲線方程,比較對應項系數(shù)相等求得點坐標；函數(shù)圖象關于點 P x 0y 0 中心對稱,也可接受結(jié)論f x 0 x f x 0 x 2 y 0 對任意 x 恒成立,比較對應項系數(shù)相等求得點坐標；備選題：已知拋物線C1: y = x 2 + 2x 和 C2 : y = x2 + a假如直線l 同時是 C1 和 C2 的切線,稱 l 是 C1和 C2 的公切線,公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段（） a 取什么值時, C1 和 C2 有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；（）如 C1 和 C2 有兩條公切線,證明相應的兩條公切線段相互

14、平分2 xx 1,（）解：函數(shù)y = x2 + 2x 的導數(shù) y = 2x + 2,曲線 C1 在點 P（x1,2 x 12x 1）的切線方程是yx22x 12x 11即y 2x 12x2 x 1函數(shù) y = x2 + a 的導數(shù) y = 2x,2 2曲線 C2 在點 Q（x 2,x 2 a）的切線方程是 y x 2 a 2 x 2 x x 2 ,2即 y 2 x 2 x x 2 a假如直線 l 是過 P 和 Q 的公切線,就式和式都是 l 的方程x 1 1 x 2所以 2 2x 1 x 2 a .2消去 x2得方程 2 x 1 2 x 1 1 a 0如判別式= 4 4 2（ 1 + a）= 0,即 a = 1 時解得 x1 = 1 ,此時點 P 與 Q 重合2 2即當 a = 1 時 C1 和 C2 有且僅有一條公切線,由得公切線方程為 y = x 1