平面匯交力系合成教學(xué)設(shè)計(jì)(朱鑒)

1、 平面匯交力系合成課程設(shè)計(jì)永泰城鄉(xiāng)建設(shè)職業(yè)中專(zhuān)朱鑒教學(xué)內(nèi)容：平面匯交力系的合成教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生了解平面匯交力系合成的方法學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的力系合成的方法對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行合成學(xué)生對(duì)力學(xué)有濃厚的興趣，為以后的課程學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)教學(xué)重點(diǎn)：解析法在平面力系中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：平面力系的合成定理的掌握教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過(guò)程：平面匯交力系的合成方法可以分為幾何法與解析法,其中幾何法是應(yīng)用力的平行四邊形法則（或力的三角形法則），用幾何作圖的方法，研究力系中各分力與合力的關(guān)系，從而求力系的合力；而解析法則是用列方程的方法，研究力系中各分力與合力的關(guān)系，然后求力系的合力。下面分別介紹。一、幾何法首先回顧用幾何法合成兩個(gè)匯

2、交力。如圖21a，設(shè)在物體上作用有匯交于O點(diǎn)的兩個(gè)力F和F，根據(jù)力的平行四邊形法則，可知合力R的大小和方向是以?xún)闪和F為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)來(lái)表示，合力R的作用點(diǎn)就是這兩12個(gè)力的匯交點(diǎn)O。也可以取平行四邊形的一半即利用力的三角形法則求合力如圖21b所示。圖21對(duì)于由多個(gè)力組成的平面匯交力系，可以連續(xù)應(yīng)用力的三角形法則進(jìn)行力的合成。設(shè)作用于物體上0點(diǎn)的力F、F、F、F組成平面匯交力系，現(xiàn)求其合力,1234如圖22a所示。應(yīng)用力的三角形法則，首先將F與F合成得R，然后把R與F合成得R，最后將R與F合成得R,力R就是原匯交力系F、F、F、F的合力，圖22b所示即是此匯交力系合成的幾何示意，矢

3、量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為R=F+F+F+F（2一1）實(shí)際作圖時(shí)，可以不必畫(huà)出圖中虛線(xiàn)所示的中間合力R和R，只要按照一定的比例尺將表達(dá)各力矢的有向線(xiàn)段首尾相接，形成一個(gè)不封閉的多邊形，如圖22c所示。然后再畫(huà)一條從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的矢量R,即為原匯交力系的合力，如圖22d所示。把由各分力和合力構(gòu)成的多邊形abcde稱(chēng)為力多邊形，合力矢是力多邊形的封閉邊。按照與各分力同樣的比例，封閉邊的長(zhǎng)度表示合力的大小,合力的方位與封閉邊的方位一致，指向則由力多邊形的起點(diǎn)至終點(diǎn)，合力的作用線(xiàn)通過(guò)匯交點(diǎn)。這種求合力矢的幾何作圖法稱(chēng)為力多邊形法則。從圖22e還可以看出，改變各分力矢相連的先后順序，只會(huì)影響力多邊形的形狀，但

4、不會(huì)影響合成的最后結(jié)果。itl圖22itl圖22將這一作法推廣到由n個(gè)力組成的平面匯交力系，可得結(jié)論：平面匯交力系合成的最終結(jié)果是一個(gè)合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多邊形的封閉邊確定，合力的作用線(xiàn)通過(guò)力系的匯交點(diǎn)。矢量關(guān)系式為:(21b)(2R=F+F+F+F二刀(21b)(2或簡(jiǎn)寫(xiě)為:123ni或簡(jiǎn)寫(xiě)為:R=EF(矢量和)1c）若力系中各力的作用線(xiàn)位于同一條直線(xiàn)上，在這種特殊情況下，力多邊形變成一條直線(xiàn)，合力為：I=EF（代數(shù)和）（22）需要指出的是，利用幾何法對(duì)力系進(jìn)行合成，對(duì)于平面匯交力系，并不要求力系中各分力的作用點(diǎn)位于同一點(diǎn)，因?yàn)楦鶕?jù)力的可傳性原理，只要它們的

5、作用線(xiàn)匯交于同一點(diǎn)即可。另外，幾何法只適用于平面匯交力系，而對(duì)于空間匯交力系來(lái)說(shuō)，由于作圖不方便，用幾何法求解是不適宜的。對(duì)于由多個(gè)力組成的平面匯交力系，用幾何法進(jìn)行簡(jiǎn)化的優(yōu)點(diǎn)是直觀、方便、快捷，畫(huà)出力多邊形后，按與畫(huà)分力同樣的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，這種方法要求這圖精確、準(zhǔn)確，否則誤差會(huì)較大。二、解析法求解平面匯交力系合成的另一種常用方法是解析法。這種方法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)建立方程的。1、力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影設(shè)力F用矢量AB表示如圖23所示。取直角坐標(biāo)系oxy，使力F在oxy平面內(nèi)。過(guò)力矢AB的兩端點(diǎn)A和B分別向x、y軸作垂線(xiàn)，得垂足a、b及a/、

6、b/，帶有正負(fù)號(hào)的線(xiàn)段ab與a/b/分別稱(chēng)為力F在x、y軸上的投影，記作F、F。并規(guī)定：當(dāng)力的始端的投影到終端的投影的方向與投影軸的正向一致時(shí)，力的投影取正值；反之，當(dāng)力的始端的投影到終端的投影的方向與投影軸的正向相反時(shí)，力的投影取負(fù)值。力的投影的值與力的大小及方向有關(guān)，設(shè)力F與x軸的夾角為a，則從圖23可知(2F二Fcosa(2xF二一Fsinay3)一般情況下，若已知力F與x和y軸所夾的銳角分別為a、P，則該力在X、y軸上的投影分別為(24)F=Fcosa(24)xF=Fcospy即：力在坐標(biāo)軸上的投影，等于力的大小與力和該軸所夾銳角余弦的乘積。當(dāng)力與軸垂直時(shí)，投影為零；而力與軸平行時(shí)，投

7、影大小的絕對(duì)值等于該力的大小。角:角:圖23圖圖23反過(guò)來(lái)，若已知力F在坐標(biāo)軸上的投影F、F，亦可求出該力的大小和方向xyF=JF2+F2xyF（25）tana=Fx式中a為力F與x軸所夾的銳角，其所在的象限由F、F的正負(fù)號(hào)來(lái)確定。在圖23中，若將力沿x、y軸進(jìn)行分解，可得分力F和F。應(yīng)當(dāng)注意，力的投影和分力是兩個(gè)不同的概念：力的投影是標(biāo)量，它只有大小和正負(fù)；而力的分力是矢量，有大小和方向。它們與原力的關(guān)系各自遵循自己的規(guī)則。在直角坐標(biāo)系中，分力的大小和投影的絕對(duì)值是相同的。同時(shí)，力的矢量也可以轉(zhuǎn)化為力的標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算，即F=F+F=Fi+Fj（26）xyxy式中i、j分別為沿直角坐標(biāo)軸x、y軸

8、正向的單位矢量。力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影計(jì)算，在力學(xué)計(jì)算中應(yīng)用非常普遍，必須熟練掌握。例21如圖24所示，已知F二100N,F二200N,F二300N,F二400N，1234各力的方向如圖，試分別求各力在x軸和y軸上的投影。解：根據(jù)公式（23）或（24），列表計(jì)算如下力力在x軸上的投影（+FCOSa）力在y軸上的投影（+Fsina）F1100 xcos0。=100N100 xsin0。=0F2-200 xcos60。=-100N200 xsin60。二100j3NF3-300 xcos60。=-150N-300 xsin60。=-150j3NF4400 xcos45。二200N-400 xs

9、in45。二-200JN2、合力投影定理為了用解析法求平面匯交力系的合力，必須先討論合力及其分力在同一坐標(biāo)軸上投影的關(guān)系。如圖25所示,Cb）圖25設(shè)有一平面匯交力系如圖25所示,Cb）圖25設(shè)有一平面匯交力系F片F(xiàn)作用在物體的O點(diǎn)，如圖235所示。從任一點(diǎn)A作力多邊形ABCD，如圖25b所示。則矢量AB就表示該力系的合力R的大小和方向。取任一軸X如圖示，把各力都投影在x軸上，并且令F、FF和R分別表示各分力F、F、F和合力R在x軸上的投影，由圖2XIX2、X3x123一5b可見(jiàn)F=ab,F=ab,F二be,xlx2F=-cd,R=adx3x而ad二ab+bc-cd因此可得R=F+F+F這一關(guān)

10、系可推廣到任意個(gè)匯交力的情形,R=F+F+F二刀F（2一6）由此可見(jiàn)，合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。這就是合力投影定理。3、用解析法求平面匯交力系的合力當(dāng)平面匯交力系為已知時(shí)，如圖26所示，我們可選直角坐標(biāo)系，先求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理求得合力R在x、y軸上的投影R、R，從圖26中的幾何關(guān)系，可見(jiàn)合力R的大小和方向由下式確、xyR=R2+RR=R2+R2=F)F)xyxy|ZF=Ttana=RyRx(27)式中：a為合力R與x軸所夾的銳角，R在哪個(gè)象限由刀Fx和刀Fy的正負(fù)號(hào)來(lái)確定，具體詳見(jiàn)圖27所示。合力的作用線(xiàn)通過(guò)力系的匯交點(diǎn)。圖27

11、圖27F面舉例說(shuō)明如何求平面匯交力系的合力:例22如同28所示，固定的圓環(huán)上作用著共面的三個(gè)力，已知F=10kN,F=20kN,F=25kN,三力均通過(guò)圓心。試求此力系合力的大小和123方向。解：運(yùn)用兩種方法求解合力。(1)幾何法取比例尺為：1cm代表10kN,畫(huà)力多邊形如圖2一8b所示，其中ab=FI,be=FI,cd=F。從起點(diǎn)a向終點(diǎn)d作矢量，即得合力R。由圖上量112|3得，ad=4.4cm,根據(jù)比例尺可得，R=44kN；合力R與水平線(xiàn)之間的夾角用量角器量得a=22。(2)解析法取如圖28所示的直角坐標(biāo)系Oxy，則合力的投影分別為:TOC o 1-5 h z HYPERLINK l b

12、ookmark4 o Current Document R二FCOS30。+F+Fcos60。二41.16kNx123R二Fsin30。+Fsin60。二16.65kNy13則合力R的大小為：R=：R2+R2=七41.162+16.652二44.40kNxy合力R的方向?yàn)椋篟16.65tana= HYPERLINK l bookmark12 o Current Document R41.16RaRa=arctany-Rx=arctan1665=21.79。41.16由于Rxo，Ryo,故a在第一象限，而合力R的作用線(xiàn)通過(guò)匯交力系的匯交點(diǎn)。例23如圖29所示，一平面匯交力系作用于點(diǎn)。已知F1=2

13、00N，F(xiàn)2=300N各力方向如圖。若此力系的合力R與F2沿同一直線(xiàn)，求F3與合力R的大小。解：用兩種方法幾何法取比例尺如圖所示。取任一點(diǎn)a開(kāi)始作力多邊形，ab=F=100N，由b點(diǎn)作be=F2=300N，得折線(xiàn)abc,再?gòu)恼劬€(xiàn)上的c點(diǎn)和a點(diǎn)分別作F3和R的平行線(xiàn),它們相交于一點(diǎn)d。多邊形abed即為力多邊形。根據(jù)比例尺量得R=573N,F3=141N,合力R的作用線(xiàn)通過(guò)匯交點(diǎn)0。圖29（2）解析法圖29（2）解析法取如圖29所示的坐標(biāo)系。由題可知R沿x軸正向，則:R=R,R=0TOC o 1-5 h zxy又因?yàn)?R=工Fyy則得:Fsin30。-Fsin45。=013 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 200 x-F-sin45。=023F3=