正方形中常見輔助線例談

1、正方形中常有輔助線例談一、截長補(bǔ)短法例1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)是AD，DC上的點(diǎn)，且EBF=0，則45EF與CF+AE相等嗎？說明原由.解析：可考慮將FC延長至P，使CP=AE，這樣，只需說明EF=PF即可.解：延長FC到P，使CP=AE，連接BP，四邊形ABCD是正方形，AEDAB=BC，A=BCD=BCP=900，AE=CP，ABECBP.FBE=BP，ABE=CBP，BCABC=ABE+EBC=900，圖1PCBP+EBC=900，即EBP=900.EBF=450，PBF=EBP-EBF=900-450=450.EBF=PBF=450.BE=BP，BF=BF，EBFPB

2、F，EF=PF.PF=PC+CF，CP=AE，EF=CF+AE.說明:想說明一條線段等于兩條線段的和，有兩種方法：截取法和延長法.截取法是在長線段中截去一短線段，再說明節(jié)余部分等于另一短線段;延長法是將一短線段延長，使整條線段等于兩短線段的和，再說明整條線段等于長線段.經(jīng)過全等說明兩線段相等是常用方法.二、有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長構(gòu)造全等三角形例2：如圖2，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP.求證：AQ均分DAP.解析：由AP=CD+CP平時(shí)采納截長補(bǔ)短的方法.即在PC的延長線上截一條線段等于CD，但若延長AQ交BC的延長線于

3、E，可達(dá)到同樣收效，即也可得證CD=CE.證明：延長AQ交BC的延長線于E.AD四邊形ABCD為正方形，1QAD=CD，ADBC，DCBC，D=900，2D=DCE=900.BPCE圖1又1=2，DQ=CQ.ADQECQ.AD=EC，DAQ=E.AP=PC+CD，AP=PC+AD=PC+CE=PE.PAQ=E.DAQ=PAQ.AQ均分DAP.說明：有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把它延長構(gòu)造全等三角形，為證題創(chuàng)立條件.三、有正方形一邊中點(diǎn)常常取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造圖形例3：已知：如圖3，在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，MNMD，BN均分CBE并交MN于N.求證：MD=MN.解析：要證MD=M

4、N，可證它們所在的三角形全等，而它們所在AMD與MBN不可以能全等，而由M為AB中點(diǎn)，想到如取AD中點(diǎn)，則有DP=MB，再連接PM，這時(shí)可證DPM與MBN全等.1證明：取AD的中點(diǎn)P，連接PM，則DP=PA=AD.2四邊形ABCD為正方形，AD=AB，A=ABC=900，1+AMD=900，2+AMD=900.1=2.M為AB中點(diǎn)，1AM=MB=AB.2DP=MB，AP=AM.APM=AMP=450.DPM=1350.BN均分CBE，CBN=450.MBN=MBC+CBN=900+450=1350.DPM=MBN.DPMMBN.MD=MN.思慮：若把M為AB中點(diǎn)改為M為AB上任一點(diǎn)（不與DCP1N2AMB