切線(xiàn)長(zhǎng)定理,弦切角定理,切割線(xiàn)定理,相交弦定理

1、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線(xiàn)定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段學(xué)習(xí)目標(biāo)1切線(xiàn)長(zhǎng)概念切線(xiàn)長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度,切線(xiàn)長(zhǎng)”是切線(xiàn)上一條線(xiàn)段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線(xiàn)”是一條直線(xiàn)，它不可以度量長(zhǎng)度。2切線(xiàn)長(zhǎng)定理對(duì)于切線(xiàn)長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線(xiàn)相交，則切線(xiàn)長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線(xiàn)平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線(xiàn)為直徑；（3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，切線(xiàn)的夾角與過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾3弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線(xiàn)AB3弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相

2、交，另一邊和圓相切的角。直線(xiàn)AB切OO于P,PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）4弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。5弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6遇到圓的切線(xiàn)，可聯(lián)想“角弦切角,線(xiàn)”切線(xiàn)的性質(zhì)定理及切線(xiàn)長(zhǎng)定理。7與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段定理圖形相交弦定理B已知7與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段定理圖形相交弦定理B已知結(jié)論OO中，AB、CD為弦，PAPB二PCPD.交于P.證法連結(jié)AC、BD，證:APCDPB.相交弦定理的推論OO中，PT切OO于T,PT2二PAPB割線(xiàn)PB交OO于A切割線(xiàn)定理PB、PD相交弦定理的推論OO中，PT切OO于T,PT2二PAPB割線(xiàn)PB

3、交OO于A切割線(xiàn)定理PB、PD為的兩條割PAPB二PCPD線(xiàn)，交OO于A、C圓冪定理B。0中,AB為直徑，CDPC2二PAPB.丄AB于P.用相交弦定理.連結(jié)TA、TB,證：*TB-PAT過(guò)P作PT切OO于T,用兩次切割線(xiàn)定理OO中，割線(xiàn)PB交OOPGPD二r2-OP2延長(zhǎng)PO交OO于M,于A,CD為弦PAPB二OP2-r2延長(zhǎng)OP交OO于N,用r為OO的半徑相交弦定理證；過(guò)P作切線(xiàn)用切割線(xiàn)定理勾股定理證&圓冪定理：過(guò)一定點(diǎn)p向00作任一直線(xiàn)，交00于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段之積為常數(shù)I|（R為圓半徑），因?yàn)镺P-R1叫做點(diǎn)對(duì)于OO的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱(chēng)為圓幕定理?！镜湫屠}】例1

4、如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O,過(guò)A作半圓切線(xiàn)，切點(diǎn)為F,交CD于E,求DE:AE的值。圖1解：由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知：AF二AB二1,EF二CE設(shè)CE為x,在RfADE中，由勾股定理(1+五=(1-x)2+12,乳=扌DE=A-=-AE=l+-=-.4444:.DExAE=-.-=3：544例2.OO中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE二6cm,BE二2cm,CD二7cm，那么CE二cm。圖2解：由相交弦定理，得AEBE二CEDEtAE二6cm,BE二2cm,CD二7cm,DE=CD-CE=1-CE.6X-2=CE(1-CE)即CE2-7CE十12=0.CE二3c

5、m或CE二4cm。故應(yīng)填3或4。點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例3已知PA是圓的切線(xiàn)，PCB是圓的割線(xiàn)，則兒卯：刈于=PB解:tzP=zPzPACzB,.PACPBA,AB_PB.忑一7ZfAB2_F0.潔_TF又tPA是圓的切線(xiàn)，PCB是圓的割線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理，得PA2=PB-PCAB2_PM_PBQ_FEPC_FC即ABAC2=FB=FC故應(yīng)填PC。點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例4如圖3，P是OO外一點(diǎn)，PC切OO于點(diǎn)C,PAB是OO的割線(xiàn)，交OO于A、B兩點(diǎn)，如果PA:PB二1:4,PC二12cm,oO的半徑為10cm，則圓心O到AB

6、的距離cm。圖3解：tPC是OO的切線(xiàn)，PAB是OO的割線(xiàn)，且PA:PB二1:4PB二4PA又tPC二12cm由切割線(xiàn)定理，得氏*=PAPB.1，=FA*4PA.曲=36,.PA=雜疣)PB二4x6二24(cm)AB二24-6二18(cm)設(shè)圓心O到AB距離為dcm,由勾股定理，得故應(yīng)填侮。例5如圖4,AB為OO的直徑，過(guò)B點(diǎn)作OO的切線(xiàn)BC,OC交OO于點(diǎn)E,AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC,即要證aCEDzCBE。點(diǎn)悟：,即要證aCEDzCBE。證明：（1）連結(jié)BE眈是GO的切線(xiàn)=乙4二CBEQA=QEA=QEAACDcdACT=CE=CB*CDCDCE=CE=5-o又弋呼ACDcdACT=CE=CB*

7、CDCDCE=CE=5-o又弋呼=UD、UE、CB=2,.(祚_1尸=2UDnUD=(3芍厘米。點(diǎn)撥：有切線(xiàn)，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線(xiàn)，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。證明：連結(jié)BD，AE切OO于A,/EAD二/ABDAE丄AB，又ABllCD,AE丄CDAB為OO的直徑/ADB二90/E二/ADB二90ADEBADAD_DEabad.AD1=AB*DECDllABnn.-AD=BC例7如圖6,PA、PC切OO于A、C,PDB為割線(xiàn)。求證：ADBC二CDAB圖6畀幾;/.點(diǎn)悟：由結(jié)論ADBC二CDAB得盂一乏，顯然要證aPADPBA和aPCDPBC證明：vPA切OO于A,/PAD二/PBA又/A

8、PD二/BPA,.PADPBAAL_一上同理可證aPCDsaPBCPA、PC分別切OO于A、CPA二PC.41_CL：例8.如圖7,在直角三角形ABC中，/A二90,以AB邊為直徑作OO,交斜邊BC于點(diǎn)D,過(guò)D點(diǎn)作OO的切線(xiàn)交AC于E。圖7求證：BC二2OE。點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是MBC的中位線(xiàn)。而OA二OB,只須證AE二CE。證明：連結(jié)OD。AC丄AB,AB為直徑AC為OO的切線(xiàn)，又DE切OO于DEA二ED,OD丄DEOB二OD,azB=zODB在RfABC中，,C二90-,BNODE二90/EDU二90-MODEzCzEDCED二ECAE二ECOE是MBC的中位線(xiàn)BC二2OE例9

9、.如圖8,在正方形ABCD中，AB二1,川0是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作月C所在圓的切線(xiàn)，交邊DC于點(diǎn)F,G為切點(diǎn)。當(dāng)/DEF二45時(shí)，求證點(diǎn)G為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)；圖8解：由zDEF=45,得ADFE=$0-ZDEF=45/DFE二/DEFDE二DF又tAD二DCAE二FC因?yàn)锳B是圓B的半徑，AD丄AB,所以AD切圓B于點(diǎn)A;同理,CD切圓B于點(diǎn)C。又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G,所以AE二EG,FC二FG。因此EG二FG,即點(diǎn)G為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題1【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選

10、擇題1已知：PA、PB切OO于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB,若AB二8,弦AB的弦心距3,則PA=（2025A.了B.T2下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A平行四邊形C.菱形C.5D.8B矩形D梯形圖13已知：如圖1直線(xiàn)MN與OO相切于C,AB為直徑,/CAB二40,貝貶MCA的度數(shù)（A.50B.40C.60D.55)D.16cm4圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1:4)D.16cmA.8cmB.10cmC.12cm在MBC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD二2佢匕豹,BD二3cm,DC二4cm，如果E是AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與MBC的外接圓的交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于（）A.2喘B.3cmC.2、任c喘d

11、.PT切OO于T,CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線(xiàn)PD交OO于B和A,B在線(xiàn)段PD上,若CD二2,AD二3,BD二4,則PB等于（）A.20B.10C.5二、填空題AB、CD是OO切線(xiàn)，ABllCD,EF是OO的切線(xiàn)，它和AB、CD分別交于E、F,則zEOFTOC o 1-5 h z。8已知：OO和不在OO上的一點(diǎn)P,過(guò)P的直線(xiàn)交OO于A、B兩點(diǎn)，若PAPB二24,OP二5，則OO的半徑長(zhǎng)為。9若PA為OO的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PBC割線(xiàn)交OO于B、C,若BC二20,旳=1。柘，則PC的長(zhǎng)為。正MBC內(nèi)接于OO,M、N分別為AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交OO于點(diǎn)D，連結(jié)BD交PC_AC于P,貝0爲(wèi)-。三、解答題11如圖2,ABC中，AC二2cm,周長(zhǎng)為8cm,F、K、N是MBC與內(nèi)切圓的切點(diǎn),DE切OO于點(diǎn)M,且DEIIAC,求DE的長(zhǎng)。圖212如圖3，已知P為OO的直徑AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),PC切OO于C,CD丄AB于D,求證：CB平分zDCP。AE0圖3AB0NC圖AE0圖3AB0NC圖413如圖4,已知AD為OO的直徑,AB是OO的切線(xiàn)，過(guò)B的割線(xiàn)BMN交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于C,且BM二MN二NC,若AB=聊，求OO的半徑。【試題答案】一、選擇題1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空題7.908.19.307.908.19.30三、解答題：由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得ABDE周長(zhǎng)為4,由a