函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關系

1、函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關系題1(2010年高考遼寧卷理科第21(2)題)已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21,a1.若是對任意x1,x2(0,),f(x1)f(x2)4x1x2，求a的取值范圍.(答案：a2.)題2(2009年高考遼寧卷理科第21(2)題)已知函數(shù)f(x)1x2ax(a1)lnx,a1.證明：若a5，則對任意x1,x2(0,),x1x2，2有f(x1)f(x2)1.x1x2題3(2009年高考浙江卷理科第10題)對于正實數(shù)，記M為滿足下述條件的函數(shù)f(x)構成的會集：x1,x2R且x2x1，有(x2x1)f(x2)f(x1)(x2x1).以下結論中正確的選項是()(答

2、案：C.)A.若f(x)M1,g(x)M2，則f(x)g(x)M12B.若f(x)M1,g(x)M2且g(x)0，則f(x)Mg(x)12C.若f(x)M1,g(x)M2，則f(x)g(x)M12D.若f(x)M1,g(x)M2且12，則f(x)g(x)M12題4(2006年高考四川卷理科第22(2)題)已知函數(shù)f(x)x22alnx(x0),f(x)的導函數(shù)是f(x)，a4,x1,x2是不相等的正數(shù)，求x證：f(x)f(x)xx2.121深入研究這四道高考題(除題8是選擇壓軸題外，其余三道都是解答壓軸題的最后一問)，可得函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關系：定理設aR，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可

3、導，則(1)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a；有ax1x2(2)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a且區(qū)間I0I，當有ax1x2xI0時f(x)a不能夠恒成立；1(3)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a；有ax1x2(4)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a且區(qū)間I0I，當有ax1x2xI0時f(x)a不能夠恒成立；(5)x1,x2I,x1f(x1)f(x2)axI,f(x)a；x2有x1x2(6)x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)axI,f(x)a且區(qū)間I0I，x1x2當xI0時f(x)a

4、及f(x)a均不能夠恒成立；(7)x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)axI,f(x)a；x1x2(8)x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)axI,f(x)a且區(qū)間I0I，x1x2當xI0時f(x)a及f(x)a均不能夠恒成立.為證明定理，須介紹兩個引理，它們在數(shù)學解析中均可找到(比方文件1,2)：引理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)在I上單調不減(不增)的充要條件是f(x)()0在xI時恒成立.(注：若x1,x2I,x1x2有f(x1)()f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上單調不減(不增).)引理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)在I上嚴格遞加(遞減)在I上

5、f(x)()0且對于任意的區(qū)間I0I，當xI0時f(x)0不能夠恒成立.(注：若x1,x2I,x1x2有f(x1)()f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上嚴格遞加(遞減).)定理的證明設g(x)f(x)ax,h(x)f(x)ax.(1)左邊x1,x2I,x1x2有f(x1)ax1f(x2)ax20 x1,x2I,x1x2有g(x1)g(x2)0g(x)在Ix1x2x1x2上單調不增g(x)f(x)a0右邊.2(2)左邊x1,x2I,x1x2有f(x1)ax1f(x2)ax20 x1,x2I,x1x2x1x2有g(x1)g(x2)0g(x)在I上嚴格遞減g(x)f(x)a0(用引理2，這里省x1x

6、2去了一些文字的表達，下同)右邊.同(1)可證.同(2)可證.(5)左邊x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)x1,x2I,x1x2有有aax1x2g(x1)g(x2)0 x1x2g(x)在I上單調不增右邊.h(x1)h(x2)h(x)在I上單調不減0 x1x2(6)左邊x1,x2f(x1)f(x2),x2I,x1x2有I,x1x2有aax1x1x2g(x1)g(x2)x10 x2h(x1)h(x2)x10 x2(7)x1,x2g(x)在I上嚴格遞減右邊.h(x)在I上嚴格遞加x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)ax1x2I,x1x2有f(x2)f(x1)a或f(x2)f(x1)a

7、x2x1x2x1x1,x2I,x1x2有g(x1)g(x2)或h(x1)h(x2)xI,g(x)0或h(x)0 xI,f(x)a或f(x)axI,f(x)a(8)同(7)可證.題5已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a,bR)的圖象上任意不同樣的兩點連線的斜率小于1，求a的取值范圍.解由定理9(2)，得f(x)3x22ax1在xR時恒成立，即3x22ax10恒3成立，所以(2a)2120,a3,3.所以所求a的取值范圍是3,3.注由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不變.還可考據(jù)：當a3,b0時，f(x)x33x2的圖象上任一割線的斜率小于1，但圖象在拐點(即凹凸性的分界點

8、，其二階導數(shù)值為0，拜會文件2或3)1處切線的斜率為1(圖1).3圖1題6(2013年福建省廈門一中月考試題)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a,bR)若函數(shù)yf(x)的圖象上任意兩個不同樣的點連線斜率小于1，求證：3a3；(2)若x0,1，且函數(shù)f(x)的圖象上任意一點處的切線斜率為k，試證明k1的充要條件為1a3.由題5的結論可知，題6的第(1)問是錯題(可得第(2)問是正確的).下面用定理給出題14的簡解.題3的簡解M即滿足條件“x1,x2f(x1)f(x2)”的函數(shù)f(x)構R，有x2x1成的會集.由定理(6)，得M即滿足條件“f(x)(xR)且對于任意的區(qū)間I0I，當xI0時f(x)a

9、及f(x)a均不能夠恒成立”的函數(shù)f(x)的會集.由此及絕對值不等式可證得選項C成立(且可消除選項A、B、D)，所以選C.題2的簡解由定理(4)知只需證明“當x0時f(x)1且f(x)1只幸虧一些孤立點上成立”：a1f(x)xa2a1aa1(2a1)11x4所以要證結論成立.(并且還可得：當1a5時，結論也成立.)題1的簡解a12(0).由定理(7)知題設即f(x)xaxxa1f(x)2ax4在x0時恒成立，由a1及均值不等式可得所求a的取值范x圍是(,2.注下面把題1中的題設“a1”改成“aR”，再來求解：此時題意即“a12ax4在x0時恒成立，求a的取值范圍”.x當a時，已得a2；1當1a0時，可得函數(shù)g(x)a12(0)是單調減函數(shù)，可得此時不滿足xaxx題設；當a0時，由均值不等式可得a1.所以所求a的取值范圍是(,21,).題4的簡解設g(x)f(x)2x2ag(x1)g(x2)x2，即證x11.xx2由定理(8)知，只需證明：當x0時g(x)1，即24a1(x0)x3x2只需證24a1(x0)x3x2即x222a(x0)