同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》課程教案整理匯編-第11章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)目的：1理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。4掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。5了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。6了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。9了解函數(shù)展開(kāi)為

2、泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。10-掌握ex，sinx，cosx,ln(l+x)和(1+a)a的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。11.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在-l，l上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在0，1上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。教學(xué)重點(diǎn)：1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；4、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；5、ex，sinx，cosx,ln(l+x)和(1+a)的麥克勞林展開(kāi)式；6、傅里葉級(jí)數(shù)。教學(xué)難

3、點(diǎn)：1、比較判別法的極限形式；2、萊布尼茨判別法；3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂；4、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)；5、泰勒級(jí)數(shù)；6、傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：給定一個(gè)數(shù)列%匹J，Un，,則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式U+u2+u3+un+叫做常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，記為為u,即nn=1乙u=u+u+u+u+n123nn=1其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).級(jí)數(shù)的部分和：作級(jí)數(shù)為un的前n項(xiàng)和n=1ns二乙u=u+u+u+卜uni123ni=1稱(chēng)為級(jí)數(shù)為u的部分和.nn=1級(jí)數(shù)斂散性定義：如果級(jí)數(shù)Sun的部分和數(shù)列s有極限s,即

4、limsn=s,n=n”乞n則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)un收斂，這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和,n=1并寫(xiě)成S=n=U1+u2+u3+un+；n=1如果sn沒(méi)有極限，則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)為U發(fā)散n=1余項(xiàng)：當(dāng)級(jí)數(shù)為u”收斂時(shí)，其部分和Sn是級(jí)數(shù)Tun的和S的近似值，它們之間的差值n=ln=lrn=S-Sn=Un+1+Un+2+-叫做級(jí)數(shù)為U的余項(xiàng).nn=1例1討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）乙aqn二a+aq+aq2h卜aqn+n=0的斂散性，其中aO,q叫做級(jí)數(shù)的公比.例1討論等比級(jí)數(shù)taqn鳥(niǎo)0）的斂散性.n=0解如果q1,則部分和a-aqns=a+aq+aq2hhaqn-1=a1qaqn1q.a1qaqn1q.當(dāng)|q|1時(shí)

5、，因?yàn)閘imsnmga1q所以此時(shí)級(jí)數(shù)龍aqn收斂，其和為n=0a1q.當(dāng)皿1時(shí)，因?yàn)閘ims”=g，所以此時(shí)級(jí)數(shù)為aqn發(fā)散.nTgnn=0如果|q|=1，則當(dāng)q=1時(shí),sn=nag，因此級(jí)數(shù)taqn發(fā)散;n=0當(dāng)q=-1時(shí)，級(jí)數(shù)faqn成為n=0aa+aa+.，時(shí)|q|=1時(shí)，因?yàn)閟n隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零,所以sn的極限不存在，從而這時(shí)級(jí)數(shù)faqn也發(fā)散.n=0綜上所述，如果|q|1,則級(jí)數(shù)faqn收斂，其和為；如果|q|n1,則級(jí)數(shù)faqn發(fā)散.n=0n=0僅當(dāng)|q|1時(shí)，幾何級(jí)數(shù)faqnaO）收斂，其和為名.n=0例2證明級(jí)數(shù)1+2+3+.+n+.是發(fā)散的.證此級(jí)數(shù)的部分和為

6、s=1+2+3+n=n(n+1)n2顯然，limsjg,因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的.mg例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)+-1-+-1-+1.22334n(n+1)的收斂性.解由于1U_nn（n+1）nn+1因此因此s_丄+丄+丄+s_丄+丄+丄+L_n12233-4n（n+1）_（12）+（21）+（丄-+）_1223nn+11n+1從而從而lims_lim（l-_1,n*nn*n+1所以這級(jí)數(shù)收斂，它的和是1.例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)藝爲(wèi)的收斂性.n_1解因?yàn)閟_丄+丄+丄+L_n12233-4n（n+1）_（12）+（2-1）+（丄4r）_1223nn+1從而lims_lim（l-_1,n*nn*n+1所以這級(jí)數(shù)收斂

7、，它的和是1.提示：Un_扁+l）nn+r二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)龍un收斂于和S,則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)為kun也收斂,TOC o 1-5 h zn=1n=1且其和為ks.性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)為un收斂于和s,則級(jí)數(shù)為kun也收斂，且其和為ks.n=1n=1性質(zhì)1如果Xu=s,則為ku=ks.nnn=1n=1這是因?yàn)椋O(shè)為un與為kun的部分和分別為Sn與S，則n=1n=1limb=lim(ku+kuHku)=klim(u+uHu)=klims=ks12n12nnnsnsmgmg這表明級(jí)數(shù)Xkun收斂，且和為ks.n=1性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)Xu、Xv分別收斂于和s、b,則級(jí)數(shù)X

8、(u+v)也收斂，且其和為sb. HYPERLINK l bookmark162 o Current Document =1=1=1性質(zhì)2如果Xu=s、Xv=b,則X(uv)=sb.nnnn=1=1=1這是因?yàn)?，如果Xu、Xv、X(uv)的部分和分別為sn、bn、環(huán)貝unnn HYPERLINK l bookmark174 o Current Document =1=1=1limt=lim(uv)+(uv)Hh(uv)1122nTgnTg=lim(u+uHHu)(v+vHHv)12n12nnTg=lim(sb)=sb.nnnTg性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.比如，

9、級(jí)數(shù)丄+亠+亠+-+是收斂的,12233-4n(n+1)級(jí)數(shù)10000+-1+A+厶+-+也是收斂的，122334n(n+1)級(jí)數(shù)314+43+n(nbi)+也是收斂的.性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)工篤收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂且其和不變.n=l應(yīng)注意的問(wèn)題：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂,則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂例如,級(jí)數(shù)1-1)+1-1)+-收斂于零，但級(jí)數(shù)1-1+1-1+卻是發(fā)散的.推論：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散.級(jí)數(shù)收斂的必要條件：性質(zhì)5性質(zhì)5如果為作收斂，則它的n=l般項(xiàng)Un趨于零，即limU=0nT0n性質(zhì)5如果Xu收斂，則limu=0n=1nTO

10、n證設(shè)級(jí)數(shù)Xu”的部分和為sn,且lims右s,則n=1nnTQnlimu=lim(ss)=limslims=ss=0.nnn-1nn-1nT0nTQnTQnTQ應(yīng)注意的問(wèn)題：級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例4證明調(diào)和級(jí)數(shù)X丄二1+1+1+1+是發(fā)散的.n23nn=1例4證明調(diào)和級(jí)數(shù)為1是發(fā)散的.nn=l證假若級(jí)數(shù)為1收斂且其和為S,Sn是它的部分和.nnn=l顯然有l(wèi)ims=s及l(fā)ims=s.于是lim(s-s)=0.n2n2nnmgmgnTs但另一方面,s-s=丄+丄+丄丄+丄+丄=1,nnn+1n+22n2n2n2n2故“*“-s丿豐0，矛盾.這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)龍丄必定發(fā)散.2

11、n11.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)為%收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列Sn有界.n=1定理2（比較審斂法）設(shè)為u和為v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且unwvn（n=1,2,）若級(jí)數(shù)龍v收TOC o 1-5 h znnnn=1n=1n=1斂，則級(jí)數(shù)為un收斂；反之，若級(jí)數(shù)為un發(fā)散，則級(jí)數(shù)為vn發(fā)散.n=1n=1n=1定理2（比較審斂法）設(shè)為叫和為V”都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且Uno,vnnN）.n=1n=1若Lv收斂，則Lun收斂；若Zu發(fā)散，則Zvn發(fā)散.nnnnn=1n=1n=1n=1設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且un0，vnN）.若級(jí)數(shù)vn

12、收斂，則級(jí)數(shù)sun收斂；反之，若級(jí)數(shù)sun發(fā)散，則級(jí)數(shù)vn發(fā)散.證設(shè)級(jí)數(shù)Lv”收斂于和Q，則級(jí)數(shù)Lun的部分和n=ln=1sn=u1+u2+unV+v2+vns（n=1,2,），即部分和數(shù)列sn有界，由定理1知級(jí)數(shù)Lu收斂.nnn=1反之，設(shè)級(jí)數(shù)Lun發(fā)散，則級(jí)數(shù)Lvn必發(fā)散.因?yàn)槿艏?jí)數(shù)n=1n=1Lvn收斂，由上已證明的結(jié)論,將有級(jí)數(shù)Lun也收斂，與假設(shè)矛盾.n=1n=1證僅就unvn（n=1，2,）情形證明.設(shè)級(jí)數(shù)svn收斂，其和為5則級(jí)數(shù)sun的部分和Sn=u1+u2+-+unV1+V2+VnN時(shí)有n=1n=1n=1un0)成立，則級(jí)數(shù)為un收斂；如果級(jí)數(shù)為vn發(fā)散，且當(dāng)nN時(shí)有比3(1

13、0)成立，則n=1n=1級(jí)數(shù)為un發(fā)散.n=1例1討論P(yáng)-級(jí)數(shù)為=1+丄+丄+丄+丄+np2p3p4pnpn=1的收斂性，其中常數(shù)p0.例1討論P(yáng)-級(jí)數(shù)丄(p0)的收斂性.n=1np解設(shè)p-，而調(diào)和級(jí)數(shù)為-發(fā)散，由比較審斂法知，當(dāng)P1.此時(shí)有=Jndxjn丄dx=-(n=2,3,).npn-1npn-1xpp-1(n-1)p-1np-1對(duì)于級(jí)數(shù)為1(n_1)PTs=1n_1s=1n_12p_112p_113p_1np_11=1-(n+1)p_1(n+1)p_1因?yàn)閘ims=lim1_1=1.所以級(jí)數(shù)為1-(n_1)p所以級(jí)數(shù)為1-(n_1)p_11收斂.從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知，級(jí)數(shù)為丄

14、當(dāng)P1時(shí)np_1npn=1收斂.綜上所述,P_級(jí)數(shù)為丄當(dāng)P1時(shí)收斂，當(dāng)P1時(shí)發(fā)散.npn=1解當(dāng)P1,而調(diào)和級(jí)數(shù)龍丄發(fā)散，由比較審斂法知，npnnn=1當(dāng)P1時(shí)級(jí)數(shù)為丄發(fā)散.npn=1當(dāng)P1時(shí)，=Jndxjndx=1_(n=2,3,).npn_1npn_1xpp_1(n_1)p_1np_1而級(jí)數(shù)龍1-丄是收斂的，根據(jù)比較審斂法的推論可知，(n_1)p_1np_1n=2級(jí)數(shù)龍丄當(dāng)P1時(shí)收斂.npn=1提示：級(jí)數(shù)為1-丄的部分和為n=2(n_1)p_1np_n=2s=1-丄+丄-丄+丄-1=1-1.n2p-12p-13p-1np-1(n+1)p-1(n+1)p-1因?yàn)閘ims=lim1-1=1,n

15、*nn*(n+1)p-1所以級(jí)數(shù)為1心（ni）pT收斂.np-1P-級(jí)數(shù)的收斂性：P-級(jí)數(shù)為丄當(dāng)P1時(shí)收斂，當(dāng)P1時(shí)發(fā)散.npn=1例2證明級(jí)數(shù)例2證明級(jí)數(shù)Zn=1vn(n+1)是發(fā)散的.證因?yàn)榇蛟b遼=右，而級(jí)數(shù)垃丄=1+1+丄+是發(fā)散的,n+123n+1n=1根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的.定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)為un和設(shè)為un和為vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果limn=1n=1nsunvn=l(0l+8),則級(jí)數(shù)為un和級(jí)數(shù)為vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.n=1n=1定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)為un和為vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),n=1n=n=1(1)如果limmgU=1(0l0或limf

16、=+gvvnnnngg,且級(jí)數(shù)為vn發(fā)散，則級(jí)數(shù)Zun發(fā)散.n=1n=1定理3(比較審斂法的極限形式)設(shè)Un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果lim(un/vn)=l(Ol+g),且RVn收斂，則un收斂;如果lim(un/vn)=l(OlN時(shí)，有不等式1-21牛1+21，即11VnU21vn，n再根據(jù)比較審斂法的推論1,即得所要證的結(jié)論.例3判別級(jí)數(shù)Zsin丄的收斂性.nn=1sin解因?yàn)閘imn=1，而級(jí)數(shù)Z丄發(fā)散,、一nn=1根據(jù)比較審斂法的極限形式，級(jí)數(shù)Zsin發(fā)散.nn=1例4判別級(jí)數(shù)Zln(1+右)的收斂性.n=1噸+丄）b1解因?yàn)閘im旦=1，而級(jí)數(shù)為丄收斂,E丄n=1n2n2根據(jù)比較審斂

17、法的極限形式，級(jí)數(shù)為ln（l+丄）收斂.n2n=1定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)龍un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于p：n=1則當(dāng)P1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)P1（或limUn+1=g）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.T8Un定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)龍u滿(mǎn)足lim匕+1=P,則當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)收斂;n=1nUn當(dāng)P1（或lim=8）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)p=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.T8Un定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)為u”為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果n=1ulim-n+1=P,Un則當(dāng)P1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)P1（或limun+1=g）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)P=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂

18、也可能發(fā)散.T8Un例例5證明級(jí)數(shù)1+1+吉+佳+123F1例例5證明級(jí)數(shù)1+1+吉+佳+123F1是收斂的.解因?yàn)閘imn+1=lim123(-1)=lim1=00（或limnu=+則級(jí)數(shù)為u發(fā)散mgnmgnn=1n如果p1,而limnpu=1（。l0.nnn=1例如，龍(-1)“-1丄是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但為(-1)n-11-C0Sn不是交錯(cuò)級(jí)數(shù).nnn=1n=1定理6(萊布尼茨定理)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)為(-1)n-1U滿(mǎn)足條件：nn=1unun+1(n=1,2,3,.)；lim作=0,mg則級(jí)數(shù)收斂，且其和su1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|u；limu=0,nnn+1n則級(jí)數(shù)收斂，且其和su1?其余項(xiàng)

19、rn的絕對(duì)值|rn|un+1.簡(jiǎn)要證明：設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn.由S2n=（U1_U2）+（U3_U4）+（U2n1_U2n），及S2n=U1-（U2-U3）+（U4-U5）+（U2n一2-一1）-看出數(shù)列s2n單調(diào)增加且有界（s2nu1）,所以收斂.設(shè)S2nTS（nT3）,則也有S2n+廠(chǎng)S2n+U2n+1TS（nT3）,所以SnTS（nTx）.從而級(jí)數(shù)是收斂的,且SnU1.因?yàn)閨rn|=un+1-un+2+-也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),所以|rn|un+1.例9證明級(jí)數(shù)t（-l）n-i丄收斂，并估計(jì)和及余項(xiàng).nn=11(2)limu1(2)limu=lim=0,nnnsnTa11Un=n丙=Un+1

20、(Z2,),由萊布尼茨定理，級(jí)數(shù)是收斂的，且其和sun=1,余項(xiàng)Ir|1，n2nnns112nsn2可知limu豐0nmgn=111.3冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列un(x),由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式U(x)+u2(x)+u3(x)+Un(x)+稱(chēng)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)，記為為u(x).nn-1收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)：對(duì)于區(qū)間1內(nèi)的一定點(diǎn)x0,若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為u”(x0)收斂，則稱(chēng)n-1點(diǎn)X。是級(jí)數(shù)un(x)的收斂點(diǎn).若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為un(x0)發(fā)散，則稱(chēng)n-1n-1點(diǎn)X。是級(jí)數(shù)乞un(x)的發(fā)散點(diǎn).n-1收斂域與發(fā)散域：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為un(x)的所有收斂點(diǎn)的

21、全體稱(chēng)為它的收斂域所n-1有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的發(fā)散域.和函數(shù)：在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為un(x)的和是x的函數(shù)s(x),n-1S(x)稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為u(x)的和函數(shù)，并寫(xiě)成s(x)二為u(x).nnn-1n-1IUn(X)是為un(x)的簡(jiǎn)便記法，以下不再重述.n-1在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Iun(x)的和是X的函數(shù)s(x),S(x)稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Iun(x)的和函數(shù)，并寫(xiě)成S(x)-Iun(x).這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域，部分和：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作Sn(x),n-1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Iun(x)的前n項(xiàng)的部分和記作Sn(x),即sn(x)=U(x)+U2(x)+U3(x

22、)+Un(x).在收斂域上有l(wèi)ims(x)-s(x)或Sn(X)TS(X)(nTg).nsn余項(xiàng)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和Sn(x)的差n-1rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為un(x)的余項(xiàng).n-1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Iun(x)的余項(xiàng)記為rn(x),它是和函數(shù)s(x)與部分和Sn(x)的差rn(x)-s(x)-sn(x).在收斂域上有l(wèi)imr(x)=0.nsn二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性?xún)缂?jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的一類(lèi)級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，這種形式的級(jí)數(shù)稱(chēng)為幕級(jí)數(shù)，它的形式是a0+aiX+a2X2+anXn+,其中常數(shù)a0,a1,a2,，an,叫做幕級(jí)數(shù)的

23、系數(shù).幕級(jí)數(shù)的例子：1+x+x2+x3+xn+，111+X+石X2+；Xn+2!n!-注：幕級(jí)數(shù)的一般形式是a0+a1(X_X0)+a2(X_X0)2+an(XX0)n+,經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+antn+.幕級(jí)數(shù)1+X+X2+X3+Xn+可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù).當(dāng)|x|1時(shí)，它是發(fā)散的.因此它的收斂域?yàn)?-1,1),在收斂域內(nèi)有=1+X+X2+X3+xn+.1-X定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)axn當(dāng)x=x0(Xh0)時(shí)收斂，則適合不等式n=0|x|x01的一切x使這幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.反之，如果級(jí)數(shù)axn當(dāng)0nn=0 x=x0時(shí)發(fā)散，則適合不等式|x|x01的一切x使

24、這幕級(jí)數(shù)發(fā)散.定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)5anXn當(dāng)x=x0(x0h0)時(shí)收斂，則適合不等式|x|x0|的一切x使這幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.反之，如果級(jí)數(shù)5anxn當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散，則適合不等式|x|x01的一切x使這幕級(jí)數(shù)發(fā)散.提示：5anXn是為axn的簡(jiǎn)記形式.nn-0證先設(shè)X。是幕級(jí)數(shù)為ax的收斂點(diǎn)，即級(jí)數(shù)為ax收斂.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件,有n-0n-0limanx0-0,于是存在一個(gè)常數(shù)M,使nTs|anx0n|M(n=0,1,2,-).這樣級(jí)數(shù)為axn的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值n-0Iaxn|-|axnl-laxn丨止|nMlln.nn0 xnn0 xx000因?yàn)楫?dāng)|x|x01時(shí)，等比級(jí)數(shù)MI

25、In收斂，所以級(jí)數(shù)為IaxnI收斂，也就是級(jí)數(shù)為axn絕對(duì)TOC o 1-5 h zxnnn-00n-0n-0收斂.簡(jiǎn)要證明設(shè)5anXn在點(diǎn)x0收斂，則有anx0nT0(nT8)，于是數(shù)列anx0n有界，即存在一個(gè)常數(shù)M，使anx0n|M(n-0,1,2,).因?yàn)镮axnI-1axnI-1axnI王In|x01使級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)本定理的第一部分,級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂，這與所設(shè)矛盾.定理得證.推論如果級(jí)數(shù)為ax不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一n=0個(gè)完全確定的正數(shù)R存在，使得當(dāng)|x|R時(shí)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)|x|R時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=R與x=-R時(shí)，幕級(jí)數(shù)可能收斂

26、也可能發(fā)散.收斂半徑與收斂區(qū)間：正數(shù)R通常叫做幕級(jí)數(shù)為anxn的收斂半徑.開(kāi)區(qū)間（-R，R）叫做幕級(jí)n=0數(shù)為ax的收斂區(qū)間.再由幕級(jí)數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域幕級(jí)數(shù)為anxnn=0n=0的收斂域是（-R,R）（或-R,R）、（-R,R、-R,R之一.規(guī)定：若幕級(jí)數(shù)為ax只在x=0收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0，若幕級(jí)數(shù)為ax對(duì)一切xn=0n=0都收斂，則規(guī)定收斂半徑R=+這時(shí)收斂域?yàn)椋?+Q.定理2如果lim1綸+11=P，其中wnTsanh、an+i是幕級(jí)數(shù)axn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則這幕級(jí)數(shù)的收斂n=0半徑+8p=0R=丄pH0P0p=+8定理21111如果幕級(jí)數(shù)為anxn系數(shù)滿(mǎn)

27、足liml紅1l=p,則這幕級(jí)數(shù)的收斂半徑n=0nan+8p=0R=pH0P0p=+8定理2如果liml=p,則幕級(jí)數(shù)為axn的收斂半徑R為：nann=0當(dāng)pH0時(shí)R=,當(dāng)p=0時(shí)R=+to,當(dāng)p=+時(shí)R=0.p簡(jiǎn)要證明：limlan+ix+11=limla+il.lxl=plxl.ngaXnnT8ann如果0p+g,則只當(dāng)p|x|1時(shí)幕級(jí)數(shù)收斂，故R=丄.p如果p=0,則幕級(jí)數(shù)總是收斂的，故R=+g.如果p=+g,則只當(dāng)x=0時(shí)幕級(jí)數(shù)收斂，故R=0.例1求幕級(jí)數(shù)(-1)n-1竺=X-竺+邑-+(-Dn-1竺+n23nn=1的收斂半徑與收斂域.例1求幕級(jí)數(shù)(-l)n-1竺的收斂半徑與收斂域.n

28、=1n解因?yàn)閜=liml+il=lim帯1=1,n所以收斂半徑為R=丄=1.p加法加法：IanXn+5bnXn=1(an+bn)Xn,當(dāng)x=1時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為為(-l)n-l丄，是收斂的；n=1n當(dāng)X1時(shí)，幕級(jí)數(shù)成為為(-1),是發(fā)散的.因此，收斂域?yàn)?-1,1.n=1例2求幕級(jí)數(shù)為1Xnn=0n!1111+X+X2+x3HFXnH2!3!n!的收斂域.例2求幕級(jí)數(shù)為-1Xn的收斂域.n=0n!因?yàn)閜=liml幺因?yàn)閜=liml幺+11=limnann(n+1)!Tn!=limmgn!=0(n+1)!所以收斂半徑為R=+g,從而收斂域?yàn)?-+g).例3求幕級(jí)數(shù)為n!xn的收斂半徑.n=0解因?yàn)閜

29、=liml+11=lim(“+,1)!=+gan!，nTgnsn所以收斂半徑為R=0,即級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂.例4求幕級(jí)數(shù)帰X2n的收斂半徑.解級(jí)數(shù)缺少奇次幕的項(xiàng)，定理2不能應(yīng)用.可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑:幕級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為u(X)=瑞X2n因?yàn)閘imlUn+1(X)|=41x|2,nTgu(X)n111當(dāng)4|x|21即Ixl2時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑為R=2提示：2(n+1)!x2(小X2(n+1)u(x)(n+1)!2(2n+2)(2n+1)n+1一一x2Un(X)(2n)!X2n(n+1)2(n!)2例5求幕級(jí)數(shù)(x=)n的收斂域.2nnn=1解令t=x1,上述級(jí)數(shù)變?yōu)闉楸?nnn=

30、1TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark178 o Current Document 因?yàn)閜=limln+i|=2=,nga2n+1(n+1)2n所以收斂半徑R=2.當(dāng)t=2時(shí),級(jí)數(shù)成為為，此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)t=-2時(shí)，級(jí)數(shù)成為為乎，此級(jí)數(shù)收斂因此級(jí)n=1n=1數(shù)藝出的收斂域?yàn)?22.因?yàn)?2wx-12,即-1wx3,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,3).n=12nn三、幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)幕級(jí)數(shù)為ax及為bx分別在區(qū)間(-R,R)及(-R，,R，)內(nèi)收斂，則在(-R,R)與(-R，,R沖n=0n=0較小的區(qū)間內(nèi)有加法：為axn+gbxn=g(a+b)xn,nnnnn=0n=0n

31、=0減法：gaxn-gbxn=g(a-b)xn,nnnnn=0n=0n=0設(shè)幕級(jí)數(shù)janxn及bnxn分別在區(qū)間(-R,R)及(-R：R)內(nèi)收斂，則在(-R,R)與(-R：巴中較小的區(qū)間內(nèi)有減法：IanXn-2bnXn=1(an-bn)Xn乘法：(為a”xn)(Zbxn)=aobo+(aobi+aibo)x+(aob2+aibi+a2bo)x2+n=0n=0+(a0bn+aibn-1+anbo)Xn+性質(zhì)1幕級(jí)數(shù)Zaxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù).n=0如果幕級(jí)數(shù)在x=R(或x=-R)也收斂，則和函數(shù)s(x)在(R,R(或R,R)連續(xù).性質(zhì)2幕級(jí)數(shù)ZaXn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上

32、可積，并且有逐項(xiàng)積分公式nn=0 xn+1(xeI),JXs(x)dX=Jx(Zaxn)dX=Zjxaxndx=Z-n-00n=0nn=00nnxn+1(xeI),逐項(xiàng)積分后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3幕級(jí)數(shù)Zaxn的和函數(shù)S(x)在其收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式nn=0s(x)=(Zaxn)=Z(axn)=Znaxn-1(|x|R)nnnn=0n=0n=1逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)1幕級(jí)數(shù)Ianxn的和函數(shù)S(x)在其收斂域I上連續(xù).性質(zhì)2幕級(jí)數(shù)IanXn的和函數(shù)S(x)在其收斂域I上可積，并且有逐項(xiàng)積分公式xn+1(xeI),

33、fxs(x)dx=Jx(Zaxn)dx=Zjxaxndx=Z-n-00n=0nn=00nnxn+1(xeI),逐項(xiàng)積分后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3幕級(jí)數(shù)lanXn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式s，(x)=(Zaxn)，=Z(axn)，=Znaxn-1(|x|R)nnnn=0n=0n=0例例6求幕級(jí)數(shù)Zxn的和函數(shù).例例6求幕級(jí)數(shù)Zxn的和函數(shù).逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.例6求幕級(jí)數(shù)品xn的和函數(shù).解求得幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,1).設(shè)和函數(shù)為S(x),即s(x)=為xn,Xe-1,1).顯然s(0)=1n=0在xs(

34、x)=為xn+1的兩邊求導(dǎo)得n=0n+1xs(x)，=為(1-xn+1)，=為xn=1.n=0n+1n=01-x對(duì)上式從0到X積分，得xs(x)=Fdx=-ln(1-x)-丄1口(1-丄1口(1-x)x10|x|1x=0于是，當(dāng)XhO時(shí)，有s(x)=一1ln(1-x).從而s(x)=x因?yàn)閤s(x)=xn+1=Jx為-xn+ldxn=0n+10n=on+1=Jx為xndx=J-dx=-ln(1-x)0n=001-x所以，當(dāng)x0時(shí)，有s(x)=-1ln(1-x)x從而s(從而s(x)=-丄ln(l-x)xl01x11解求得幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,1).設(shè)幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),即s(x)=品xn

35、,21).顯然S(0)=1.因?yàn)閤sXn+lXn+ldX“顯+10n顯+1=JX為xndx=dx=-ln(1一x)(-1xD0n=001-x所以，當(dāng)0|x|1時(shí)，有s(x)=-1】n(1-x).從而s(x)=0從而s(x)=01xl1x二0 x1由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性,S(-1)=limS(x)=ln2.xt-1+綜合起來(lái)得s(x)=一xln(1-x)xe-1,2(，1).1x=0提示：應(yīng)用公式JxF(x)dx=F(x)-F(0)即F(x)=F(0)+JxF(x)dx00-=1+x+x2+x3+xn+.1-x例7求級(jí)數(shù)匕繹的和.n=0n+1解考慮幕級(jí)數(shù)為斗xn,此級(jí)數(shù)在-1,1)上收斂,設(shè)

36、其和n=0n+1函數(shù)為s(x),則s(-1)=廿合.n=0n+1在例6中已得到xs(x)=ln(1-x),于是-s(-1)=In2,s(-1)=ln1,即空=ln1.2n+12n=011.4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)要解決的問(wèn)題：給定函數(shù)f(x),要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)”，就是說(shuō),是否能找到這樣一個(gè)幕級(jí)數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x).如果能找到這樣的幕級(jí)數(shù),我們就說(shuō)，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成幕級(jí)數(shù),或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(X)能展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x).泰勒多項(xiàng)式：如果f(x)在點(diǎn)X。的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)f

37、(X)近似等于f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f2X0)(xx0)2+fn)(X0)(X-x)n+R(x)n!0n其中R(x)=號(hào)+1叮)(X-X)n+1(g介于X與X。之間).n(n+1)!00泰勒級(jí)數(shù)：如果f(x)在點(diǎn)X。的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f，(x),f(x),f(n)(x),，則當(dāng)ng時(shí),f(x)在點(diǎn)X。的泰勒多項(xiàng)式?jīng)_(x-x0)nn!0pn(x)=f(x0)+ftx0)(x-x0)+f20(x-x沖(x-x0)nn!0成為幕級(jí)數(shù)理2(x-x0)n+n!0f(x0)+f(x0)(x-x0)+f2；0)(x-x0)2+f3x0)(x-x理2(x-x0)n+n!0這一幕級(jí)數(shù)

38、稱(chēng)為函數(shù)f(X)的泰勒級(jí)數(shù).顯然，當(dāng)x=x0時(shí),f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0).需回答的問(wèn)題：除了X=x。外,f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂，它是否一定收斂于f(x)?定理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n0時(shí)的極限為零，即limR(x)=0(xeU(x)n*n0證明先證必要性.設(shè)f(x)在U(x。)內(nèi)能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，即f(x)=f(x)+f，(xo)(x-X0)+f2X0)(x-X0)2+f羅0)(x-X0)n+,又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n+1項(xiàng)的

39、和，則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)Tf(x)(nT2).而f(x)的n階泰勒公式可寫(xiě)成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是Rn(x)=f(x)-Sn+1(x)T0(nT3).再證充分性.設(shè)Rn(X)TO(nTg)對(duì)一切XgU(X0)成立.因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫(xiě)成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是sn+1(x)=f(x)-Rn(x)Tf(x),即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(X。)內(nèi)收斂，并且收斂于f(x).麥克勞林級(jí)數(shù)：在泰勒級(jí)數(shù)中取x0=0,得f(0)+f，(0)x+f(0)x2+卜f)(0)xn+2!n!此級(jí)數(shù)稱(chēng)為f(X)的麥克勞林級(jí)數(shù).展開(kāi)式的唯一性:如果f(x)能展開(kāi)成

40、X的幕級(jí)數(shù)，那么這種展式是唯一的，它一定與f(X)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致.這是因?yàn)?，如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R,R)內(nèi)能展開(kāi)成X的幕級(jí)數(shù)，即f(x)=a0+alx+a2X2+.+anXn+.,那么根據(jù)幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，有fr(x)=ai+2a2x+3a3X2+.+nanXn-i+.,f(x)=2!a2+32a3x+n(n1)anXn一2+f(x)=3!a3+n.(n1)(n2)anXn3+f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n1)2an+1x+于是得a0二fa0二f(0),a=f(0),2!a_f(n)(0)，ann!應(yīng)注意的問(wèn)題：如果f(x)能展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)，那么

41、這個(gè)幕級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)但是，反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0_0的某鄰域內(nèi)收斂，它卻不一定收斂于f(x).因此,如果f(x)在點(diǎn)x0_0處具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái)但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂，以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察.二、函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)展開(kāi)步驟：第步求出f(X)的各階導(dǎo)數(shù):f(x)，f(x)，f(n)(x)，.第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在X_0處的值：f(0)，f(0)，f(0),.,f(n)(0)，.第三步寫(xiě)出幕級(jí)數(shù)f(0)f(n)(0)f(0)+f(O)x+x2+xn+，2!n!并求出收斂半徑R.第四步考察在區(qū)間(-R，R)內(nèi)

42、時(shí)是否Rn(x)T0(nT2).xxxxlimR(x)=limnsnnTaf(n+i)(G(n+1)!Xn+1是否為零.如果Rn(x)T0(nlimR(x)=limnsnnTaf(n+i)(G(n+1)!Xn+1f(x)=f(0)+f(0)x+f20 x2+/xn+(RXR)例1將函數(shù)f(x)=ex展開(kāi)成X的幕級(jí)數(shù).解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(n)(x)=ex(n=1,2,),因此f(n)(0)=1(n=1,2,).于是得級(jí)數(shù)111+x+x2+xn+2!n!它的收斂半徑R=+.對(duì)于任何有限的數(shù)x、g憶介于0與x之間），有IR(x)l=1笛xn+1|elxlIx|n+1(n+1)!，而Ix|n+1

43、(n+1)!，而limnTaIx|n+1=0(n+1)!,所以limIRn(x)l=0,nTan從而有展開(kāi)式11ex=1+x+x2+xn+(ax+s)2!n!例2將函數(shù)f（x）=sinx展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù).解因?yàn)閒(n)(x)=sin(x+n*)(n=1,2,),所以f(n)(0)順序循環(huán)地取0,1,0,-1,(n=0,1,2,3,),于是得級(jí)數(shù)x3+x3+X5可+5!+(-1)n-1x2n-1+(2n-1)!它的收斂半徑為R=+對(duì)于任何有限的數(shù)x、g（g介于0與x之間），有1Rn小豐+1Txn+11禺(n(n+1)!因此得展開(kāi)式x3x5x2n-1sinx=x一須+5!(-1)n-1(2n-1)

44、!+(一8x+s)11ex=1+x+x2+xn+(8x+8)2!n!例3將函數(shù)f(x)=(1+x)m展開(kāi)成X的幕級(jí)數(shù)，其中m為任意常數(shù).解:f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為fr(x)=m(1+x)m-1,f(X)二m(m-1)(1+x)m一2,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)-(m-n+1)(1+x)m-n,所以f(0)=1,fr(0)=m,f(O)=m(m1),fn)(0)=m(m-1)(m-2)-(m-n+1),-于是得幕級(jí)數(shù)1+mx+m(m-1)x2+m(m-1)(m一n+1)xn+2!n!可以證明(1+x)m=1+mx+駕-1)x2+m(m-1).(m-n+1)xn+(-1xDn!間接展開(kāi)法

45、:例4將函數(shù)f(x)=cosx展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù).解已知血x=x一+毎一+(-1)nT1)!+ZXS對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得COSX=1-疥+孕+(-1)nx2n+(-8X+8)2!4!(2n)!例5將函數(shù)f(x)=展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù).1+X21解因?yàn)榭?x+x2+xn+(-1x，把x換成-X2,得1=1x2+X4+(一Dnx2n+(-1X1).1+x2注：收斂半徑的確定：由-1-X21得-1X1.例6將函數(shù)f(x)=In(1+x)展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù).解因?yàn)閺V(x)二i+x，而丄是收斂的等比級(jí)數(shù)(-1)nxn(-1X1)的和函數(shù):TOC o 1-5 h z1+xn=0二1-X+X2-X3+(-Dnx”+.1

46、+x所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分，得ln(1+x)=X-竺+竺-X4+(-1)n如+-(-1X1)234n+1解：f(x)=In(1+x)=Jxln(1+x)dx兀丄dx001+xx為(-1)nxndx=為(一1)+1(-1x1).0n=0n=0n+1上述展開(kāi)式對(duì)X=1也成立，這是因?yàn)樯鲜接叶说哪患?jí)數(shù)當(dāng)X=1時(shí)收斂，而In(1+x)在x=1處有定義且連續(xù).例7將函數(shù)f(x)=sinx展開(kāi)成(x-才)的幕級(jí)數(shù).因?yàn)閟inx=sin嚀+(x冷)=cos(x-+sin(x號(hào),并且有所以cos(x壬)1_2!(x)2+4-(x_扌)4_.(_gXV+8),sin(x_4)(x晉)害(x_4)3+X_4)

47、5(_xv+8),sinx=1+(x_壬)_2!(x_號(hào))2_3-(x_晉)3h(一8x+s).所以例8將函數(shù)f(x)43展開(kāi)成(x_1)的幕級(jí)數(shù).x2+4x+3解因?yàn)閒(x)=11x2+4x+3(x+1)(x+3)2(1+x)2(3+x)4q+x-1)8(1+x_1)(X_l)n4n仝(_1)n(丄一丄)(x_1)n(_1x3)2n+222n+3n0提示：1+x2+(x1)2(1+耳),3+x4+(x1)4(1+乎).11+X_12EH學(xué)(1嚀1),n011X_11+n04為(_1)n(_1乎11ExH1+X+X2+:XX+:(8AXA+8)2一工?SInxHXX3X5:+T1V1X2K1(

48、2SID一診1朋+注！+T1V郭+T8A.A+81-丿X2-X3X4-、：X77+1-、ln(l+x)HX”+M一；-+11)=;-+:(I1AXIA1)234J+1?n(？nl)l卜-?n(？nl)(M3+1)？-、1?丿X2+:+X3+:(1X1)2一3一(一+xyHl+MX丄JIs漁一斗6SK亠gRlio.ooor11例1計(jì)算5240的近似值（誤差不超過(guò)10一d解因?yàn)?240二$243-3二3（1-”5所以在二項(xiàng)展開(kāi)式中取m二1,x二-丄,即得5345240二3（1-1丄-出丄-凹丄-）53452-2!3853-3!312這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快.取前兩項(xiàng)的和作為5240的近似值，其誤差（也叫做

49、截?cái)嗾`差）為1411-4-91丄149141丄）IrI二3（-+-+-H丿252-2!3853-3!31254-4!3163丄土丄1+丄+（丄）2+52-2!388181_611_1,1-2538.125-27-4020000-181于是取近似式為顧u3（1-1-）,為了使四舍五入”引起的誤差（叫做舍入誤差）與截?cái)嗾`差之和不超過(guò)10一4,計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)，然后四舍五入.因此最后得5f240沁2.9926.例2計(jì)算In2的近似值，要求誤差不超過(guò)0.0001.例2計(jì)算In2的近似值（誤差不超過(guò)10_4）.解在上節(jié)例5中，令x-1可得ln21-1+1-+（-1）n-11+-.23n如果取這級(jí)數(shù)前n

50、項(xiàng)和作為In2的近似值，其誤差為Ir1nn+1為了保證誤差不超過(guò)IO一4,就需要取級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.這樣做計(jì)算量太大了，我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來(lái)代替它.把展開(kāi)式ln(1+x)=x-旦+竺-總+(-1)n沁+(_1x1)234n+1中的X換成-X,得ln(1-X)=-x-f-號(hào)-寧-(1x1)，兩式相減，得到不含有偶次幕的展開(kāi)式:ln1=ln(1+x)-ln(1-x)二2(x+x3+1x5+)(-1x1)TOC o 1-5 h z1-x35令告=2，解出x=以x二3代入最后一個(gè)展開(kāi)式，得 HYPERLINK l bookmark248 o Current Document ln22

51、(1111111)3333535737如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值，則誤差為11,11,11,)IrI=2(77+丿4939113111331321+1+(丄)2+3119921亠=31111牛397000001-9于是取ln222(3+333+53+73,同樣地，考慮到舍入誤差，計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù):120.33333，33320-01235，1呂20-00082，73720-00007-因此得In20.6931.例3利用sinxux-1x3求sin9。的近似值，并估計(jì)誤差.解首先把角度化成弧度，9二僉x9(弧度)二20(弧度),18020從而.兀兀1j從而Sin20u20-3!20.其次，

52、估計(jì)這個(gè)近似值的精確度.在sinx的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式中令x二2o,得sin蘭二王-1化320203!l20丿等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少.取它的前兩項(xiàng)之和作為sin20的近似值，起誤差為1300000.1皆5!君120(02)51300000.因此取0.157080丄3u0.003876205(20丿于是得sin9u0.15643.這時(shí)誤差不超過(guò)10-5.例4計(jì)算定積分J2e-x2dx0的近似值的近似值，要求誤差不超過(guò)0.0001.的近似值的近似值，要求誤差不超過(guò)0.0001.的近似值，要求誤差不超過(guò)0.0001（取丄沁0.56419）.兀例4求積分丄1e-xdx的近似值（

53、誤差不超過(guò)I。.兀o解將ex的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的x換成X2,得到被積函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式e21I(-x2)i(-x2)2,(-x2)3,e-x2Tf+=1二藝(1)藝(-gx+x).n!n=0于是，根據(jù)幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積,得22憶(-1)n旦dx=2藝巳比tx2ndxJ兀0。n!兀nn!0n=0n=02T3+2T3+用-26+-)-前四項(xiàng)的和作為近似值，其誤差為前四項(xiàng)的和作為近似值，其誤差為1輕+亦91!900005所以鼻1e鼻1e-x2dx、；兀o213+由-爲(wèi)）心5例5計(jì)算積分sindx0X例5計(jì)算卩沁dx的近似值（誤差不超過(guò)10_4）.0 x解由于lim沁=1,因此所給積分不是反常積

54、分.如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1,xtOx則它在積分區(qū)間0,1上連續(xù).展開(kāi)被積函數(shù),有晉=1-12+14-sx十）在區(qū)間0,1上逐項(xiàng)積分,得j0晉d亠33!+爲(wèi)-召因?yàn)榈谒捻?xiàng)111177!300005所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值:10嚴(yán)弘烏+扁=0.9461二、歐拉公式復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(u1+iv1)+(u2+iv2)+-+(un+ivn)+其中un,vn(n=1,2,3,-.)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù)U+U2+Un+.收斂于和U,并且虛部所成的級(jí)數(shù).v1+v2+.+vn+.收斂于和V,就說(shuō)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u+iv.絕對(duì)收斂:如果級(jí)藝(u+iv)的各項(xiàng)的模所

55、構(gòu)成的級(jí)數(shù)Ju2+v2收斂，n=1n=1則稱(chēng)級(jí)數(shù)藝(u+iv)絕對(duì)收斂.nnn=1復(fù)變量指數(shù)函數(shù):考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)111+z+z2+zn+.2!n!可以證明此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的,在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex,在復(fù)平面上我們用它來(lái)定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)，記為ez.即11ez=1+z+z2+zn+.2!n!歐拉公式：當(dāng)x=0時(shí),z=iy,于是eiy=1+iy+(iy)2+(iy)n+2!n!=1+iy_2y2-i3!y3+y4+iy51111=(1習(xí)y2+4y4)+i(y3y3+5y5)=cosy+isiny.把y定成x得eix=cosx+isinx,這就是歐拉公式.復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：復(fù)數(shù)Z可以表示

56、為z=r(cosO+isinO)=rei,其中r=|z|是z的模,0=argz是z的輻角.三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系：因?yàn)閑ix=cosx+isinx,e-ix=cosx-isinx,所以eix+e_ix=2cosx,ex-e-ix=2isinx.11cosx=(eix+e-ix)sinx=(eixe-ix)22i八這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式.復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：牛+z2=ezi-ez2.特殊地，有ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny).11.7傅里葉級(jí)數(shù)一、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性三角級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)2a0+蘭(anC0SnX+bnSinnX)n=1稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)，其中aan

57、,bn(n=1,乙)都是常數(shù).三角函數(shù)系：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,，cosnx,sinnx,三角函數(shù)系的正交性:三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間-冗，冗上的積分等于零,即J兀cosnxdx=0(n=1,2,-),兀sinnxdx=0(n=1,2,),兀J兀sinkxcosnxdx=0(k,n=1,2,),兀Jsinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,kn),兀J兀coskxcosnxdx=0(k,n=1,2,kn).兀三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間-兀，兀上的積分不等于零，即J12dx=2,兀J兀cos2nxdx=(n=1,2,),兀J兀sin

58、2nxdx=(n=1,2,).兀二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題：設(shè)f(x)是周期為2冗的周期函數(shù)，且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù):f(x)=0+藝(acoskx+bsinkx)2kkk=1那么系數(shù)a0,a1,b1,與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系?假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分，則J兀f(x)cosnxdxa0cosnxdx+藝aJ兀coskxcosnxdx+bJ兀sinkxcosnxdx_兀_兀2k_兀k_兀k=1類(lèi)似地兀f(x)sinnxdx=b兀兀n傅里葉系數(shù):a=丄卩f(x)dx,0兀e1兀f(x)cosnxdx,(n=1,2,-),eeb=J兀f(x)sinnxdx(n=12-)nee系數(shù)a0，a1,b

59、1,叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù).傅里葉級(jí)數(shù)：三角級(jí)數(shù)a0+另(acosnx+bsinnx)2nnn=1稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)，其中a0,a1,b1,是傅里葉系數(shù).問(wèn)題：一個(gè)定義在(-+)上周期為2冗的函數(shù)f(x)，如果它在一個(gè)周期上可積則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).然而，函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂？如果它收斂，它是否一定收斂于函數(shù)f(x)?一般來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)問(wèn)題的答案都不是肯定的.定理(收斂定理，狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2冗的周期函數(shù)，如果它滿(mǎn)足：在一個(gè)于是于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為于是于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，在一個(gè)周期內(nèi)至

60、多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng)X是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f(X);當(dāng)X是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于2f(x-0)+f(x+0).例1設(shè)f(x)是周期為2冗的周期函數(shù)，它在-冗，冗)上的表達(dá)式為J-1一兀x010 x兀將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù).解所給函數(shù)滿(mǎn)足收斂定理的條件，它在點(diǎn)x=kK(k=0，1,2,)處不連續(xù)，在其它點(diǎn)處連續(xù)，從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng)x=kK時(shí)收斂于當(dāng)xk兀時(shí)級(jí)數(shù)收斂于f(x當(dāng)xk兀時(shí)級(jí)數(shù)收斂于f(x).傅里葉系數(shù)計(jì)算如下:a=1卜f(x)cosnxdx=J0(-l)cosnxdx+卜1cosnxdx=0n兀一