142用空間向量研究距離、夾角問題課件

1、1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題1.理解空間角、空間距離的概念.2.會(huì)用向量法求空間角.3.會(huì)用向量法求空間距離.高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè) 人教A版1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題1.理解空間角、空間1.直線外一點(diǎn)到直線的距離如圖,直線l的單位方向向量為u,設(shè)=a,則向量在直線l上的投影向量=(au)u.在RtAPQ中,由勾股定理,得點(diǎn)P到直線l的距離PQ=.用空間向量研究距離1.直線外一點(diǎn)到直線的距離用空間向量研究距離如圖,已知平面的法向量為n,A是平面內(nèi)的定點(diǎn),P是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)P作平面的垂線l,交平面于點(diǎn)Q,則n是直線l的方向向量,且點(diǎn)P到平面的距離PQ=.2.平面外一點(diǎn)

2、到平面的距離如圖,已知平面的法向量為n,A是平面內(nèi)的定點(diǎn),P是平面空間角向量求法空間角的范圍異面直線所成的角若異面直線l1,l2所成的角為,其方向向量分別是u,v,則cos =|cos|= =直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面所成的角為,直線AB的方向向量為u,平面的法向量為n,則sin =|cos|= 用空間向量研究空間角空間角向量求法空間角的范圍異面直線若異面直線l1,l2所成的續(xù)表空間角向量求法空間角的范圍兩個(gè)平面的夾角若平面,的法向量分別是n1,n2,則平面與平面的夾角即為向量n1,n2的夾角或其補(bǔ)角 .設(shè)平面與平面的夾角為,則cos =|cos|= = 續(xù)表空間角向量求法空間角的范圍

3、兩個(gè)平面若平面,的法向量分1.直線與平面所成的角和該直線的方向向量與平面的法向量的夾角互余.()提示:當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量的夾角是銳角時(shí),直線與平面所成的角與其互余.2.若一條直線在某一平面外,則該直線上任一點(diǎn)到平面的距離d必為一個(gè)正數(shù).()提示:直線在平面外也有可能與平面相交.當(dāng)直線與平面相交時(shí),該說法不成立.3.平面的斜線與平面所成的角是銳角.()4.直線與平面所成角的范圍是.()5.若兩個(gè)平面的法向量分別為n1,n2,則這兩個(gè)平面的夾角與兩個(gè)法向量的夾角一定相等.()提示:也可能互補(bǔ).6.設(shè)n是平面的法向量,AB是平面的一條斜線,則點(diǎn)B到的距離為d=.()提示:當(dāng)A在平面內(nèi),B

4、在平面外時(shí)結(jié)論才正確.判斷正誤，正確的畫“” ，錯(cuò)誤的畫“ ” 。1.直線與平面所成的角和該直線的方向向量與平面的法向量的夾用空間向量研究距離問題 用向量法求點(diǎn)到直線的距離的兩種思路(1)將求點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模的問題,即利用待定系數(shù)法求出垂足的坐標(biāo),然后求出向量的模,這是求各種距離的通法.(2)直接套用點(diǎn)線距公式求解.注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.用空間向量研究距離問題 用向量法求點(diǎn)到直 點(diǎn)面距、線面距、面面距的求解方法線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距,求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行.點(diǎn)面距的求解步驟:(1)過已知點(diǎn)求出該平面的一個(gè)法向量;

5、(2)找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量;(3)求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值,再除以法向量的模,即可求出點(diǎn)到平面的距離.兩條異面直線之間的距離也可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離. 點(diǎn)面距、線面距、面面距的求解方已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.思路點(diǎn)撥思路一:(1)先建立合適的空間直角坐標(biāo)系,再作DH平面PEF,垂足為H,由線面垂直關(guān)系求得的坐標(biāo),從而求出的模,即點(diǎn)D到平面PEF的距離.(2)設(shè)AH平面PEF,求出|即可.思路二:(1)求出平面PEF的法向

6、量n,利用公式d=求點(diǎn)D到平面PEF的距離.(2)由AC平面PEF,將直線AC到平面PEF的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面PEF的距離求解.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,PD平面ABCD,且PD=1解析解法一:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E,F .解析解法一:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D=,=,=(0,0,1),作DH平面PEF,垂足為H,則=x+y+z=,其中x+y+z=1,=,=,=x+y+-z=x+y-z=0.同理,=x+y-z=0,又x+y+z=1,x=y=,z=.=,|=.因此,點(diǎn)D到平面PEF的距離為.(2)設(shè)AH平

7、面PEF,垂足為H,則,由(1)知=,=,=,=(0,0,1),所以設(shè)=(2,2,3)=(2,2,3)(0),則=+=+(2,2,3)=.=42+42-+92=0,即=.=(2,2,3)=,|=.又AC平面PEF,AC到平面PEF的距離為.解法二:(1)由解法一建立的空間直角坐標(biāo)系知=,=,=,設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則解得令x=2,則n=(2,2,3),所以設(shè)=(2,2,3)=(2,2,3)(0),點(diǎn)D到平面PEF的距離d=.(2)AC平面PEF,直線AC到平面PEF的距離即點(diǎn)A到平面PEF的距離.又=,點(diǎn)A到平面PEF的距離d=.直線AC到平面PEF的距離為.點(diǎn)D到平面P

8、EF的距離d=.利用空間向量求空間角利用向量法求空間角時(shí),要注意空間角的范圍與向量夾角范圍的區(qū)別.1.兩異面直線所成角的向量求法(1)取定基底法:在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中,我們經(jīng)常采用取定基底的方法.在由公式cos=求向量a、b的夾角時(shí),關(guān)鍵是求出ab及|a|與|b|,一般是把a(bǔ)、b用一個(gè)基底表示出來,再求有關(guān)的量.(2)用坐標(biāo)法求異面直線的夾角的方法:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;找到兩條異面直線的方向向量并寫出其坐標(biāo)形式;利用向量的夾角公式計(jì)算兩直線的方向向量的夾角;結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角.2.求直線與平面的夾角的方法與步驟方法一:求出直線在平面內(nèi)的射影的方向向量,

9、將直線與平面的夾角轉(zhuǎn)化為兩向量夾角計(jì)算.利用空間向量求空間角利用向量法求空間角時(shí),要注意空間角的范圍方法二:利用平面的法向量求直線與平面的夾角,基本步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線的方向向量;(3)求平面的法向量n;(4)計(jì)算:設(shè)線面角為,則sin =.3.兩個(gè)平面夾角的向量求法設(shè)n1,n2分別是平面,的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面的夾角,用坐標(biāo)法的解題步驟如下:(1)建系:依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)求法向量:在建立的坐標(biāo)系下求兩個(gè)面的法向量n1,n2;(3)計(jì)算:cos =.方法二:利用平面的法向量求直線與平面的夾角,基本步驟:利用空間

10、向量解決空間角的探索性問題1.利用向量解決與空間角有關(guān)的探索性問題的步驟(1)假設(shè)存在(或結(jié)論成立);(2)建立空間直角坐標(biāo)系,列出空間點(diǎn)的坐標(biāo);(3)構(gòu)建有關(guān)向量;(4)結(jié)合空間向量,利用空間角的計(jì)算公式列方程求解;(5)作出判斷.2.空間角的探究性問題要注意兩個(gè)方面(1)空間角的正確表示,即利用直線的方向向量和平面的法向量表示空間角時(shí)要注意兩者的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化,如線面角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值等;(2)利用方程判斷存在性時(shí),要特別注意題中的條件限制.利用空間向量解決空間角的探索性問題1.利用向量解決與空間角有如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB

11、=AC=1,ABAC,M,N,Q分別是CC1,BC,AC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1B1上運(yùn)動(dòng),且=(0,1).(1)證明:無論取何值,總有AM平面PNQ;(2)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC的夾角為60?若存在,試確定點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說明理由.如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=解析(1)證明:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),M,N,Q,則=(1,0,0),由=(1,0,0)=(,0,0),可得點(diǎn)P(,0,1),所以=,=.又=,所以=0+-=0,=0+-=0,所以,.即AMPN,AMPQ,又PNPQ=P,且PN,PQ平面PNQ,所以AM平面PNQ,所以無論取何值,總有AM平面PNQ.解析(1)證明:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,A(2)設(shè)n=(x,y,z)是平面PMN的法向量,由(1)得=,=(1,0,0),則即得令x=3,所以n=(3,1+2,2-2).取平面ABC的一個(gè)法向量m=(0,0,1).假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,則|cos|=cos 60=,化簡(jiǎn)得42-14+1=0,解