經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第二章極限與連續(xù)

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第二章極限與連續(xù)第1頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2、數(shù)列極限的定性描述一個(gè)確定的常數(shù)A,增大時(shí)的極限， 收斂于a或稱數(shù)列 記為或則稱常數(shù)A為數(shù)列當(dāng)n無限若當(dāng)n無限增大時(shí),或稱數(shù)列發(fā)散則稱數(shù)列 的極限不存在，第2頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 C=C（常數(shù)列的極限就是這 個(gè)常數(shù)） 設(shè)a0，則特別地 設(shè)q(-1，1)，則 qn=0； 或 不存在。幾個(gè)常用極限第3頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2.1.3函數(shù)的極限自變量變化過程的六種形式:沿x軸的正向與負(fù)向同時(shí)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)沿x軸的正向無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)沿x軸的負(fù)向

2、無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)x從x0點(diǎn)的左側(cè)趨向于x0 x從x0點(diǎn)的右側(cè)趨向于x0 x從x0點(diǎn)的兩側(cè)趨向于x0第4頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二函數(shù)極限主要講兩個(gè)內(nèi)容:1、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限2、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第5頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二1、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限 直觀定義: 設(shè) 在 ( )時(shí)有定義,若 無限增大時(shí), 無限趨近于確定常數(shù)A ,則稱 時(shí), 以A為極限,記為第6頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二由極限的直觀定義可知所以f（x）=的極限是0記為：例：當(dāng) 時(shí)，研究f（x）= 的極限。第7頁

3、，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二直觀定義: 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn) 可以除外),若 以任意方式趨近于 時(shí), 無限趨近于確定常數(shù) ,則稱 時(shí), 以 為極限.記為2、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第8頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二函數(shù)的左右極限的定義函數(shù)的左右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限記作：記作：第9頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二函數(shù)的左右極限的定義定理：第10頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例 設(shè)函數(shù)討論 時(shí)的極限是否存在 . 解: 利用定理 結(jié)合圖示法 .因?yàn)?顯然所以不存在 .第11

4、頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限時(shí)，當(dāng)分段點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同時(shí)，要用左右極限討論解：因?yàn)椋旱?2頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2.2極限的運(yùn)算法則則有法則1 ：若法則2： 若則有第13頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二法則 3： 若且 B0 , 則有推論 1 .( C 為常數(shù) )推論 2 .( n 為正整數(shù) )第14頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二特別：若則有第15頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例1求 解：原式=第16頁，共45頁，2

5、022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例2求 解：原式第17頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二解運(yùn)用法則1、2及推論可得:例3 因此第18頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二解：因?yàn)槔?4，在分式里分母不能為0，所以要對(duì)分子和分母進(jìn)行因式分解，得：第19頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二作業(yè)3 求解: 時(shí),分子分子分母同除以則分母原式第20頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 一般的處理方法是先通分再運(yùn)用前面介紹過的求極限的方法.例 6第21頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二

6、2.3極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限1.夾逼準(zhǔn)則(兩邊夾定理）一 極限存在準(zhǔn)則定理 如果函數(shù)g（x）、f（x）及 h（x）滿足下列條件:那么函數(shù)f（x）的極限存在,第22頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例1解由夾逼準(zhǔn)則得第23頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:第24頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二證：(舍去).)n例2(的極限存在式重根證明數(shù)列第25頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二二、兩個(gè)重要極限1、第26頁，共45頁，2022年，5月20日，18

7、點(diǎn)26分，星期二BD弧BCACsinxxtanx上式同時(shí)除以sinx,得：再進(jìn)一步處理，得：上式子對(duì)于也成立由于由夾逼準(zhǔn)則得：第27頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例1. 求解: 第28頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例2 （1）解:第29頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2、定義第30頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2、 無窮大量 1、 無窮小量 2.4、無窮小與無窮大,無窮小的比較3、無窮小的比較第31頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二當(dāng)1、 無窮小量定義1 . 若

8、時(shí) , 函數(shù)則稱函數(shù)例如 :函數(shù) 當(dāng)時(shí)為無窮小;函數(shù) 時(shí)為無窮小;為時(shí)的無窮小 量.簡稱無窮小第32頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2、 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 3、常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .4、有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小 .無窮小運(yùn)算法則1、有限個(gè)無窮小的代數(shù)和還是無窮小說明: 無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小 !第33頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二其中 為時(shí)的無窮小量 . 定理 2.1 . ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )注：時(shí)結(jié)論也成立。第34頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定義2 . 若時(shí) ,

9、函數(shù)的絕對(duì)值無限增大，為時(shí)的無窮小大量.簡稱無窮大則稱記為：2.4.2無窮大第35頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2、 極限非零的變量與無窮大之積仍為無窮大3、無窮大與無窮小之積仍為無窮大無窮大的性質(zhì)1、有界變量與無窮大之和仍為無窮大第36頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小 ;若為無窮小, 且則為無窮大.則據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理2.2. 在自變量的同一變化過程中,說明:第37頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例： 求解(由無窮小與無窮大的關(guān)系)

10、 x = 1 時(shí)分母 = 0 , 分子0 ,因第38頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二2.4.3、無窮小的比較例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限第39頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定義2.11：設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小，記作=0（ ） 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價(jià)無窮小，記為 是 的 k 階無窮小第40頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二等價(jià)無窮小替換定理2.3(等價(jià)無窮小替換定理)證第41頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二常用等價(jià)無窮小:第42頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例1解第43頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例2解第44頁，共45頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二內(nèi)