穩(wěn)定性判別方法

1、5.3穩(wěn)定性判別方法1.線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別定理5.6設(shè)x (t) = Ax (t).(5.11)(i)平衡點(diǎn)穩(wěn)定=A的所有特征值的實(shí)部非正,且實(shí)部為零的特征值對(duì)應(yīng)著一階約當(dāng)塊;(ii)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定=A的所有特征值實(shí)部為負(fù).證(i)因是線性系統(tǒng)，只需證明平衡點(diǎn)x = 0的穩(wěn)定性.設(shè) T iAT=J =m(注:與能控標(biāo)準(zhǔn)變換不同)其中= 1,2, m為約當(dāng)塊，則 Ie/T ix 0eJtmx(Z) = eAtx T ix 0eJtmWe 的非零元素形如e e =a； 1 0a Z+JP z 0a +yp z約當(dāng)塊階數(shù)減1.eJt LieJt Li(s -X k 01(s - X )21 y

2、-X J若x 0,使e K, t 0.其中 A廠一一 jj故穩(wěn)定;對(duì)礦0，取S =8/K.當(dāng)儼-0尸時(shí).有 x(t忙護(hù)可 K0ii，故穩(wěn)定;(ii)若全為a 0,則全lim化ea/+鄧/ = 0今漸近穩(wěn)定. it +oo例5.1設(shè)系統(tǒng)矩陣分別如下：4 =。1; (2)A = 1 .(3)4 - 1L0 0，5 枷-29( )_-1 -2 試判別* =0的穩(wěn)定性.解，由A(人)= L,得入=0(2重),x = 0不穩(wěn)定.由A(X) = X(X + 2),得久=2 0)01n1n0的所有根的具有負(fù)實(shí)部=下列不等式同時(shí)成立:aa0a a10 = a 0, A=10 0,A = aaa 0,112a

3、a332132aaa543aa000i0 . aa 2 aa0A =310 0.n aaaaa2 n -12 n - 22 n - 32 n - 4* * *n其中“ =a=a = 0.n+1n+2. . 2 n -1例5.2驗(yàn)證系統(tǒng)矩陣為 TOC o 1-5 h z -2 1 -1 婦1-1011-1時(shí)，x = 0是漸近穩(wěn)定的.e 證由 人 +2-11I 人 I A1= -1人 +10 =人 3 + 4 人 2 + 5人 + 3,-1-1人 +1（a = 10）0得a 0及0A = a 4 0,i i=17 =17 0, TOC o 1-5 h z 10a a32A a A 51 0,33

4、2由Hurwitz判別法今所有特征值有負(fù)實(shí)部今漸近穩(wěn)定.對(duì)非線性系統(tǒng)，常用李雅普諾夫判別法.2.穩(wěn)定性的李雅普諾夫判別法（介紹）(1)李雅普諾夫第一法(一階近似) 設(shè)n維非線性系統(tǒng)為x (t) = F (x (t), t), F (x , t) = 0 且n維向量函數(shù)F (x, t)對(duì)x有連續(xù)偏導(dǎo). 將F (x, t)在x處展成泰勒級(jí)數(shù)，得edFx =xr(5.12)(5.13)(x x ) + R(x (5.12)(5.13)(x x ) + R(x x ). eex=xex - x |的高階項(xiàng)，而af1iaf1i繭2iar 2#2a 茵 1M n #2n藥 n k 茵 1M n #2n藥

5、n k n稱為雅可比矩陣.令 x = x - x 和 A = etxr,得線性化方程:x=xex = Ax.(5.14)李雅普諾夫給出下述結(jié)論:(i)若A的所有特征值實(shí)部為負(fù),則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x是漸近穩(wěn)定的，且與戰(zhàn)無(wú)關(guān); e(ii)若A的特征值中有一個(gè)具有正實(shí)部,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x是不穩(wěn)定的；e(iii)若A的特征值中有一個(gè)實(shí)部為零，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x的穩(wěn)定性與&有關(guān).e例5.3設(shè)非線性系統(tǒng)為I x = x 一 x x , 1112Ix = x + x x , 2212試判平衡點(diǎn)x =。0的穩(wěn)定性.e解由x = 0處的雅可比矩陣為 e1 x2x21 0 0 1在x = 0處不穩(wěn)定. e1 0 0 1

6、在x = 0處不穩(wěn)定. e=i(2)李雅普諾夫第二法(虛構(gòu)”能量”函數(shù))=i若系統(tǒng)能量隨時(shí)而衰，則穩(wěn)定.如 my(t) = -ky(t)-. y(t)m=1, k=1,ii =1y (t)+yf( t)+y (t) = 0X1 = y (位置),今 X = y(速度)， 2x1x2平衡線J. y這是一個(gè)在x = 0處穩(wěn)定的系統(tǒng). ex1x2平衡線J. y作一個(gè)”能量”函數(shù)V (x1( t), x 2( t) = x2( t) + x 2( t ) 0,(正定) 則(勢(shì)能，動(dòng)能)V = 2xx + 2x x代入系統(tǒng)方程 Vf(t) = -2x2 v 0t 112 22V ( x , x )單調(diào)遞

7、減趨于0(因V (0,0) = 0且連續(xù)) 12這樣的V (xi? x 2)就稱為李雅普諾夫函數(shù)對(duì)一般系統(tǒng)，設(shè)法構(gòu)造如此標(biāo)量函數(shù)V(x) 0. 下面給出一般標(biāo)量函數(shù)的正定、負(fù)定等概念.設(shè)標(biāo)量函數(shù)V(x), x G Rn且V(0) = 0.若對(duì)任意x黃0,有V(x) 0(2 0),則稱V(x)是正定的(半正定的)；V(x) V0( 0、也有V(x) V 0,則稱V(x)是不定的.V(x)根據(jù)系統(tǒng)方程，常取為x的二次型函數(shù)，艮口V (x) = xt Px.P是實(shí)對(duì)稱矩陣，此時(shí)V(x)的正、負(fù)定性與P 一致.而P的正定性由其主子行列式為正負(fù)來(lái)判定 如匕(x) = -(x1 + x2)2是半負(fù)定的;穹

8、X) = (X1 + x 2)2 +捋是半正定的.下面介紹主要結(jié)果.定理5.8設(shè)系統(tǒng)為(5.15)x (t) = F (x(t), t) , t t .(5.15)X = 0是其平衡點(diǎn). e若存在標(biāo)量函數(shù)V(x)(具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù))，滿足V(x)是正定的；沿著方程(5.15)計(jì)算的V (x)是半負(fù)定的.則平衡點(diǎn)x = 0是穩(wěn)定的. e定理5.9設(shè)系統(tǒng)為(5.15),平衡點(diǎn)為x = 0.e若有標(biāo)量函數(shù)V(x)(具有連續(xù)的一階偏導(dǎo))，滿足V (x)是正定的；沿著方程(5.15)計(jì)算的V(x)是負(fù)定的；或者(ii)沿著方程(5.15)計(jì)算的V(x)是半負(fù)定的，且對(duì)Vx (10)壬0來(lái)說(shuō),V (x

9、)不恒為零，則平衡點(diǎn)x = 0是漸近穩(wěn)定的.e進(jìn)一步，若當(dāng)HX| T+8時(shí),有V(X) |T+, 則平衡點(diǎn)x =0是全局漸近穩(wěn)定的.e注對(duì)(ii)的說(shuō)明.由于V(x)為半負(fù)定，所以在x莉時(shí)，或許有V(x) = 0,可能會(huì)出現(xiàn)下圖5.5的兩種情形:可能會(huì)出現(xiàn)下圖5.5的兩種情形:1=1定理5.10系統(tǒng)方程、平衡點(diǎn)同定理5.9中假設(shè)相同.若標(biāo)量函數(shù)V (x)(具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)).滿足(i) V(x)是正定的;(ii)沿著狀態(tài)方程(5.15)計(jì)算的V ( x)也是正定的;則平衡點(diǎn)x =0是不穩(wěn)定的.注 上述定理?xiàng)l件是充分的.例5.4設(shè)非線性系統(tǒng)為x = x 一 x (x2 + x2)2112x =

10、一x 一 x (x2 + x2)1212試分析穩(wěn)定性.解由F(x,t) = 0,得x = 0是其唯一的平衡點(diǎn).e構(gòu)造V (x) = x2 + x 2.是正定的.對(duì)V (x)關(guān)于t求導(dǎo)，得dV此 5V丘V (x) =1 +2 = 2x x + 2x x . TOC o 1-5 h z 廿dr 茵dr112 212代入狀態(tài)方程得V ( x ) = - 2( x 2 + x 2)2 今負(fù)定12今V (x)為一李雅普諾夫函數(shù),且當(dāng) xii T+8時(shí)，有| V(x) T+今x = 0為全局漸近穩(wěn)定（而且是一致的）. e對(duì)線性定常系統(tǒng)，有定理5.11設(shè)線性定常系統(tǒng)為x （t） = Ax （t）,則平衡點(diǎn)x

11、 = 0是漸近穩(wěn)定的69 e對(duì)任意正定陣o ,矩陣方程A P + P = Q （李雅普諾夫方程）（5.16）有唯一正定陣解P.由于必要性證明涉及過(guò)多知識(shí)，故只證充分性. 證(充分性)由 VQ 0, 3P 0滿足(5.16),作V (x) = x Px.對(duì),求導(dǎo)且將系統(tǒng)方程代入，得V (x) = XTPx + XTPx = (Ax)TPx + XTP (Ax ) =xT (ATP + P) x = 一 xTQx， 9V (x:)負(fù)定，且當(dāng)町| T斯時(shí)，有。V (x )|廠做, 9平衡點(diǎn)x = 0為全局漸近穩(wěn)定(且一致).(注：實(shí)用中，漸近穩(wěn)定為主要特性) 例5.5設(shè)系統(tǒng)為,、1,、xC)= _2 _3 -()試分析x = 0的穩(wěn)定性 e解設(shè)代入矩陣方程(5.16)式，得0 -2懷句+ % 句。1 =1 0 L1 -3JLpi，22Lpi，22北一2 -3L 0 -1 展開并令對(duì)應(yīng)元素相等，得唯一解它的各主子式行列式 5 一 1 一 A = 0, A = 0. 1424今。正定今x = 0是漸近穩(wěn)定. e且系統(tǒng)是線性定常的 所有平衡點(diǎn)是一致全局漸近穩(wěn)定. 注正定陣Q的選擇盡可能簡(jiǎn)單.若對(duì)某Q 0,矩陣方程(5.16)無(wú)解，則平衡點(diǎn)尤=