線性代數(shù)論文

1、線性代數(shù)論文一：行列式a1naa1na2n TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark1 o Current Document aaz(1)t( j j2z(1)t( j j2 jn) aa a1 j1 2 j 2njnj1j2 jn2122anna aann HYPERLINK l bookmark10 o Current Document n1n 2因此在這之前必須提出逆序數(shù)的概念：在一個(gè)n級(jí)排列(，”)中，若數(shù)1 2 t s nii ,貝愀數(shù)i與i構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)n級(jí)排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù) 記 t st s為T(mén) 2in).一個(gè)排列逆序數(shù)為偶數(shù)則為偶

2、排列，否則為奇排列。有定義可以看出n階行列式表示所有取自不同行、不同列的n個(gè)元素乘積a a2.a.1 2n的代數(shù)和，各項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)該項(xiàng)各元素的行標(biāo)按自然順序排列后，若對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排 列是偶排列則取正號(hào)；是奇排列則取負(fù)號(hào).由此則可推出行列式的幾個(gè)性質(zhì)：1：行列互換行列式的值不變，行列地位是對(duì)稱的；2：用一個(gè)數(shù)乘行列式的某一行等于用這個(gè)數(shù)乘此行列式。因此相反的行列式的某一行 有公因子可以提出來(lái)；3：如果行列式中某一行是兩組數(shù)的和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行 列式分別以這兩組數(shù)作為該行，而其余各行與原行列式對(duì)應(yīng)相同；4：對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào)；5：如果行列式中有兩行成

3、比例餓，則行列式等于0；6：把一行的某個(gè)倍數(shù)加到另一行，行列式的值不變；有上述六條性質(zhì)可以很好的對(duì)一些高階行列式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而求值。簡(jiǎn)化行列式計(jì)算的 另一條途徑則是降階，即把高階行列式的計(jì)算化為低低階行列式運(yùn)算。在這方面則是發(fā)現(xiàn) 了行列式的展開(kāi)公式。首先為方便表達(dá)計(jì)算有如下定義：在一個(gè)n級(jí)行列式D中,把元素aij (i,j=1,2,.n)所在的行與列劃去后，剩下的 (n-1)A2個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成的一個(gè) n-1階行列式Mij,稱為元素aij的余子式 Mij帶上符號(hào)(-1)A(i+j)稱為aij的代數(shù)余子式，記作Aij=(-1)A(i+j)Mij之后則有行列式展開(kāi)公式：行列式等于它的任意一

4、行(列)的各元素與對(duì)應(yīng) 的代數(shù)余子式乘積之和，即:二勺也+陽(yáng)為+網(wǎng))最后則回到最原先的問(wèn)題，用行列式表示方程的解:由克拉默法則知：茅L吃用+赤+巧方=嗎口 11改財(cái)a22a2ji IIIII I I D不等于0時(shí)，那么方程(1)有唯一解 氣=D1，氣=D2，x = D，(2)1 D 2 D n D其中D ( j = 1,2,)是把系數(shù)行列式中第j列的元素用方程右端的自由項(xiàng)代替后所 得到的n階行列式，即aiiaiiD =jan1- abaa1,j-111，j+11n - abaan,j -1nn，j+1nn)Ax + 1)Ax + 1iLa A :x + 1k 1 kj71kkkkkJ k=1/

5、jk k = 1b A,k kjJ，k=1aknAkn /a的系數(shù)等于D，而其余土( 2 j )的系數(shù)D Xj = Dj , (j = 1,2 , . ,n ).(3)D Da i + a + + a=b , (i = 1,2,，n).證明：用D中第j列元素代數(shù)余子式A , A ,，An依次乘方程組(1)的n個(gè)方程， 再把它們相加，得上式中x上式中xj均為零;又等右端即是q，于是當(dāng)D / 0時(shí)方程組(3侑唯一的一個(gè)解(2)。由于方程組(10)是由方程組(1)經(jīng)乘數(shù)與相加兩種運(yùn)算而得，故(1)的解一定是(10)的解，今(3)僅有一個(gè)解，故(1)如果有解的話，就只可能是解(2)。下面驗(yàn)證解(2)是

6、方程組(1)的解。也就是要證明：為此考慮兩行相同的n + 1階行列式aina1n (i = 1,2,，n ),b an1ab an1nn它的值等于0，把它按第一行展開(kāi)，由于第1行中%的代數(shù)余子式為ba aa a1111,j11, j+11n(1)1+j+1 ba aa ann1n,j1n, j+1nnDaii D1 + ai2 D=(1)j+2(1)j-lD =D,所以有 0=bDaDDaii D1 + ai2 D2 + a 氣=b ,(i = 1,2,.,n).in D i得證行列式發(fā)展于方程組求解，但是行列式的運(yùn)用卻不僅僅在于方程組，行列式在數(shù)學(xué)分析、 幾何學(xué)、二次型理論等多方面都有著重要

7、應(yīng)用。隨著對(duì)行列式的計(jì)算應(yīng)用，發(fā)展出了矩陣?yán)碚?。二：矩陣矩陣是?shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究 和應(yīng)用的一個(gè)重要工具，許多實(shí)際問(wèn)題都可以化為矩陣模型來(lái)運(yùn)算。簡(jiǎn)單地說(shuō)矩陣就是指縱橫排列的二維數(shù)據(jù)表格，NX M矩陣Q/ggA是-個(gè)N行M 列數(shù)字構(gòu)成的方陣，己為：方陣A的行列式稱為矩陣的行列式。之后就有一系列矩陣運(yùn)算定義：1矩陣加法：設(shè)A，B，C是三個(gè)同型矩陣，則A+(B+C)=(A+B)+C； A+B=B+A.；A+O=0+A=A，其中0是與A同型的矩陣。2矩陣的數(shù)乘：設(shè)A，B是個(gè)同型矩陣，k,l是兩個(gè)常數(shù)，則lA=A,0A=0;k(lA)=(kl)A;k(A+

8、B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;3維數(shù)相容的兩個(gè)矩陣可以相乘，具體要求是第一個(gè)矩陣的列數(shù)應(yīng)等于第二個(gè)矩陣的行 數(shù)。若A是N*M矩陣，B是M*L矩陣，則C=AB是N*L矩陣，其第個(gè)元素是。矩陣乘 法一般不滿足交換率(即一般j岫御_= CA更ABBA)1M.1叫呵k4矩陣的轉(zhuǎn)置則是將矩陣的行列互換；逆矩陣的定義：設(shè)A是n階方陣，若存在n階方陣B，使得AB=BA=I，則稱A可逆的，B為A的逆矩陣；其中逆矩陣有著重要的應(yīng)用，初等矩陣即是可逆矩陣，可逆矩陣也可拆成多個(gè)初等矩 陣的乘積，因此在對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換、考慮矩陣的相似性、相抵型、相向型、二次型等 等都需要用到可逆矩陣的性質(zhì)。求可逆矩陣

9、的最基礎(chǔ)的方法則是待定系數(shù)法，解方程組求解；顯然待定系數(shù)比較繁瑣，容易出錯(cuò)；還有一種則是用伴隨矩陣；% -妃對(duì)任意n階矩陣A，稱才=AJ為A的伴隨矩 陣，其中，可是A中元素的代數(shù)余子式。=招崩=4因此A可逆的充要條件是Wn 0，可逆矩陣為應(yīng)-1 =,伴隨矩陣性質(zhì)證明：設(shè) A=(aij),記 AA*=(bij),則 bij=ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin= 或，其中i=j*0,當(dāng)用時(shí)bij=0； 故 AA*=國(guó)I,同理A*A=岡I可逆矩陣的證明：必要性。若A可逆，則有日，使得AB=I，兩邊取行列式，可推出!#0； 充分性。若0，則有互1 =閏由上述定義性質(zhì)可推出矩陣的初等變換和分塊矩陣的運(yùn)算，分塊矩陣的運(yùn)算等同于矩陣運(yùn) 算0當(dāng)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域擴(kuò)展到N維向量空間、線性空間時(shí)，矩陣起著重要作用！ 一組向量組 可以理解為一個(gè)矩陣，同時(shí)研究向量組的極大線性無(wú)關(guān)組時(shí)也可以轉(zhuǎn)換成矩陣來(lái)求；因此 先得引入矩陣秩的概念，矩陣的非零子式的最高階數(shù)r稱為矩陣的秩，記為r(A)=r.零矩陣的 秩規(guī)定為0；通過(guò)計(jì)算可以得出矩陣秩的一些性質(zhì)：1： maxr(A), r(S) r(A: B) r(A)+r(B),特別當(dāng) B=b 時(shí),r(A) r(A: b) r(A) +1.fr (A 土 B) ) r (A)