圓知識點總結(jié)及歸納

1、第一講圓的方程一、知識清單(一)圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2+(yb)2=r2(r0)圓心：(a,b),半徑：r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F0)圓心:IH,2H半徑：2jD2+E24F1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的互化(1)將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(yb)2r2展開并整理得x2+y22ax2by+a2+b2r2=0,取D2a,E2b,F=a2+b2r2,得x2+y2+Dx+Ey+F=0.(2)將圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0通過配方后得到的方程為：DE(DE(x+2)2+(y+2)2D2+E24F4當(dāng)D

2、當(dāng)D2+E24F0時，該方程表示以(y,29為圓心，2X1D2+E24F為半徑的圓;DE當(dāng)D2+E24F=0時，方程只有實數(shù)解x=,y=5，即只表示一個點(E:當(dāng)D2+E24Fr2.(2)若M(x0,y0)在圓上，則(x0a)2+(y0b)2=r2(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2+(y0b)20.2、求圓的方程時，要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)簡化運算(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中垂線上(3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線3、中點坐標(biāo)公式：已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點A(x1，y1),B(x2，y2)，點M(x,y)是線段AB的中點，則x=0,y=可

3、.二、典例歸納考點一：有關(guān)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法【例1】圓abm2m01的圓心是，半徑是.【例2】點(1,1)在圓(xa)2+(y+a)2=4內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,1)B(0,1)C(,1)U(1,+)D.(1,+)【例3】圓心在y軸上，半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程為()A.x2+(y2)21B.x2+(y+2)21C.(x1)2+(y3)21D.x2+(y3)21【例4】圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點P(0,0)對稱的圓的方程為()A.(x2)2+y2=5B.x2+(y2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【變式1】已知圓的方程為11221

4、40,則圓心坐標(biāo)為【變式2已知圓C與圓1y21關(guān)于直線y小對稱，則圓C的方程為【變式3若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x3y=0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()71A.(x3)2+|3，=1B.(x2)2+(y1)2=1C.(x1)2+(y3)2=1D.|-1|+(y-1)2=1【變式4已知ABCC的頂點坐標(biāo)分別是A%,5b,5C求ABCC外接圓的方程.方法總結(jié)：.利用待定系數(shù)法求圓的方程關(guān)鍵是建立關(guān)而，b，r的方程組.利用圓的幾何性質(zhì)求方程可直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運用.考點二、有關(guān)圓的一般方程的求法【例1】若方程x2+y2+4mx2y+5m

5、=0表示圓，則m的取值范圍是()A.；m1B.m1C.m1例2將圓x2+y22x4y+1=0平分的直線是().x+y1=0B.x+y+3=0C.xy+1=0D.xy+3=0【例3】圓x2-2x+y2-3=0的圓心到直線x+y-3=0的距離為.【變式1】已知點P是圓C:x2y24xay50上任意一點，P點關(guān)于直線2xy10的對稱點也在圓C上，則實數(shù)a=【變式2】已知一個圓經(jīng)過點A.11C,3,且圓心在3xy20上，求圓的方程.【變式3】平面直角坐標(biāo)系中有A.1噬黨.4%,2四點，這四點能否在同一個圓上？為什么？【變式4】如果三角形三個頂點分別是0(0,0),A(0,15),B(8,0),則它的內(nèi)

6、切圓方程為方法總結(jié)：.利用待定系數(shù)法求圓的方程關(guān)鍵是建立關(guān)于D,E,F的方程組.2熟練掌握圓的一般方程向標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化【例1】動點尸到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點尸的軌跡方程為()A.x2+y2=32B.x2+y2=16C(x1)2+y2=16D.x2+(y1)2=16【例2】方程y工：25x2表示的曲線是()A.一條射線B.一個圓C.兩條射線D.半個圓【例3】在IABC中，若點B,C的坐標(biāo)分別是(-2,0)和(2,0),中線AD的長度是3,則點A的軌跡方程是()A.x2y23B.x2y24C.x2y29,0D.x2y290【例4】已知一曲線是與兩個定點0(0,0

7、),A(3,0)距離的比為1的點的軌跡.求這個曲線的方程,并畫出曲線.【變式1】方程x1：1弓1所表示的曲線是()A.一個圓B.兩個圓C.一個半圓D.兩個半圓【變式2】動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x1)2+y2=16D.x2+(y1)2=16【變式3】如右圖，過點M(6,0)作圓C：x2+y26x4y+9=0的割線，交圓C于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡.【變式4】如圖，已知點A(1,0)與點B(1,0),C是圓x2+y2=1上的動點，連接BC并延軌跡方程設(shè)條件的坐標(biāo)，找長至D,使得IC

8、D1=1BCI,求AC與OD的交點P軌跡方程設(shè)條件的坐標(biāo)，找方法總結(jié)：求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題不同常采用以下方法：(1)直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出動點出動點滿足的條件，然后化簡(2)定義法：根據(jù)直線、圓等定義列方程(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程(4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等【例1】已知圓x2+y2+2x4y+a=0關(guān)于直線y=2x+b成軸對稱，則ab的取值范圍是y2【例2】已知x,y滿足x2+y2=1,則丘的最小值為.【例3】已知點M是直線3x+4y2=0上的動點，點N為圓(x+1)2+(y+1)2=1上的動點，則IMNI的最小值是

9、()9413A.5b.1C.5D.5【例4】已知實數(shù)x,y滿足(x2)2+(y+1)2=1則2xy的最大值為，最小值為【變式1】P(x,y)在圓C：(x1)2+(y1)2=1上移動，則x2+y2的最小值為.【變式2】由直線y=x+2上的點P向圓C：(x4)2+(y+2)2=1引切線PT(T為切點)，當(dāng)IPTI最小時，點P的坐標(biāo)是()A(1,1)B(0,2)C(2,0)D(1,3)【變式3】已知兩點A(2,0),B(0,2),點C是圓x2+y22x=0上任意一點，則BC面積的最小值是【變式4】已知圓M過兩點C(1,1),D(1,1),且圓心M在x+y2=0上.(1)求圓M的方程；(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A,B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值.方法總結(jié)：解決與圓有關(guān)的最值問題的常用方法(1)形如u=三的最值問題，可轉(zhuǎn)化為定