北航教學課件材料力學第二章

1、本次課程作業(yè):2-1, 2-2, 2-5, 2-7, 2-8返回 2-1 引 言 第2章 軸向拉伸與壓縮返回總目錄 承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應用非常廣泛。 一些機器和結(jié)構(gòu)中所用的各種緊固螺栓，在緊固時，要對螺栓施加預緊力，螺栓承受軸向拉力，將發(fā)生伸長變形。 承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應用非常廣泛。 由汽缸、活塞、連桿所組成的機構(gòu)中，不僅連接汽缸缸體和汽缸蓋的螺栓承受軸向拉力，帶動活塞運動的連桿由于兩端都是鉸鏈約束，因而也是承受軸向載荷的桿件。房屋支承結(jié)構(gòu)斜拉橋承受拉力的鋼纜 拉、壓的特點：1.兩端受力沿軸線，大小相等， 方向相反 2. 變形 沿軸線拉壓桿：以軸向拉壓為主要變形

2、的桿件 本章主要介紹桿件承受拉伸和壓縮的基本問題，包括：內(nèi)力、應力、變形；材料在拉伸和壓縮時的力學性能以及剛度與強度問題。 2.2 軸力與軸力圖桿件的內(nèi)力圖 :軸力圖與扭矩圖 剪力圖與彎矩圖 彈性桿件在外力作用下若保持平衡，則從其上截取的任意部分也必須保持平衡。前者稱為整體平衡或總體平衡（overall equilibrium）；后者稱為局部平衡（loca1equilibrium）。 整體平衡與局部平衡的概念 基本概念與基本方法 整體是指桿件所代表的某一構(gòu)件；局部是指：可以是用一截面將桿截成的兩部分中的任一部分；也可以是無限接近的兩個截面所截出的一微段；還可以是圍繞某一點截取的微元或微元的局部

3、；等等。 整體平衡與局部平衡的概念 基本概念與基本方法 內(nèi)力與外力的相依關系 基本概念與基本方法 應用截面法可以證明，當桿件上的外力（包括載荷與約束力）沿桿的軸線方向發(fā)生突變時，內(nèi)力的變化規(guī)律也將發(fā)生變化。 內(nèi)力與外力的相依關系 基本概念與基本方法 所謂外力突變，是指有集中力、集中力偶作用的情形；分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。 內(nèi)力與外力的相依關系 基本概念與基本方法 所謂內(nèi)力變化規(guī)律是指表示內(nèi)力變化的函數(shù)或變化的圖線。這表明，如果在兩個外力作用點之間的桿件上沒有其他外力作用，則這一段桿件所有橫截面上的內(nèi)力可以用同一個數(shù)學方程或者同一圖線描述。 根據(jù)以上分析，在一段桿上，內(nèi)力按某一

4、種函數(shù)規(guī)律變化，這一段桿的兩個端截面稱為控制面（control cross-section）。據(jù)此，下列截面均可為控制面： 集中力作用點的兩側(cè)截面； 集中力偶作用點的兩側(cè)截面； 均布載荷（集度相同）起點和終點處的截面。 基本概念與基本方法 控制面 注意: 截面不能剛好截在外力作用點處 外力規(guī)律發(fā)生變化截面集中力、集中力偶作用點、分布荷載的起點和終點處的橫截面。 基本概念與基本方法 控制面 同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負號。 基本概念與基本方法 桿件內(nèi)力分量的正負號規(guī)則 拉為正,壓為負CAB 軸力圖 軸力圖與扭矩圖 直桿，A端固定，在B、C兩處作用有集中載荷F1和F2，其中F

5、15 kN，F(xiàn)210 kN。F1F2llCABllF1F2FA試畫出：桿件的軸力圖。 例題1解：1. 確定A處的約束力 A處雖然是固定端約束，但由于桿件只有軸向載荷作用，所以只有一個軸向的約束力FA。由平衡方程 求得 FA5 kN 軸力圖與扭矩圖 軸力圖例題 2 解：2. 確定控制面 3. 應用截面法求控制面上的軸力 用假想截面分別從控制面A、 B 、B、 C處將桿截開，假設橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡。 CABF1F2llCABllF1F2FA 在集中載荷F2、約束力FA作用處的A、C截面，以及集中載荷F1作用點B處的上、下兩側(cè)橫截面都是控制面。 BB 軸力圖

6、與扭矩圖 軸力圖例題 2 3.應用截面法求控制面上的軸力 用假想截面分別從控制面A、 B 、B、 C處將桿截開，假設橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力： CABllF1F2FABBCABllF1F2FNA 軸力圖與扭矩圖 軸力圖例題 2 3. 應用截面法應用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、 B 、B、C處將桿截開，假設橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力： CABllF1F2FABBCBlF1F2BFN B 軸力圖與扭矩圖 軸力圖例題 2 3. 應用截面法應用截面法求控制面上的軸力 用假想

7、截面分別從控制面A、 B 、B、C處將桿截開，假設橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力： CABllF1F2FABBFN BClF2B 軸力圖 軸力圖例題 2 3. 應用截面法應用截面法求控制面上的軸力 用假想截面分別從控制面A、 B 、B、C處將桿截開，假設橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力： CABllF1F2FABBFN CClF2FN/kNOx 軸力圖例題 2 CABF1F2llCABllF1F2FNAFN B CBlF1F2BFN BClF2BFN CClF2 軸力圖 b5b10c105a根據(jù)以

8、上分析，繪制軸力圖的方法 軸力圖 軸力圖 確定約束力； 根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，確定控制面，也就是軸力圖的分段點； 應用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設為正方向；對截開的部分桿件建立平衡方程，確定控制面上的軸力 建立FNx坐標系，將所求得的軸力值標在坐標系中，畫出軸力圖。 Page27 觀察拉壓桿受力時的變形特點：假設： 1. 縱線與橫線仍為直線，橫線仍垂直于縱線； 2. 橫線沿軸線方向平移。觀察結(jié)果：平面假設橫截面仍保持為平面，且仍垂直于桿件軸線；FF2-3拉壓桿的應力與圣維南原理Page28平面假設正應變沿橫截面均勻分布橫截面上沒有切應變

9、 當外力沿著桿件的軸線作用時，其橫截面上只有軸力一個內(nèi)力分量。與軸力相對應，桿件橫截面上將只有正應力。 應力計算 拉伸與壓縮桿件的應力與變形 很多情形下，桿件在軸力作用下產(chǎn)生均勻的伸長或縮短變形，因此，根據(jù)材料均勻性的假定，桿件橫截面上的應力均勻分布，這時橫截面上的正應力為 其中FNx橫截面上的軸力，由截面法求得；A橫截面面積。 應力計算 拉伸與壓縮桿件的應力 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 考察一橡皮拉桿模型，其表面畫有一正置小方格和一斜置小方格 受力后，正置小方塊的直角并未發(fā)生改變，而斜置小方格變成了菱形，直角發(fā)生變化。這種現(xiàn)象表明，在拉、壓桿件中，雖然橫截面上只有正應力，但在斜

10、截面方向卻產(chǎn)生剪切變形，這種剪切變形必然與斜截面上的切應力有關。 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 為確定拉(壓)桿斜截面上的應力，可以用假想截面沿斜截面方向?qū)U截開，斜截面法線與桿軸線的夾角設為。考察截開后任意部分的平衡，求得該斜截面上的總內(nèi)力 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 力FR對斜截面而言，既非軸力又非剪力，故需將其分解為沿斜截面法線和切線方向上的分量： FNx和FQ 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 FN和FQ分別由整個斜截面上的正應力和切應力所組成。 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 在軸向均勻拉伸或壓縮的情形下，兩個相互平行的相鄰斜截面之間的變形也是均勻的，

11、因此，可以認為斜截面上的正應力和切應力都是均勻分布的。于是斜截面上正應力和切應力分別為 其中，x為桿橫截面上的正應力;A 為斜截面面積 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 拉壓桿斜截面上的應力公式也可以通過考察桿件上的微元而求得。 以相距很近的兩橫截面和兩縱截面從桿內(nèi)截取微小單元體，簡稱微元。所取微元只有左、右面上受有正應力x 。 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 將微元沿指定斜截面（）截開，令斜截面上的正應力和切應力分別為和 。并令微元斜截面的面積為dA。根據(jù)平衡方程有 據(jù)此可以得到與前面完全相同的結(jié)果。 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 上述結(jié)果表明，桿件承受拉伸或壓

12、縮時，橫截面上只有正應力；斜截面上則既有正應力又有切應力。而且，對于不同傾角的斜截面，其上的正應力和切應力各不相同。 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 在0的截面（即橫截面）上， 取最大值，即 在45的斜截面上， 取最大值，即 在這一斜截面上，除切應力外，還存在正應力，其值為 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 由于微元取得很小，上述微元斜面上的應力，實際上就是過一點處不同方向面的應力。因此，當論及應力時，必須指明是哪一點處、哪一個方向面上的應力。 結(jié)論與討論 拉伸與壓縮桿件斜截面上的應力 當桿端承受集中載荷或其它非均勻分布載荷時，桿件并非所有橫截面都能保持平面，從而產(chǎn)生均勻的軸

13、向變形。這種情形下，上述正應力公式不是對桿件上的所有橫截面都適用。 結(jié)論與討論 關于加力點附近區(qū)域的應力分布 三、圣維南原理（Saint -Venant principle) 由來應力均勻分布的范圍多大？ (拉壓公式適用范圍） 法國科學家Saint-Venant指出： 距外力作用部位相當遠處，應力分布同外力作用方式無關，只同等效力有關 實驗表明，當用靜力等效的外力相互取代時，如用集中力取代靜力等效的分布力系，除在外力作用區(qū)域內(nèi)有明顯差別外，在距外力作用區(qū)域略遠處，上述替代所造成的影響就非常微小，可以忽略不計。這就是圣維南原理。 圣維南像 力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍的應力分布，影

14、響區(qū)的軸向范圍約離桿端1-2個桿的橫向尺寸。返回 拉伸與壓縮時材料的力學性能 返回總目錄 材料拉伸時的應力一應變曲線 韌性材料拉伸時的力學性能 脆性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 壓縮時材料的力學性能 進行拉伸實驗，首先需要將被試驗的材料按國家標準制成標準試樣(standard specimen);然后將試樣安裝在試驗機上，使試樣承受軸向拉伸載荷。通過緩慢的加載過程，試驗機自動記錄下試樣所受的載荷和變形，得到應力與應變的關系曲線，稱為應力一應變曲線(stress-strain curve)。 不同的材料，其應力一應變曲線有很大的差異。 材料拉伸時的應力一應變曲線 拉伸與壓縮時

15、材料的力學性能 為了得到應力一應變曲線，需要將給定的材料作成標準試樣（specimen）,在材料試驗機上，進行拉伸或壓縮實驗（tensile test,compression test）。 試驗時，試樣通過卡具或夾具安裝在試驗機上。試驗機通過上下夾頭的相對移動將軸向載荷加在試樣上。 材料拉伸時的應力一應變曲線 拉伸與壓縮時材料的力學性能 脆性材料拉伸時的應力應變曲線 材料拉伸時的應力一應變曲線 拉伸與壓縮時材料的力學性能 材料拉伸時的應力一應變曲線 拉伸與壓縮時材料的力學性能 韌性金屬材料材料拉伸時的應力應變曲線 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 韌性材料拉伸時的力學性能

16、拉伸與壓縮時材料的力學性能 彈性模量 應力一應變曲線中的直線段稱為線彈性階段。彈性階段中的應力與應變成正比，比例常數(shù)即為材料的彈性模量E。對于大多數(shù)脆性材料，其應力應變曲線上沒有明顯的直線段，鑄鐵的應力應變曲線即屬此例。因為沒有明顯的直線部分，常用割線的斜率作為這類材料的彈性模量，稱為割線模量。 比例極限與彈性極限 應力一應變曲線上線彈性階段的應力最高限稱為比例極限(proportional limit)，用表示。線彈性階段之后，應力應變曲線上有一小段微彎的曲線，這表示應力超過比例極限以后，應力與應變不再成正比關系，但是，如果在這一階段，卸去試樣上的載荷，試樣的變形將隨之消失。這表明這一階段內(nèi)

17、的變形都是彈性變形，因而包括線彈性階段在內(nèi)，統(tǒng)稱為彈性階段。彈性階段的應力最高限稱為彈性極限(elastic limit)，用表示。大部分韌性材料比例極限與彈性極限極為接近，只有通過精密測量才能加以區(qū)分。 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 p 比例極限e 彈性極限 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 屈服應力 許多韌性材料的應力一應變曲線中，在彈性階段之后，出現(xiàn)近似的水平段，這一階段中應力幾乎不變，而變形急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服(yield)，例如圖610中所示曲線的BC段。這一階段曲線的最低點的應力值稱為屈服應力或屈服強度(yield stress)，

18、用表示。 對于沒有明顯屈服階段的韌性材料，工程上則規(guī)定產(chǎn)生0.2塑性應變時的應力值為其屈服應力，稱為材料的條件屈服應力(offset yield stress)，用表示。 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 s 屈服強度 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 0.2條件屈服應力塑性應變等于0.2時的應力值 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 強度極限 應力超過屈服應力或條件屈服應力后，要使試樣繼續(xù)變形，必須再繼續(xù)增加載荷。這一階段稱為強化(strengthening)階段。這一階段應力的最高限稱為強度極限(strength limit)，用表示。 應變硬化 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 頸縮與斷裂 某些韌性材料(例如低碳鋼和銅)，應力超過強度極限以后，試樣開始發(fā)生局部變形，局部變形區(qū)域內(nèi)橫截面尺寸急劇縮小，這種現(xiàn)象稱為頸縮(neck)。出現(xiàn)頸縮之后，試樣變形所需拉力相應減小，應力一應變曲線出現(xiàn)下降階段，直至試樣被拉斷。 韌性材料拉伸時的力學性能 拉伸與壓縮時材料的力學性能 韌性材料拉伸時的力學性能