空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算

1、空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算(A)9.7空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算（B）【教學(xué)目標(biāo)】掌握空間點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo) 運(yùn)算法則、空間中兩點(diǎn)間距離及兩向量的夾角公 式的坐標(biāo)、Z 1洞 b的坐標(biāo)表示；會(huì)求平面的法a , a,向量。培養(yǎng)學(xué)生的建系意識(shí)，并能用空間向量知 識(shí)解決有關(guān)問題?！局R(shí)梳理】空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律: TOC o 1-5 h z 汗r /、r ” ，則Ur r / ,7,、，右a = (a , a , a ),b = (b , b , b )a + b = (a + b , a + b , a + b )123123112233r r, r,a - b = (a 一 b , a -

2、b , a - b )人a =(人a ,人a ,人a )(人 e R)112233123r r, r r,a - b = a b + a b + a ba / b = a =Mb , a =Mb , a =Mb (人 e R)1 12 23 3112233r ra 1 b = a b + a b + a b = 0 *1 12 23 3若 一 ,則皿婦 若A(x , y , z ), B(x , y , z ) 八AB = (x - x , y - y , z - z )111222212121一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示 這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的 坐標(biāo)2模長公式：若晶

3、=(a ,a ,a金(b ,b ,b )r則 I a r則 I a 1=a - a = .：a 2 + a 2 + a 2， I b =、,；b b = b2 + b 2 + b 2 123* 123 夾角公式：.r rr rab + ab + abcos a b=1 12 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2、:b2 + b 2 + b 223 、123兩點(diǎn)間的距離公式：若若a, )b(, , z)，A(x , y , z ), b(x , y , z )1 1 1222uur ,-iur TOC o 1-5 h z 則 I AB l=： AB2,=，J(x - x )2 + (y

4、 - y )2 + (z - z )2212121或刁 =：(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 A, B v 212121【點(diǎn)擊雙基】若 a= (2x, 1, 3), b= (1,2y, 9),如 果a與b為共線向量，則A.x=1, y=1B.x= 1, y= 1 TOC o 1-5 h z 22C.x= 1, y= 3D.x= 1, y= 36262解析：Va= (2x, 1, 3)與 b= (1,2y， 9)共線，故有2x = 1 = 3 .,.x= 1, y= 3 .應(yīng)選 C.62答案：C在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x, y, z), 下列敘述中正確的個(gè)

5、數(shù)是點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1 (x, y, z) 點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 P2 (x,y,z) 點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的 坐標(biāo)是P3 (x,y, z) 點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4 (x,y,z)A.3B.2C.1D.0解析：P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1 Cx,y,-z),關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2 (-x, y, z), 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P3 (-x, y,-z).故 錯(cuò)誤.答案：C3.已知向量a= (1, 1, 0), b= (-1, 0, 2), 且ka+b與2a-b互相垂直，則k值是B. 15C. 35A.1B. 15C. 35D. 70) + (-0) + (-1,

6、 0, 2) (1, 1, 0)-.兩向量垂直，解析：ka+b=k (1, 1,=(k-1, k, 2), 2a-b=2(1, 0, 2) = (3, 2,-2).*3 (k1)+2k2X2=0. Ak= 7.5答案：D4.已知空間三點(diǎn)A (1, 1, 1)、B (-1, 0,4)、C (2,-2, 3),則與,的夾角。的大小AB CA是.解析：AB = (-2,-1, 3), cA= (-1, 3, -2),COS AB , CA= (-2) X (-1) + (-1) X 3 + 3 X (-2) v14 . 函=工=-1 , 危ab , C=120 .142答案：1205.已知點(diǎn)A（1，

7、2, 1）、B （-1，3, 4）、D（L 1 1）uun uuu 則| |的，/，！ AP=2PB，） pd解析：設(shè)點(diǎn)P （x，y，z），則由AP=2PB，得AP PB（x1，y2, z1） =2 （1x，3y，4z），x -1 = -2 2xx -1 = -2 2x,y 2 = 6 2y,解得 y =獸乙-1 = 8 2 z,x =-,8,-PD 3z = 3,貝。1 PD= ：（ 3 1）2+（3 1）2+ （3 1）2.答案：斤丁【典例剖析】【例 1】 已知AB = (2, 2, 1)，AC= (4, 5，3)，求平面ABC的單位法向量.解：設(shè)面ABC的法向新=(x, y, 1),則n

8、AB=板且1 n 1=01)即單位法向量n =AC0I三wI=J且n ,即小ACI2r+2y+1=d,=12 A B y = -1, n = 4x+5y+3=0,特別提示一般情況下求法向量用待定系數(shù)法.由于法 向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自 由度，可把n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐 標(biāo).平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量 的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量三 應(yīng)有兩解.【例2】 在三棱錐SABC中,ZSAB=Z SAC=ZACB=90, AC=2, BC=不,SB=-.y 13v 29求證：SCBC；求SC與AB所成角的余弦值.解法一：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分

9、別 為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2,，SB= 29，得 B(0,而，0)、S(0, 0, 2 - )、C (2 H，土，0)，sc = (2 13，土，一 2 度)，C =(2 料旦，0).& Q yV =0，ASCBC.SC CB設(shè)SC與AB所成的角為a，.時(shí)=(0,AB，0)，SC AB=4，1 SC 11 ABl=4而，cos a =亙，即為所求.rT解法二：(1)VSAWABC，ACBC，AC 是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，:SCBC.(2)如下圖，過點(diǎn)C作CDAB，過點(diǎn)A 作ADBC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則ZSCD為異面直線SC與AB所成的角.四邊形 ABCD是

10、平行四邊形，CD , SA=2 3 , SD=E =柘=5二在即。中，由余弦定 理得cosZSCD=也，即為所求.N特別提示DC1=1本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩 種證法.題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接 計(jì)算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需 建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但 要選點(diǎn)、平移、作輔助線、解三角形.1=1yA1N(1)(2)(3)(1)【例3】如下圖，直棱柱ABCA1B1C1的 底面 ABC 中，CA=CB=1 ,Z BCA=90 ，棱 AA1=2, M、yA1N(1)(2)(3)(1)A x求BN的長；A x求COS uuuruur的值COS BA

11、,CB求證:A1 1C1M.解：依題意得B (0, 1, 0), N (1, 0,1),I I - -.BN(1 - 0)2 + (0 -1)2 + (1 0)23(2)解：A (1, 0, 2), B (0, 1, 0), C(0, 0, 0), B1 (0, 1, 2),衣=(LT,2),鹵=(,L2),慕.石=3, I1111一 I =-,BA 1 如 6 ,1. cosCB1BACB1BA , CB / = 5111=. 30 .IBA1 H C叩一(3)證明：C1 (0, 0, 2),一=(1, 1, 2), 一 =C1MAB CM=0,A1BLC1M 11深化拓展根據(jù)本題條件，還可

12、以求直線AC1與平面A1ABB1所成的角,(答案是arcsin邑)M(1,2(1(1,21 ,2【例4】如下圖，在正方體ABCD 一 A1B1C1D1中，E、F分別是BBCD的中點(diǎn).(1)(1)(2)(3)b7 1冒C證明 ADD1F； b 求AE與D1F所成的角; 證明面AED面A1D1F.解：取D為原點(diǎn)，DA. DC. DD1為x軸、 y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為2,則 A (2, 0, 0)、A1 (2, 0, 2)、D1 (0, 0, 2)、E (2, 2, 1)、F (0, 1, 0).瓦 _ = (2, 0, 0)(0, 1,-2)1=0,D1F.V ae df = (0, 2, 1) (0, 1,-2)1=0,:.AED1F,即 AE 與 D1F 成 90 角.V 瓦折=(2, 2, 1) (0, 1,-2)1=0,DED1F.AED1F,D1F 面 AED. VD1 面 A1D1F,A 面 AED 面 A1D1F.思考