空間向量法解決立體幾何問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)空間向量與立體幾何 姓名 知識(shí)點(diǎn)歸納 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系 1 平行轉(zhuǎn)化 線線平行線面平行面面平行 2 垂直轉(zhuǎn)化 線線垂直線面垂直面面垂直 知識(shí)梳理1空間直角坐標(biāo)系： 在空間選定一點(diǎn)引三條互相垂直且有相同長度單位的數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面； 作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使（或），； 在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指

2、向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)， 記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)空間兩點(diǎn)間距離若，則特別地，到原點(diǎn)的距離（2）夾角公式：空間向量法解決立體幾何問題一、引入兩個(gè)重要空間向量1、直線的方向向量； 2、平面的法向量。二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系； (1)直線與直線的位置關(guān)系; (2)直線與平面的位置關(guān)系; (3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空

3、間中的距離。一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量： 把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zAzAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個(gè)向量垂直于平面,記作n,這時(shí)向量n叫做平面的法向量yy xx在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? 如圖2,設(shè)a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若na且nb,則n.換句話說,若na = 0且nb = 0,則n 求

4、平面的法向量的坐標(biāo)的步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). 例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量練習(xí)：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1, D1 中，E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn)，試在棱BB上找一點(diǎn)M,使得D1M平面EFB二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系 不重合的兩條直線a,

5、b的方向向量分別為a ,b. 若ab,即a=b,則ab.若ab,即ab = 0,則abababab(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面的法向量為n,且L不在.內(nèi)若an,即a =n, 則 L 若an,即an = 0,則a .nanaLnLa例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(I)A1E 平面DBC1; (II)AB1 平面DBC1練習(xí)：1：兩個(gè)邊長為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交與AB,.M,N分別為BD,AE上的點(diǎn)，且AN=DM,（1）求證：MN/平面EBC; (2)求MN長度的最小值2：在正方體ABCD-A1B1C

6、1, D1 中，O為AC和BD的交點(diǎn)，G為CC1 的中點(diǎn)，求證：A1O平面GBD3. 在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證平面 (3)平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為n1 ,平面的法向量為n2若n1n2,即n1=n2,則若n1n2,即n1 n2= 0,則例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:面AED面A1FD練習(xí)：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求證：平面A1BC1/平面ABD12.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角:利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的

7、夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_. 練習(xí)：1：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC,M為CC1的中點(diǎn)，Q為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，求直線PQ與直線AM所成的角2：棱長均相等的四面體ABCD中，E, F 分別是棱AD,BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF, CE所成的角(2)直線與與平面所成的角若n是平面的法向量, a是直線L的方向向量,則L與所成的角= 或= 例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 ，求AC1與側(cè)面ABB1A1練習(xí)：1：正方體AB

8、CDA1B1C1D1中，E,F分別是AB,C1D1的中點(diǎn)，求A1B1與平面A1EF所成的角2：在三棱錐POCB中，PO平面OCB,OBOC，OB=OC=,PC=4，D為PC的中點(diǎn)，求OD與平面PBC所成的角3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離 (2)點(diǎn)到平面的距離AnA為平面外一點(diǎn)(如圖), n為平面的法向量,過A作平面的斜線AB及垂線AH.AnBHBH= 例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距離.練習(xí)：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求證：（1）平面A1BC1和平面ABD1 的距離

9、（2）求B1到平面A1BC1 的距離 例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 側(cè)棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中點(diǎn),求PC與平面BED間的距離. 基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.（2009廣東）給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中，為真命題的是A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2、（2009浙江）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）A

10、若，則 B若，則 C若，則 D若，則 3(09山東)已知表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4設(shè)、是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個(gè)命題： 若，則 若，則 若，則 若，則其中真命題的序號(hào)是 （ ）ABC D5（2011四川）.l1,l2,l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（A）l1l2, l2l3 l1l3 (B) l1l2, l2l3 l1l（C）l1l2 l3 l1,l2,l3 共面 (D) l1,l2,l3 共點(diǎn) l1,l2,l6（2011重慶）到兩互相垂直的異面直線

11、的距離相等的點(diǎn) 7.（2011北京）如圖，正方體的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：（A）與x，y都有關(guān)； （B）與x，y都無關(guān)；（C）與x有關(guān)，與y無關(guān)； （D）與y有關(guān)，與x無關(guān)；8（2011北京）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求證：AF/平面BDE；（）求證：CF平面BDE;9（2011山東文）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B2C3D4中，D1D平面ABCD是平行四邊形，AB=2AD,AD=A1B1, BAD=,（）證明：AA1BD; （）證明：CC1平面A1BD10（2011全國文）如圖，四棱錐中，/,，側(cè)面為等邊三角形，.（1）證明：平面SAB (2)求AB與平面SBC所成的角ssABCDPPABCD11.（2011河南文）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，,AB=2AD,PD平面ABCD (1)求證：；（2）設(shè)PD=AD=1，求棱錐DPBC的高12（2011重慶）如題（20）圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)， （）證明：AE平面PBC（）若AD=1,求三棱錐的體積13如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)