空間向量求二面角

1、空間向量求二面角設(shè)兄疽分別為平面哧的法向量二面角aT-味小為&向量云.的夾角為1 , 飽則有。+伊=砒圖1）或*呼（圖2）基本結(jié)論:構(gòu)成二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角等于這個(gè)二面角的平面角.可按如下步驟求出平面的法向量的坐耳一第一步（設(shè)）:設(shè)出平閔法向量的坐標(biāo)為/7 =xyz）一第二步例）:根據(jù)= 0且n& =0可列出方程組Mn+ ir + 勺：-0第三步（解）:把H看作常數(shù)，用E表示X、* 第四?。?取E為任意一個(gè)啰（當(dāng)然取得越特殊越好X便得到平面法向量L的坐標(biāo).正方體ABEF-DCE礦中，M,N分別為AC. BF的中項(xiàng)（如圖），求平面MNA與平而MNE所成角的 余弦值.設(shè)平面A

2、MN的法向量叫=牡.v，z)( - jQjj AN=( nr一 I 1 nANLhi=U, =呂肖=：閂=_：.-InJInJ 占* 3故所求兩平面所成南的金弦值為:.7練習(xí)：如圖所示，四棱錐P-ABC叫.底面ABCD為正方形,PD_L平面ABCD, PDAB=2, % F, G分別為FC,P，BC的中點(diǎn)，()求證PA1EK求二面侑D-FE的奈弦值.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn).度立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyzTD(Oa S 2,Q),C(-2.O, 0),P(0; U,1),F(0, 0,L。).1)證明：PA- (0, 2.EF = 1)證明：PA- (0, 2.EF = (1, 0, f

3、ill PAEF= 1xQ + 0 x2+(-2) x o = I所以PA 1 EF,易知虱=0 0，1), ET-= (L 0, U), FG =(-2t 1; - 1) s設(shè)平面iDFG的法向量m = (x!, yH卻*則 mDF=!解得nm-FG=(L 1, I)是平面E網(wǎng)的一個(gè)法但董，el ,m n _ 2 _ 2 _-jlO園為g皿 n = i=X72=710=f設(shè)二面角D-FG-E的平面角為日，由圖可知& = n - -= 0 -1，皿設(shè)N = i,，n二)是平宙AH了的-個(gè)法向長(zhǎng)抑崩=W： 一ultG = 0 -,r - 2t + - = 0-A 12j r - z-r = r=

4、 z. 取 m = 11.1.1),一心3小13一小丁 =亦=即點(diǎn)應(yīng) T面EFG的距離.為毛.例3加相二三.“一疵甘奇即;為勇力E求證一冬上平面；求:面角A-A.D-B的余弦值;求點(diǎn)(:到平面A.BD的距離.解析(1)；解析(1)；正明:如明.取日。的中點(diǎn)。-迷接S.因?yàn)橐缓為一二角號(hào)一對(duì)以AOVBC因?yàn)樵谝驗(yàn)樵谯浦?ABC 一一平一工 _4M1 -T liii取中三t 以取中三t 以O(shè)B. QA的方冬為軸,y軸、二軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 劇L（Mi. L - 1.1.0）, J.in.2- -.3）- .4（0,0，3）,瓦（1,20）, C（ - 1、0、0）.所以拓1 = （

5、13 -何擊=（- 20）質(zhì)l = （- 1、二的區(qū) 1 =一 1 方孟 #= -2 + 2 + 11=0-而函：=-1 - I - 3 = 0.所 .4B-LBL)-.即.4：_LKEL瓦 1_疆-又助.與&4交于點(diǎn)亂.聽(tīng)以一場(chǎng)_L平-曲且助.(勾連接AD,設(shè)平面AAD的法向量為M = (s j*AD = ( - LL . 1.1 = iXk2.() I.PJ ： ji -L .12J- n 1.L1.-hAD= 0,fl -L4 = 0、令2=L11 = i - ；3 - CM）為平面A AD的一個(gè)法由量.Hhl）% AB- 1 F；i； A BD-所婦I為乎面A.BD的法旬量，.；,x

6、化房 - J -申 拓 g 3 .頊 =一=、.片=-4 時(shí)址|- *故二牌角且一4刀一的余弦值為平.由（幻知痂1為平面AiBD的法向量， 易訝=|-*0。） 一席=|一二所以點(diǎn)C到口由且/）的兆離,：2=、l = ._1跖| 一如圖，在長(zhǎng)方體風(fēng)公一內(nèi)。禪1中,E, F分別是棱BC7 C心上的點(diǎn),CF=AB=2CE7 ABADAA =1:2:4.U)求均執(zhí)線(xiàn)時(shí)與山。所成角的金弦值;證明.M_L平面A.ED,求.ntfUt- ED- FE CE C如圖，矩 形ABCD 中，AD 平面 ABE, AE = EB = BC = 2 , G 是 AC 中點(diǎn)，f 為AE 平面BCE ； (II)求三棱錐

7、CE上的點(diǎn)，且BFAE 平面BCE ； (II)求三棱錐C - BGF的體積.(本小題滿(mǎn)分12分)將棱長(zhǎng)為。正方體截去一半(如圖7所示)得到如圖8所示的幾何體，點(diǎn)E，F(xiàn)分別 是BC，DC的中點(diǎn).證明：AF1 ED】；圖7圖8求三棱錐E- AF?！康捏w積.圖7圖8(本題滿(mǎn)分12分)如圖，三棱錐P - ABC中，PB 底面ABC , ZBCA = 90。， PB = BC = CA = 4 , E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)， 點(diǎn)F在PA上，且AF = 2FP.求證：BE 平面PAC ；求證：CM/平面BEF ；求三棱錐F - ABE的體積.A如圖2，四邊形ABCD為矩形，PD上平面ABCD，AB = 1, BC = PC = 2,作如圖3折疊， 折痕EF DC，其中點(diǎn)E,F分別在線(xiàn)段PD,PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線(xiàn)段AD上的 點(diǎn)記為M，并且MF CF .(1)證明：CF上平面MDF ; (2)求三棱錐M - CDE的體積(本小題滿(mǎn)分13分)如圖5所示，在四棱錐P-ABCD