《畫法幾何與陰影透視》課件第2章點(diǎn)、直線、平面的投影

1、1 2.1.1點(diǎn)在兩面投影體系、三面投影體系中的投影HVXO水平投影面 H 垂直投影面 V 投 影 軸 OX V面和H面將空間分成四個(gè)分角。處在前、上側(cè)的那個(gè)分角稱為第一分角，反時(shí)針方向依次為第二、三、四分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。2.1點(diǎn)的投影 畫法幾何與陰影透視第 2 章 點(diǎn)、直線、平面的投影1 2.1.1點(diǎn)在兩面投影體系、三面投影體系中的投影HVX2（1）點(diǎn)的兩面投影HVOXA點(diǎn)的水平投影 aA點(diǎn)的垂直投影 aaAZYXaax實(shí)際上,根據(jù)兩個(gè)投影,可以知道該點(diǎn)的X、Y、Z的坐標(biāo) 畫法幾何與陰影透視2（1）點(diǎn)的兩面投影HVOXA點(diǎn)的水平投影 aaAZYX3 點(diǎn)的兩面投影圖的畫

2、法HHVOXa aAaxXHVOa aaxxzy 畫法幾何與陰影透視3 點(diǎn)的兩面投影圖的畫法HHVOXa aAaxXHVO4點(diǎn)的兩面投影圖的性質(zhì)1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa HVOXa aAaxXHVOa aaxxzy 點(diǎn)的V面投影與H面投影之間的連線aa垂直于投影軸0X ；點(diǎn)的一個(gè)投影到0X投影軸的距離等于空間點(diǎn)到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離。 畫法幾何與陰影透視4點(diǎn)的兩面投影圖的性質(zhì)1) aaOX 5通常不畫出投影圖的范圍XOa aaxxzy 畫法幾何與陰影透視5通常不畫出投影圖的范圍XOa aaxxzy 6H 點(diǎn)在其他分角中的投影VXBbxHbbbbbx

3、B點(diǎn)是二分角的點(diǎn)，V、H兩個(gè)投影面的投影，都落在了投影軸的上方，同理，四分角的C點(diǎn)的兩個(gè)投影都落在投影軸的下方，這正是不采用二、四分角的原因OCcccxcc 畫法幾何與陰影透視6H 點(diǎn)在其他分角中的投影VXBbxHbbbbbx 7 特殊位置點(diǎn)的投影HVOXb bc cHVOXCcca bBb Aaa aB點(diǎn)在V面上A點(diǎn)在H面上C點(diǎn)在OX軸上 畫法幾何與陰影透視7 特殊位置點(diǎn)的投影HVOXb bc cHVOXCc8三面投影面體系的建立HVXO水平投影面 - H H V - OX正面投影面 - V Y W - OZ 側(cè)面投影面 - W H Z - OY ZYW（2）點(diǎn)的三面投影 畫法幾何與陰影透視

4、8三面投影面體系的建立HVXO水平投影面 - H 9三面投影面體系中點(diǎn)的投影A點(diǎn)的水平投影 a A點(diǎn)的正面投影 aA點(diǎn)的側(cè)面投影 aHa aa VWXOZYWYHHVXZYWOaaaA 畫法幾何與陰影透視9三面投影面體系中點(diǎn)的投影A點(diǎn)的水平投影 a Ha10【例2.1】已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。XZYWYHOa a a 畫法幾何與陰影透視10【例2.1】已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。11 Aa = aaz = aay = ax O =x Aa = aaz = aax = ay O = y Aa = aax =aa y = az O =z aa ox aa ozH

5、VXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazayAzzzxxxyyyy三面投影面體系中點(diǎn)的投影規(guī)律 畫法幾何與陰影透視11 Aa = aaz = aay = ax O =x 12【例2.2】已知A、B、C三點(diǎn)的各一個(gè)投影a、b、c，且：Aa=10，B點(diǎn)距V面20，C點(diǎn)在A點(diǎn)的右方15，完成三個(gè)點(diǎn)的三面投影。aXZYHYWbc10aa20bb15cc 畫法幾何與陰影透視12【例2.2】已知A、B、C三點(diǎn)的各一個(gè)投影a、b、c13 若把三個(gè)投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點(diǎn)的空間位置可用其（X、Y、Z ）三個(gè)坐標(biāo)來確定，點(diǎn)的投影就反映點(diǎn)的投影與直

6、角坐標(biāo)的關(guān)系了點(diǎn)的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。 點(diǎn)的一個(gè)投影反映了點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)。已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，則點(diǎn)的X、Y、Z 三個(gè)坐標(biāo)就可確定，即空間點(diǎn)是唯一確定的。因此已知一個(gè)點(diǎn)的任意兩個(gè)投影即可求出其第三投影。因此，我們?cè)诿枋鲆粋€(gè)空間點(diǎn)的位置時(shí)，可以用多種方式： 距投影面的距離（A點(diǎn)距V面15mm) 點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)(15,20,8) 與另一個(gè)點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系(在B點(diǎn)的正前方10mm ) 投影連線的長(zhǎng)度(Aa=15mm) 畫法幾何與陰影透視13 若把三個(gè)投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角14XOZYWYHHVXZYWO20 【例2.3】已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為X15，Y10，Z20，作點(diǎn)A的三面

7、 投影圖，并用直觀圖來表達(dá)點(diǎn)A的空間位置。a aa 1510aaaax1520ayaz10A 畫法幾何與陰影透視14XOZYWYHHVXZYWO20 【例2.3】已知15【例2.4】已知A點(diǎn)距H面40mm,距V面20mm,ax在距原點(diǎn)30mm處,試完成A點(diǎn)兩面投影。20mm40mm30mmOXaaax 畫法幾何與陰影透視15【例2.4】已知A點(diǎn)距H面40mm,距V面20mm,ax16XOZY 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)中X 值大的點(diǎn) 在左兩點(diǎn)中Y 值大的點(diǎn) 在前 兩點(diǎn)中Z 值大的點(diǎn) 在上a a ab b bXZYWYHOaa ab bb BA 畫法幾何與陰影透視16XOZY 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)中X 值

8、大的點(diǎn) 在左17 【例2.5】已知A點(diǎn)在B 點(diǎn)之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，C點(diǎn)在A點(diǎn)的正后方5毫米,求A、C點(diǎn)的投影。a(c ) a aXZYWYHOb bb 985cc 畫法幾何與陰影透視17 【例2.5】已知A點(diǎn)在B 點(diǎn)之前5毫米，之上9毫18【例2.6】已知點(diǎn)的正投影位置，且、兩點(diǎn)等高，又知點(diǎn)距面20， 點(diǎn)距面10，、兩點(diǎn)間的水平距離為30。求、兩點(diǎn)的投影。有幾解？a20a1030bb1bb1 畫法幾何與陰影透視18【例2.6】已知點(diǎn)的正投影位置，且、兩點(diǎn)等高，又知19判斷重影點(diǎn)的可見性dc(d)cDCa(b)abAB 畫法幾何與陰影透視19判斷重影點(diǎn)的可見性dc(d)cDCa(

9、b)abA20重影點(diǎn)及可見性判別 若兩點(diǎn)位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的重影點(diǎn)。 重影點(diǎn)在三對(duì)坐標(biāo)值中，必定有兩對(duì)相等。從投影方向觀看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè)點(diǎn)的投影遮住而不可見。判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。 畫法幾何與陰影透視20重影點(diǎn)及可見性判別 21a(b)abcdc (d) 畫法幾何與陰影透視21a(b)abcdc (d) 22注：因?yàn)槠矫媸菬o限大的，所 以一般不畫出平面邊框。ZYXYOa aa 畫法幾何與陰影透視22注：因?yàn)槠矫媸菬o限大

10、的，所 以一般不畫出平面邊框。ZYX23各種位置點(diǎn)的投影空間點(diǎn) 點(diǎn)的X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)均不為零，其三個(gè)投影都不在投影軸上。投影面上的點(diǎn) 點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與投影面重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。投影軸上的點(diǎn) 點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影與所在投影軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。與原點(diǎn)重合的點(diǎn) 點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。 畫法幾何與陰影透視23各種位置點(diǎn)的投影 242.2.1 各種位置直線的投影 直線的投影仍為直線(類似性)，特殊情況下為一點(diǎn)(積聚性)。特殊情況下為等長(zhǎng)（全等性）HabDCc(d)AB2.2 直線的投影 畫法幾何與陰影透視242.2.1 各種位置直線的投影

11、 直線的投影仍25 因?yàn)橹本€的投影仍為直線,所以直線的投影可由屬于直線上任意兩點(diǎn)的投影來決定。 作圖時(shí)先作出直線上任意兩點(diǎn)的投影,然后作兩點(diǎn)同面投影的連線即可。aa aXZYWYHOb bb 求直線的投影 畫法幾何與陰影透視25 因?yàn)橹本€的投影仍為直線,所以直線的投影可26（1）投影面的平行線 空間位置 平行于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面。 水平線H 傾斜于V、W 正平線V 傾斜于H、W 側(cè)平線W 傾斜于H、V 畫法幾何與陰影透視26（1）投影面的平行線 空間位置 平行于一個(gè)投影面，傾斜27 水平線 平行于水平投影面的直線XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：a

12、.ab OX ; ab OYW b.ab=ABc.反映、 角的真實(shí)大小SCABSCAB 畫法幾何與陰影透視27 水平線 平行于水平投影面的直線XZYOaa28XZYO 正平線 平行于正立投影面的直線aabbabXabab baOZYHYWAB 投影特性： a.ab OX ; a b OZ b.a b=AB c.反映、角的真實(shí)大小SCABSCAB 畫法幾何與陰影透視28XZYO 正平線 平行于正立投影面的直線aabb29XZYO 側(cè)平線 平行于側(cè)立投影面的直線XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性： a.ab OZ ; ab OYH b.ab =ABc. 反映 、 角的真實(shí)

13、大小SCABSCAB 畫法幾何與陰影透視29XZYO 側(cè)平線 平行于側(cè)立投影面的直線XZa b30從屬于V 面的平行線線ZXabaOYHYWabb從屬于V 面的直線是與V投影面零距離的正平線。OXZYABbbabaa從屬于投影面的直線 畫法幾何與陰影透視30從屬于V 面的平行線線ZXabaOYHYWabb31（2）投影面的垂直線空間位置 垂直于一個(gè)投影面，平行于另兩個(gè)投影面。 鉛垂線H V、W 正垂線V H、W 側(cè)垂線W V、H 畫法幾何與陰影透視31（2）投影面的垂直線空間位置 垂直于一個(gè)投影面，平行于32OXZYb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：a.ab 積聚

14、 成一點(diǎn) b. a bOX ; a b O YW c. a b = a b = ABAB 鉛垂線 垂直于水平投影面的直線 畫法幾何與陰影透視32OXZYb a(b)a abZb Xa b33 正垂線 垂直于正立投影面的直線OXZYb（a）baba投影特性： a. a b 積聚 成一點(diǎn) b. ab OX ; a b OZ c. ab = a b =ABABzX（a）b baOYHYWab 畫法幾何與陰影透視33 正垂線 垂直于正立投影面的直線OXZYb（a34 側(cè)垂線 垂直于側(cè)立投影面的直線OXZYAB投影特性：a.ab 積聚 成一點(diǎn) b. ab OYH ; ab OZ c. b = ab =A

15、Bbaa（b）abZXa（b）baOYHYWab 畫法幾何與陰影透視34 側(cè)垂線 垂直于側(cè)立投影面的直線OXZYAB投影特性35從屬于V 投影面的鉛垂線OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa 畫法幾何與陰影透視35從屬于V 投影面的鉛垂線OXZYABba(b)aa36直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性： 從屬性 若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。 定比性 屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 根據(jù)這兩個(gè)特性,我們可以判斷一個(gè)點(diǎn)是否屬于一條直線,也可以求屬于線上點(diǎn)的投影2.2.2 直

16、線上的點(diǎn)ABbb aaXOcc Cc（1）直線上的一般點(diǎn) 畫法幾何與陰影透視36直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：2.2.2 直線上的點(diǎn)ABbb 37bXaabcc【例2.7】已知線段AB的投影圖，試將AB分成1：2兩段，求分點(diǎn)C的AB。 畫法幾何與陰影透視37bXaabcc【例2.7】已知線段AB的投影圖，試38【例2.8】已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV 畫法幾何與陰影透視38【例2.8】已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。b39ABbbaaXO 定義 跡點(diǎn)是直線與投影面的交點(diǎn)。直線與H面的交點(diǎn)，稱為水平跡點(diǎn)，用M表示；直線與V面的交點(diǎn)，稱

17、為正面跡點(diǎn)，用N表示。 空間位置特點(diǎn) 直線跡點(diǎn)既屬于直線，又屬于投影面。直線的水平跡點(diǎn)M既屬于直線，又屬于H投影面；直線的正面跡點(diǎn)N既屬于直線，又屬于V投影面。M，mN，nmnHV（2）直線上的跡點(diǎn) 畫法幾何與陰影透視39ABbbaaXO 定義 空間位置40 直線跡點(diǎn)的一個(gè)投影屬于直線同面投影，另二投影必屬于相應(yīng)的投影軸。 投影特點(diǎn)ABbbaaXOM，mN，nmnHV 直線的水平跡點(diǎn)M的H投影m屬于直線的H投影，V投影m屬于OX軸，W 投影m屬于OYW軸； 直線的正面跡點(diǎn)N的V投影n屬于直線的V投影， H投影n屬于OX軸，W投影n屬于OZ軸。WmnabYZO 畫法幾何與陰影透視40 直線跡點(diǎn)的

18、一個(gè)投影屬于直線同面投影，另二投影必屬41求作正面跡點(diǎn)N a. 延長(zhǎng)直線的水平投影與OX軸相交于n；b. 過n作垂直于OX軸的投影連線,與直線的正面投影ab的延長(zhǎng)線相交,即確定了n 的位置 。 投影作圖bbaaXO 求作直線AB的水平跡點(diǎn)M及正面跡點(diǎn)N。 求作水平跡點(diǎn)M a.延長(zhǎng)直線的正面投影與OX軸 相交于m； b.過m作垂直于OX軸的投影連線,與直線的水平投影ab 的延長(zhǎng)線相交,即確定了m的位置。mmnn 畫法幾何與陰影透視41求作正面跡點(diǎn)N 投影作圖bbaaXO 求作直線42從屬于投影軸的直線ZXabaOYHYWa（b）bOOXZYABbba（b）aa 畫法幾何與陰影透視42從屬于投影軸

19、的直線ZXabaOYHYWa（b）b43(1)直角三角形法求一般位置線段實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾角的空間分析(2)直角三角形法的運(yùn)用2.2.3 一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角 畫法幾何與陰影透視43(1)直角三角形法求一般位置線段實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾角的空44OXZY一般位置直線的投影特性ABbbabaaZXaaaOYYbbb特性：a b、 a b、a b 均小于實(shí)長(zhǎng) a b、a b、a b 均傾斜于投影軸 不反映 、 、 真實(shí)大小 畫法幾何與陰影透視44OXZY一般位置直線的投影特性ABbbabaa45|zA-zB |ABABbbaaXO（1）直線與H投影面的傾角|zA-zB|XaabbABa

20、b|zA-zB|AB|zA-zB|abHB0V 畫法幾何與陰影透視45|zA-zB |ABABbbaaXO（1）直線與H46（2）直線與V投影面的傾角ABbbaaB0XO|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|ABa b|YA-YB|HVA0 畫法幾何與陰影透視46（2）直線與V投影面的傾角ABbbaaB0XO|Y47XOZYHVWABbbabaaZXa a aOYHYWbbb |XA-XB|XA-XB|A0（3）直線與W投影面的傾角 畫法幾何與陰影透視47XOZYHVWABbbabaaZXa a a48 直角三角形法 用線段在某一投影面上的投影長(zhǎng)作為一條直角邊，再以線

21、段的兩端點(diǎn)相對(duì)于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與投影長(zhǎng)間的夾角即為線段與該投影面的夾角解決的空間幾何問題 求空間直線的實(shí)長(zhǎng)、傾角、以及通過求坐標(biāo)差來求空間直線的投影等直角三角形法的實(shí)質(zhì) 是求解一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及傾角等空間幾何問題的幾何作圖方法。解題時(shí)，只要是全等的直角三角形，無論畫在何位置，都不影響解題結(jié)果。但用什么長(zhǎng)度來作直角邊不能弄錯(cuò)，如求角就應(yīng)以其水平投影長(zhǎng)為直角邊。直角三角形法 畫法幾何與陰影透視48 直角三角形法 用線段在某一投影面上的投影長(zhǎng)作為一條49|zA-zB|【例2.9】已知 線段的實(shí)長(zhǎng)AB和正面投影及B點(diǎn)的水平投影，求它的水平投

22、影。abb Xa bAB|zA-zB|abaa1作圖方法一abAB 畫法幾何與陰影透視49|zA-zB|【例2.9】已知 線段的實(shí)長(zhǎng)AB和正面投影50|yA-yB|【例2.9】已知 線段的實(shí)長(zhǎng)AB和正面投影及B點(diǎn)的水平投影，求它的水平投影。 （續(xù)）aa1|yA-yB|abABb Xa bABO|yA-yB|作圖方法二 畫法幾何與陰影透視50|yA-yB|【例2.9】已知 線段的實(shí)長(zhǎng)AB和正面投影51bbXaaBC(L)cLABczA-zBabSC【例2.10】已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影， 使BC 的實(shí)長(zhǎng)等于已知長(zhǎng)度L。 畫法幾何與陰影透視51bbXaaBC(L)cLAB

23、czA-zBabSC【52 所述直角三角形的四要素：實(shí)長(zhǎng)、傾角、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差。四個(gè)要素中只要知道任意兩個(gè)要素，均可求得另外兩個(gè)要素，但須清楚諸要素之間的關(guān)系。 注意投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差、傾角均對(duì)同一投影面 坐標(biāo)差 X實(shí)長(zhǎng)投影 W面投影 ab傾角 直角三角形法小結(jié) 坐標(biāo)差 Y投影 V面投影 ab傾角 坐標(biāo)差 Z投影 H面投影 ab傾角 用細(xì)實(shí)線畫直角三角形（不是畫直角三角形的投影，而是一個(gè)幾何作圖的方法） 畫法幾何與陰影透視52 所述直角三角形的四要素：實(shí)長(zhǎng)、傾角、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)532.2.4 兩直線的相對(duì)位置 兩直線在空間所處的相對(duì)位置有三種：平行、相交和相叉（即異面）。以下分別討論它們的投影特性。

24、 畫法幾何與陰影透視532.2.4 兩直線的相對(duì)位置 兩直線在空間54（1）平行的兩直線 兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影均相互平行，則此二直線平行。 平行兩線段之比等于其同面投影之比。Xbaadb dccXbaabdcdcABCD 畫法幾何與陰影透視54（1）平行的兩直線 兩平行直線在同一投影面上55 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點(diǎn)屬于兩直線。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影均相交，且交點(diǎn)屬于兩直線，或者說同面投影的交點(diǎn)連線均垂直于相應(yīng)投影軸，則該兩直線相交。（2）相交的兩直線bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk

25、畫法幾何與陰影透視55 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交56 （3）相叉的兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 bXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21 畫法幾何與陰影透視56 （3）相叉的兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直57判斷交叉兩直線重影點(diǎn)的可見性 判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。 投影圖中通?？蓮闹睾贤队疤庨_始，向上或向下（或向左）作投影連線，先遇到的點(diǎn)，坐標(biāo)值較小，應(yīng)加括號(hào)。XOBDACbbaaccdd3 41 24312( )( ) 畫法幾

26、何與陰影透視57判斷交叉兩直線重影點(diǎn)的可見性 判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，58【例2.11】判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性bbcddcXaa3 434121 2( )( ) 畫法幾何與陰影透視58【例2.11】判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性bbcddc59 首先觀看兩側(cè)平線各投影字母順序是否一致，不一致者肯定是交叉二線，一致者再作圖判斷。主要方法補(bǔ)W投影定比利用相交、平行直線均共面oYWYHz【例2.12】判斷兩直線AB和CD是否平行。Xaacddcbbabcd不平行 畫法幾何與陰影透視59 首先觀看兩側(cè)平線各投影字母順序是否一致，不一致者肯60zoYWYHXaacddcbb 1 2 ( ) 23 ( )【例2

27、.13】判斷兩直線的相對(duì)位置。dacb 補(bǔ)W投影判斷二線交叉31 2 (判別重影點(diǎn)的可見性。) V投影重影處一般位置線在前; H投影重影處側(cè)平線在上。 畫法幾何與陰影透視60zoYWYHXaacddcbb 1 2 (61（ ）baacddcbXO2（ ）【例2.14】判斷兩直線的相對(duì)位置。 用定比性判別重影點(diǎn)的可見性同前。 V面投影重影處一般位置直線在前，側(cè)平線在后。 H面投影重影處一般位置直線在下，側(cè)平線在上。 點(diǎn)、屬于側(cè)平線; 點(diǎn)屬于一般位置直線。判別重影點(diǎn)的可見性。定比判斷兩直線交叉1312判別前后判別上下3 畫法幾何與陰影透視61（ ）baacddcbXO2（ ）【例262XZOYHY

28、Wacbabc【例2.15】 （表示方法1） 過點(diǎn)A作直線與直線BC及OZ軸相交。還可換成（與OX或OY軸相交）ee 因OZ是鉛垂線,水平投影積聚成點(diǎn), 位置在O處,所以應(yīng)先過a作水平投影.分析： 畫法幾何與陰影透視62XZOYHYWacbabc【例2.15】 （表示方63XZOYHYWacbabc【例2.16】 （表示方法2） 過點(diǎn)A作直線與直線BC及Z 軸相交。eeddmm 直線AD的AM段在分角，MD段在分角。ff 點(diǎn)F是直線AD上與H、V等距的點(diǎn) 畫法幾何與陰影透視63XZOYHYWacbabc【例2.16】 （表示方642.2.5 直角投影定理 定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直

29、線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二： 相交兩直線在某一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在某一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。直角投影定理 若空間二直線相互垂直（相交或交叉）其中只要有一條直線平行于某一投影面，則此二直線在該投影面上的投影相互垂直；反之，若二直線在某一投影面上的投影相互垂直，且只要其中一直線平行于該投影面，則此二直線在空間必然垂直?；蛘邤⑹鰹槿糁苯怯幸?/p>

30、條邊平行于某一投影面，則在該投影面上的投影反映直角。 畫法幾何與陰影透視642.2.5 直角投影定理 定理一：垂直相交的兩直線，65AHBCcb垂直相交的兩直線的投影HcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab ac已知：ABAC，ABH面求證cab90證明：AB H 而AaH ABAa 又ABAC ABCcaA平面 ABab ab CcaA 故 abbc abc90aDEe(d)( )cee(d)( ) 畫法幾何與陰影透視65AHBCcb垂直相交的兩直線的投影HcXbacba66交叉垂直的兩直線的投影BHAbaMNnmXb a bamnn mAB垂直于MN,且AB平行于H面,則

31、有ab mn 畫法幾何與陰影透視66交叉垂直的兩直線的投影BHAbaMNnmXb a b67【例2.17】過點(diǎn)A 作EF 線段的垂線AB。bbaaOfeefX包含A點(diǎn)的P平面EF, P平面上過A點(diǎn)EF的直線有無數(shù)的解! 相叉垂直APEF 畫法幾何與陰影透視67【例2.17】過點(diǎn)A 作EF 線段的垂線AB。bba68f【例2.18】過點(diǎn)E 作線段AB、CD 的垂線EF。fOcbaabXcddee注意:EF不是AB、CD的公垂線, 投影中垂直相交處上下不對(duì)正 畫法幾何與陰影透視68f【例2.18】過點(diǎn)E 作線段AB、CD 的垂線EF。f69ABb【例2.19】作三角形ABC，ABC為直角，使BC在

32、MN上，且BCAB =23。bcbc=BCnmaaXmnc 畫法幾何與陰影透視69ABb【例2.19】作三角形ABC，ABC為直角，使70【例2.20】作已知線段AB、CD 公垂線EF 的投影及實(shí)長(zhǎng)。a ( b)abcddc（e）eSCff分析:注意公垂線 EFAB(AB V) EFV又 EF CD 而EFV efcd efX軸 畫法幾何與陰影透視70【例2.20】作已知線段AB、CD 公垂線EF 的投影及71【例2.21】 作已知線段AB、CD 公垂線EF 的投影及實(shí)長(zhǎng)。Ocbaa ( b)Xcdd分析:注意公垂線 EFAB(AB H) EFH又 EF CD 而EFH(e)eSCff efc

33、d efX 畫法幾何與陰影透視71【例2.21】 作已知線段AB、CD 公垂線EF 的投影72【例2.22】已知BC與AB垂直，BC等于定長(zhǎng)L，點(diǎn)C屬于H面，abox，求作BC的V、H投影。ababLLZB - ZCcccc分析 由已知條件可知：ABH面，H投影中反映ABBCabbc。又點(diǎn)C屬于H面，即ZC =0，則ZB- ZC能確定，以實(shí)長(zhǎng)L作直角三角形求得BC的H投影長(zhǎng)。投影作圖 過b作ab的垂線以定長(zhǎng)L為斜邊，以ZB- ZC為直角邊作直角三角形，求出bc長(zhǎng)度完成BC的V、H投影 。兩解本講較難題bc 畫法幾何與陰影透視72【例2.22】已知BC與AB垂直，BC等于定長(zhǎng)L，點(diǎn)C屬73【例2

34、.22】 （續(xù)） 已知BC 與AB垂直，BC等于定長(zhǎng)L，點(diǎn)C屬于H面，abox，求作BC的V、H投影。ababLLZB - ZCcccc分析 由已知條件可知： ABH面，H投影中反映直角。又點(diǎn)C屬于H面，即ZC =0，則ZB- ZC能確定，以實(shí)長(zhǎng)L作直角三角形求得BC的H投影長(zhǎng)。投影作圖 過b作ab的垂線以定長(zhǎng)L為斜邊，以ZB- ZC為直角邊作直角三角形，求出bc長(zhǎng)度完成BC的V、H投影 。兩解本講較難題 畫法幾何與陰影透視73【例2.22】 （續(xù)） 已知BC 與AB垂直，BC等于定aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd2.3. 平面的投影 （1）幾何元素表示平面 用

35、幾何元素表示平面有五種形式： 不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)； 一直線和直線外一點(diǎn)； 相交二直線； 平行二直線； 任意平面圖形。742.3.1 平面的表示法 畫法幾何與陰影透視aabcbcbaacbcbaacbcaa（2）用平面的跡線表示平面VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ75 畫法幾何與陰影透視（2）用平面的跡線表示平面VHPPVPHPVPHVHQVQH2.3.2 各種位置的平面的投影 空間平面與投影面的相對(duì)位置，可分為特殊位置與一般位置兩類 （） 特殊位置平面; 空間位置:對(duì)一個(gè)投影面平行或者垂直的平面，簡(jiǎn)稱特殊面。 空間平面與投影面之一垂直稱為投影面垂直面，分別有正垂面、鉛垂面、側(cè)垂面

36、。這類平面在某一投影面上的投影符合第一章中所述的積聚性。 空間平面與投影面之一平行稱為投影面平行面，分別有正平面、水平面、側(cè)平面。這類平面在某一投影面上的投影符合第一章中所述的全等性。 （2）一般位置平面: 空間位置:既不垂直又不平行任一投影面，與投影面處于傾斜狀態(tài)，稱為一般位置平面。這種平面在各投影面的投影符合第一章里所述的類似性。 76 畫法幾何與陰影透視2.3.2 各種位置的平面的投影 VWHPPH鉛垂面投影特性：a. abc積聚為一條線b. abc、 abc為ABC的類似形c. abc與OX、 OY的夾角反映、角的真實(shí)大小 ABCacbababbaccc 投影的垂直面（1）特殊位置平面

37、77 畫法幾何與陰影透視VWHPPH鉛垂面投影特性：a. abc積聚為一條線ABCaVWH鉛垂面跡線表示法PHPPH78 畫法幾何與陰影透視VWH鉛垂面跡線表示法PHPPH78 VWHQQV正垂面 投影特性：a. abc 積聚為一條線 b. abc、abc ABC的類似形 c. abc與OX、 OZ的夾角反映、 角的真實(shí)大小 ababbacccAcCabB79 畫法幾何與陰影透視VWHQQV正垂面 投影特性：a. abc 積聚為一條VWH正垂面的跡線表示法 QQVQV80 畫法幾何與陰影透視VWH正垂面的跡線表示法 QQVQV80 VWHSWS側(cè)垂面投影特性：a. abc積聚為一條線b. ab

38、c、 abc為 ABC的類似形c. abc與OZ、 OY的夾角反映、角的真實(shí)大小 CabABcabbbaaccc81 畫法幾何與陰影透視VWHSWS側(cè)垂面投影特性：a. abc積聚為一條線C側(cè)垂面的跡線表示法VWHSHSZXOYSHY82 畫法幾何與陰影透視側(cè)垂面的跡線表示法VWHSHSZXOYSHY82 VWH水平面投影特性： a. abc、 abc積聚為一條線積聚為一條線，具有積聚性 b. 水平投影abc反映 ABC實(shí)形 CABabcbacabccabbbaacc 投影的平行面83 畫法幾何與陰影透視VWH水平面投影特性：CABabcbacabc正平面VWH投影特性： a.abc 、 ab

39、c 積聚為一條線，具有積聚性 b.正平面投影abc反映 ABC實(shí)形 cabbacbcabacabcbcaCBA84 畫法幾何與陰影透視正平面VWH投影特性：cabbacbca投影特性： a. abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性 b. 側(cè)平面投影abc 反映 ABC實(shí)形 側(cè)平面VWHabbbacccabcbacabcCABa85 畫法幾何與陰影透視投影特性：側(cè)平面VWHabbbacccab（2）般位置平面投影特性 a. abc 、 abc 、 abc 均為 ABC的類似形 b. 不反映、 的真實(shí)角度 abcbacababbaccbacCAB86 畫法幾何與陰影透視（2）般位置平面投影特

40、性abcbacaba【例2.23】判斷題：指出正確答案。1一般位置平面2過Z軸的平面3正平面4鉛垂面(1) ABC為：ababccOXZYW87 畫法幾何與陰影透視【例2.23】判斷題：指出正確答案。1一般位置平面2ababccOX【例2.24】判斷題：指出正確答案。（續(xù)）1一般位置平面2過X軸的平面3正平面4側(cè)垂面(2) ABC為：88 畫法幾何與陰影透視ababccOX【例2.24】判斷題：指出正確答案。（2.3.3 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線 直線在平面上的幾何條件是： 通過平面上的兩點(diǎn)； 通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。平面上的點(diǎn) 點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直

41、線上。 在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成多邊形的投影。89 畫法幾何與陰影透視2.3.3 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線 89 （1）屬于一般位置平面的直線和點(diǎn) 取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點(diǎn)；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點(diǎn)，且平行于屬于該平面的一已知直線。ABCEDabcabcddeeFff 取屬于平面的直線90 畫法幾何與陰影透視（1）屬于一般位置平面的直線和點(diǎn) 取屬于定平面的直線，要 取屬于平面的點(diǎn) 取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面的已

42、知直線ABCDEabcabcddee91 畫法幾何與陰影透視 取屬于平面的點(diǎn) 取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面【例2.25】已知 ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。ddabcabcee92 畫法幾何與陰影透視【例2.25】已知 ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該【例2.26】已知點(diǎn)D在 ABC上，試求點(diǎn)D的水平投影 。ddabcabcee93 畫法幾何與陰影透視【例2.26】已知點(diǎn)D在 ABC上，試求點(diǎn)D的水平投影 。d【例2.27】已知點(diǎn)E在 ABC上，試求點(diǎn)E的正面投影 。edabcabce94 畫法幾何與陰影透視d【例2.27】已知點(diǎn)E在 ABC上，試求點(diǎn)E的正面投影 (2

43、)屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線 屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線，它們至少有一個(gè)投影必重合于具有積聚性的跡線；反之，若直線或點(diǎn)重合于特殊位置平面的跡線，則點(diǎn)與直線屬于該平面。95 畫法幾何與陰影透視(2)屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線 屬于特殊位置平面的取屬于垂直面的點(diǎn)和直線（1）abcabc幾何元素表示平面 k k123123 g gfeefnmmnEF屬于ABCK屬于ABCG不屬于MN不屬于96 畫法幾何與陰影透視取屬于垂直面的點(diǎn)和直線（1）abcabc幾何元素表示平PHbb取屬于垂直面的點(diǎn)和直線（2）aaeffeRV跡線表示平面97 畫法幾何與陰影透視PHbb取屬于垂直面的點(diǎn)和直線（2）aaeffe

44、RVVHabbaSVHbaabAB過一般位置直線總可作投影面的垂直面 過一般位置直線AB作鉛垂面PH 過一般位置直線AB作正垂面SVPPHSVAB98 畫法幾何與陰影透視VHabbaSVHbaabAB過一般位置直線總可作投過一般位置直線作投影面的垂直面(幾何元素表示法)meffeffeen(m)(n)相交二直線表示平面三角形表示平面99 畫法幾何與陰影透視過一般位置直線作投影面的垂直面meffeffeen過一般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法)babaabSVQWPH注意 此處SV、 PH QW分別是三個(gè)平面S、P、Q具有積聚性的跡線，不是一條直線的三個(gè)投影。100 畫法幾何與陰影透視過一

45、般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法)bab過投影面垂直線作平面 (跡線表示法)m（n）mnm （n ）mnm （n）mnm（n）mnPVSVQVRV作水平面作側(cè)平面作正垂面以正垂線為例101 畫法幾何與陰影透視過投影面垂直線作平面 (跡線表示法)m（n）mnm PHeffe過投影面平行線作平面effeeffeeffeSVgg以正平線為例（b）作正垂面（ a）作正平面（c）作一般位置平面102 畫法幾何與陰影透視PHeffe過投影面平行線作平面effeeffe(3)屬于平面的投影面平行線 平面上投影面平行線既在平面上又平行于投影面的直線。 在一個(gè)平面上對(duì)V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又與所屬平面