直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、課題 直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)知識點一：直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言匿形語言箔一條亙稅與一個平面內(nèi)判定的兩條相交直線都垂定理直. 則謖亙線與此平面全aCkbc/仃門方-PJXa./7頡 垂直于同一個平面的兩 z定理條直線平行一/ b.口一見8_Lot=d2.直線與平面所成的角(線面所成的角關(guān)鍵：過斜線上一點作平面的垂線)(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平； 0面,我們說它們所成的角是直角 一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是 。的角.0線面角 的取值范圍0 .規(guī)律

2、總結(jié)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.2.過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知識點二：平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言一個平面過另一個平面的垂線Nil這兩公平面垂 直一判定定理記作 BD兩個平面垂直則b平面內(nèi)垂直于交線的亙線與另T平面垂直性質(zhì)定理al/f.ai匚2.二面角平面與平面垂直的定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩 個平面互相垂直.說明.平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi).分別垂直于二面角的棱.2.二面角。的取值范圍為0, 0 1 80.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面二面角

3、的平面角： 即為二面角 的平面角.AOB 1題型一：線面垂直的判定與性質(zhì)證明直線與平面垂直的方法 ：(1)利用判定定理(a，b,a，c,bn “，c? ? aa(2)利用面面平行的性質(zhì),a3?3)；(“，3,an3 ?3? a利用面面垂直的性質(zhì)定理(4)利用面面垂直的性質(zhì) ).aTT1：例 如圖，已知 是菱形PABC所在平面外一點，且PA= PCAd PBD求證： 平面【證明】 設(shè)ACTBD=QO AC PQ PA= PC, PQL AC由題意知 為 的中點，連接 因為 所以又因為ABCD1菱形，所以而所以ACL PBD平面 ?變式證明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二

4、面角的平面角，計算平面角為(2)利用面面垂直的判定定理(a，B,a? a ? a，B).2.空間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化90 );統(tǒng)戰(zhàn).線面暮才的利冠.線面面而委宜的判定.面面垂直、線面垂直的性質(zhì) 垂直 面面垂直的性質(zhì) 垂直2:例 如圖，在直三棱柱ABC ABABAC D , E分別是棱BC , CC C ),D上的點(點 不同于點中，1 1i,iAD DE , F BQ ADE平面BCgB.為 的中點.求證：平面且CCAD證明：因為ABC- AB 是直三棱柱，所以CC，平面ABC.又因為AD 平面ABC,所以1 .1又因為ADLDE CC, DE平面BCCB CC門DE=E ,所以ADL平面BCC

5、BAD 平面 1 1ADE ,所以平面ADE 平面BCC B .i變式 如圖，在四面體，平面BADL平面 .M,N,Q分別為棱 的中點.（1）求證：平面 （2）平面求證：平面以3單S又：平面；I C平面、p 因為分別為檢電片詡中點.所以HAB,又上艮我:故m 1ADCW,平面見口平面僅且AfVUJ5D I4。又4小仁平面*佻）所以t、選擇題ABCDABGD E CD1.在正方體中， 為棱 勺中點，則()AE DCB. AE BD C. AE BCAE, AE AC BD垂直，D錯;D. AE ACAE在平面ABCDt的投影為如圖，:而 不與i . AE在平面BCCBBC BC BC,上的投影為

6、 且/.AEX BC,故 正確；CiiBC, BC, BCLCE CEA BC= C,又（證明：由條件易知，. .BC， CEAB AiaCEAB, . AEBC平面平面）ii . AE在平面DCCD上的投影為DE, DE DCA 而 不與 垂直，故 錯.故選i2.如圖，在正方形 ABCD, E F、 分別是BC CDG EFAR AF EF的中點， 是 的中點，現(xiàn)在沿 及 把這個正方形 折成一個空3B C DAGL EFHH,間圖形，使 、 三點重合，重合后的點記為 那么，在這個空間圖形中必有 （）AHL平面 EFHC. HFL平面AEF .HGL平面 AEFD平面AHL HE AHL HF

7、AHL EFHB正確;不變， 平面根據(jù)折疊前、后AEFH A直， 不正確； 過 只有一條直線與平面. AGL EF, EF GH AGH GH= HAG E HAG AEF HAEF過 作直線垂直 于平面 一平面又 平面平面HAGl,平面 不正確.故選C不正確；由條件證不出 HGh AEF，D B.定在平面3BAC= 90 ,Pd ABC ABC PAC平面 則在PC勺邊所在的直線中，與 垂直的直線是 ;.如圖，/AP與 垂直的直線是.AB故與 垂直的直線是4 . 7-4-12如圖P-ABC PAL ABCD由， 底面M PCM所示，在四棱錐且底面各邊都相等，是 上的一動點，當(dāng)點MBD_ PC

8、D平面)滿足 時，平面只要填寫一個你認為是正確的條件即可DML PC BML PC) AC, BD ACL BD : PALABCD，PAL BD或連接則底面不、PAA AC= 平面PAC BDL PC又DML PC BML PC PCh平面 MBD或 時，即有 當(dāng)5.a,3是兩個平面，min是兩條直線，有下列四個命題：”ml n, mL a , n / 3 , a X (3那么mL a , n / amL.如果. 如果如果a/(3,mam/ (3.如果m/ n, a / (3 , m a n B那么 與 所成的角和 與 所成的角相等.其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號 )對于，a,

9、B可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤.l a, n/l, mha, ml l , ml n,對于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線又所以所以故正確.a / B , a , 3 mt a所以 沒有公共點.又m3沒有公共點，由線面平行的定義可知 m/3故對于，因為對于，因為正確.m/ n, m a n a所以 與 所成的角和 與 所成的角相等.因為a / B , n a n 3所以 與 所成的角和 與 所成m an 3的角相等，所以 與 所成的角和 與 所成的角相等，故正確.6.如圖7-4-1 在三棱柱ABCA1BG中，側(cè)棱AAL ABC底面直角的等腰直角三角形，底面是以/AC=2a, BB=3a

10、, D ACFAA是 的中點，點 在線段 上，當(dāng) 時， 平面AF= CFL BDFa 2a AACG，CF BD.或.出口，平面CF1 BDF,CF DF CF! BF).或為了使平面只要使AF= x, U CD= DF2+FC2,貝設(shè)，x3ax+ 2a2= 0, . x= 2 x= 2a.或277-4-1在三棱錐 P-ABC中，PAL AB PAL BC AB! BC PA= AB= BC= 2, DAC E為線段 的中點， 為線.如圖PC段 上一點.(1)求證：PAL BD (2)求證：平面8口已平面PAC (3) PA/ BDE當(dāng) 平面寸，求三棱錐E-BCD勺體積.PA AEB PA!

11、BC PA1 ABCP又因為解 證明：因為所以平面BD ABC平面BD所以PALAB= BC D ACBDL AC(2)證明：因為為 的中點，所以PAL BD BDL PACBDEL PAC平面由知，所以平面所以平面平BDE PA3 BDE= DE PA/ DE PN因為面平面平面所以. . 1取DE= PA= 1, BD= DC=2D AC因為 為 的中點，所以PAL由知， 平面ABC DEL所以ABC平面E BCD勺體積1BD DC DE=-所以三棱錐63ABC AB! AD BCLBD ABDL BCDF ED ( 與不重合 分別在8.如圖,在三棱錐)計，平面平面點AD BD上，且EF

12、ADEF/ ABC平面ADL AC棱求證：ABDrt, ABL AD EFAD EF/ AB在平面因為所以EF7 ABC ABt ABC EF/ ABC又因為平面平面所以平面ABDL BCD ABDT BCD= BD, BC BCD BC! BD BCLABD AD因為 平面(2)因為平面平面平面平面平面所以平面ABD BCL AD ABL AD BCT AB= B, AB ABC BC ABC所以又平面平面所以ADL平面ABCAC ABC ADL AC又因為 平面 所以9.如圖，三棱柱 中，側(cè)棱垂直于底面，/,D是棱AA1的中點.(1)證明：平面BDC也平面 平面分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【解析1由展設(shè)如AJ CCJ”5a所唄平面