虛擬變量案例

1、虛假變量（dummyvariable）在實(shí)質(zhì)建模過(guò)程中，被講解變量不僅受定量變量影響，同時(shí)還受定性變量影響。比方需要考慮性別、民族、不相同歷史時(shí)期、季節(jié)差異、企業(yè)所有制性質(zhì)不相同樣因素的影響。這些因素也應(yīng)該包括在模型中。由于定性變量平常表示的是某種特色的有和無(wú)，所以量化方法可采用取值為1或0。這種變量稱作虛假變量，用D表示。虛假變量應(yīng)用于模型中，對(duì)其回歸系數(shù)的估計(jì)與檢驗(yàn)方法與定量變量相同。1截距搬動(dòng)設(shè)有模型，yt=0+1xt+2D+ut,其中yt，xt為定量變量；D為定性變量。當(dāng)D=0或1時(shí)，上述模型可表達(dá)為，0+1xt+ut,(D=0)yt=(0+2)+1xt+ut,(D=1)60YD=1D

2、=040200+20X00204060圖8.1測(cè)量截距不相同D=1或0表示某種特色的有無(wú)。反響在數(shù)學(xué)上是截距不相同的兩個(gè)函數(shù)。若2顯然不為零，說(shuō)明截距不相同；若2為零，說(shuō)明這種分類無(wú)顯然性差異。例：中國(guó)成年人體重y（kg）與身高x（cm）的回歸關(guān)系以下：105+xD=1(男)y=-100+x-5D=100+xD=0(女)注意：若定性變量含有m個(gè)種類，應(yīng)引入m-1個(gè)虛假變量，否則會(huì)以致多重共線性，稱作虛假變量騙局（dummyvariabletrap）。關(guān)于定性變量中的哪個(gè)種類取0，哪個(gè)種類取1，是任意的，不影響檢驗(yàn)結(jié)果。定性變量中取值為0所對(duì)應(yīng)的種類稱作基礎(chǔ)種類（basecategory）。關(guān)于

3、多于兩個(gè)類其他定性變量可采用設(shè)一個(gè)虛假變量而對(duì)不相同種類采用賦值不相同的方法辦理。如：1(大學(xué))D=0(中學(xué))-1(小學(xué))。1【案例1】中國(guó)季節(jié)GDP數(shù)據(jù)的擬合（虛假變量應(yīng)用，及case1-solve）2.83.0GDP2.42.52.02.01.61.51.2GDPT1.096:196:397:197:398:198:399:199:300:100:30510152025GDP序列圖不用虛假變量的狀況若不采用虛假變量，得回概括果以下，GDP=1.5427+0.0405T(11.0)(3.5)R2=0.3991,DW=2.6,s.e.=0.3定義1（1季度）1（2季度）1（3季度）D1=D2=

4、D3=0（2,3,4季度）0（1,3,4季度）0（1,2,4季度）第4季度為基礎(chǔ)種類。GDP=2.0922+0.0315T0.8013D10.5137D20.5014D3(64.2)(15.9)(-24.9)(-16.1)(-15.8)R2=0.9863,DW=1.96,s.e.=0.052附數(shù)據(jù)以下：年GDPtD1D2D31996:11.315611001996:21.660020101996:31.591930011996:42.2209640001997:11.4685651001997:21.8494860101997:31.797270011997:42.362080001998:1

5、1.5899491001998:21.88316100101998:31.97044110011998:42.51176120001999:11.6784131001999:21.9405140101999:32.0611150011999:42.5254160002000:11.8173171002000:22.1318180102000:32.2633190012000:42.728020000數(shù)據(jù)本源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒1998-20012斜率變化以上只考慮定性變量影響截距，未考慮影響斜率，即回歸系數(shù)的變化。當(dāng)需要考慮時(shí)，可建立以下模型：yt=0+1xt+2D+3xtD+ut,其中xt為定量變

6、量；D為定性變量。當(dāng)D=0或1時(shí)，上述模型可表達(dá)為，(0+2)+(1+3)xt+ut,(D=1)y=t0+1xt+ut,(D=0)經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)3可否為零，可判斷模型斜率可否發(fā)生變化。10070YY806050604040302020100X0T02040600204060圖8.5狀況1（不相同種類數(shù)據(jù)的截距和斜率不相同）圖8.6狀況2（不相同種類數(shù)據(jù)的截距和斜率不相同）例2：用虛假變量差異不相同歷史時(shí)期（file:case2及case2-solve）中國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易總數(shù)數(shù)據(jù)（1950-1984）見(jiàn)上表。試檢驗(yàn)改革前后該時(shí)間序列的斜率是否發(fā)生變化。定義虛假變量D以下0（1950-1977）D=1（19

7、78-1984）3中國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易總數(shù)數(shù)據(jù)（1950-1984）（單位：百億元人民幣）年tradeTDT*D年tradeTDT*D19500.41510019681.085190019510.59520019691.069200019520.64630019701.129210019530.80940019711.209220019540.84750019721.469230019551.09860019732.205240019561.08770019742.923250019571.04580019752.904260019581.28790019762.641270019591.49310

8、0019772.725280019601.284110019783.5502912919610.908120019794.5463013019620.809130019805.6383113119630.857140019817.3533213219640.975150019827.7133313319651.184160019838.6013413419661.2711700198412.0103513519671.1221800以時(shí)間T=time為講解變量，進(jìn)出口貿(mào)易總數(shù)用trade表示，估計(jì)結(jié)果以下：trade=0.37+0.066time-33.96D+1.20timeD(1.86)(

9、5.53)(-10.98)(12.42)0.37+0.066time(D=0,1950-1977)=(D=1,1978-1984)-33.59+1.27time上式說(shuō)明，改革前后無(wú)論截距和斜率都發(fā)生了變化。進(jìn)出口貿(mào)易總數(shù)的年平均增加量擴(kuò)大了倍?！景咐?】香港季節(jié)GDP數(shù)據(jù)（單位：千億港元）的擬合（file:case3及case3-solve）4.04.0GDPGDP1.6952+0.0377*T3.53.53.03.02.52.52.02.01.51.51.01.09091929394959697989900010290919293949596979899000102419901997年香港季

10、度GDP呈線性增加。1997年由于受到東南亞金融危機(jī)的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于阻滯狀態(tài)，19982002年終GDP總量幾乎沒(méi)有增加（見(jiàn)上圖）。對(duì)這樣一種先增長(zhǎng)后阻滯，且含有季節(jié)性周期變化的過(guò)程簡(jiǎn)單地用一條直線去擬合顯然是不合適的。為差異不相同季節(jié)，和不相同時(shí)期，定義季節(jié)虛假變量D2、D3、D4和差異不相同時(shí)期的虛假變量DT以下（數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄）：D2=1（第2季度）0（其他季度）D3=1（第3季度）0（其他季度）D4=1（第4季度）0（其他季度）DT=1（1998:12002:4）0（1990:11997:4）得估計(jì)結(jié)果以下：GDPt=1.1573+0.0668t+0.0775D2+0.2098D3+0

11、.2349D4+1.8338DT-0.0654DTt(50.8)(64.6)(3.7)(9.9)(11.0)(19.9)(-28.0)R2=0.99,DW=0.9,s.e.=0.05,F=1198.4,T=52,t0.05(52-7)=2.01關(guān)于1990:11997:4GDPt=1.1573+0.0668t+0.0775D2+0.2098D3+0.2349D4關(guān)于1998:12002:4GDPt=2.9911+0.0014t+0.0775D2+0.2098D3+0.2349D45若是不采用虛假變量擬合收效將很差：GDPt=1.6952+0.0377t(20.6)(13.9)R2=0.80,D

12、W=0.3,T=52,t0.05(52-2)=2.01【案例4】天津市糧食市場(chǎng)小麥批發(fā)價(jià)與面粉零售價(jià)的關(guān)系研究（file:xiezhiyong）第一看天津市糧食市場(chǎng)小麥批發(fā)價(jià)格的變化狀況（圖1）。1995年初，天津市糧食市場(chǎng)的小麥批發(fā)價(jià)格第一松開(kāi)。在經(jīng)歷5個(gè)月的上揚(yáng)此后，進(jìn)入平穩(wěn)顛簸期。從1996年8月份開(kāi)始小麥批發(fā)價(jià)格一路走低。至2002年12月份，小麥批發(fā)價(jià)格降至是1160元/噸。其次看面粉零售價(jià)的變化狀況。由于面粉零售價(jià)格直接關(guān)系到居民的平常生活，所以開(kāi)始時(shí)沒(méi)有與小麥批發(fā)價(jià)格一起松開(kāi)。當(dāng)小麥批發(fā)價(jià)格一路看漲時(shí)，1995年1月至1996年6月面粉零售價(jià)格素來(lái)處于2.14元/千克的水平上。1

13、996年7月起，面粉零售價(jià)格也開(kāi)始在市場(chǎng)上松開(kāi)。受小麥批發(fā)價(jià)格上漲的影響，一個(gè)月內(nèi)面粉零售價(jià)格從2.14元/千克漲到2.74元/千克。在這個(gè)價(jià)位上堅(jiān)持了11個(gè)月此后，面粉零售價(jià)格開(kāi)始下降。與小麥批發(fā)價(jià)格的下降相一致，在經(jīng)歷了5年零7個(gè)月的變化此后，面粉零售價(jià)格又恢復(fù)到湊近開(kāi)放前2.14元/千克的水平上（2.17元）。散點(diǎn)圖如圖2。準(zhǔn)時(shí)間解析這些察看點(diǎn)的變化狀況（見(jiàn)圖3，逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)）。見(jiàn)圖4，直接擬合這些數(shù)據(jù)收效將很差（R2=0.027,r=0.17）。20002.8retailpricewholesale1800retailprice16002.62.814002.612002.42.41

14、0002.22.22.02.0wholesale9596979899000102100012001400160018002000圖1圖22.82.8retailpriceretailprice2.62.62.42.42.22.22.0wholesale2.0wholesale100012001400160018002000100012001400160018002000圖3圖4利用虛假變量技術(shù)，在模型中加入虛假變量。定義D=0，（1995:11996:6，面粉零售價(jià)格松開(kāi)從前），D=1，（1996:72002:12，面粉零售價(jià)格松開(kāi)此后）。取對(duì)數(shù)關(guān)系建立模型。6Lnsale的系數(shù)沒(méi)有顯然性（關(guān)于面粉零售價(jià)格松開(kāi)從前的散點(diǎn)來(lái)說(shuō)回歸直線是一條水平線）。剔出Lnsale變量，得估計(jì)結(jié)果PRICE=2.140+1.1215LnsaleD7.7458D(131.5)(23.9)(-23.0)R2=0.9054,PRICE=2.140,D=0PRICE=5.6058+1.1215Lnsale,D=1一條回歸直線的斜率為零，一條回歸直線的斜率為1.