數(shù)列前n項(xiàng)和的求法

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法Revised on November 25, 2022 專題二： 數(shù)列前n 項(xiàng)和的求法 一、倒序相加法求數(shù)列的前n 項(xiàng)和 假如一個(gè)數(shù)列a n ，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。例如：等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法。 例1：設(shè)等差數(shù)列a n ，公差為d ，求證：a n 的前n 項(xiàng)和S n =n(a 1+a n )/2 例2：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+?+的值 二

2、、用公式法求數(shù)列的前n 項(xiàng)和 對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n 項(xiàng)和S n 可直接用等差、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的考前須知：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。 例3：求數(shù)列 的前n 項(xiàng)和S n ： 例4：已知3 log 1log 23-=x ，求n x x x x +?+32的前n 項(xiàng)和. 例5：設(shè)S n 1+2+3+n ，n N *,求1)32()(+= n n S n S n f 的最大值. 點(diǎn)撥：這道題只要經(jīng)過簡單整理，就可以很明顯的看出：這個(gè)數(shù)列可以分解成兩個(gè)數(shù)列，一個(gè)等差數(shù)列，一個(gè)等比數(shù)列，再分別運(yùn)用公式求和，結(jié)果把兩個(gè)數(shù)列的和再求和。

3、 三、錯(cuò)位相減法求和 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a n b n 的前n 項(xiàng)和，其中 a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 例6：求和：132)12(7531-+?+=n n x n x x x S 例7： 求數(shù)列?,2 2,26,24,2232n n 前n 項(xiàng)的和. 四、分組法求和（并項(xiàng)法） 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可. 例8：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + + (-1)n-1n 2(n N *) 例9：求數(shù)列的前n

4、 項(xiàng)和：231,71,41,1112-+?+-n a a a n ， 五、合并法求和 針對一些特別的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特別的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求S n . 例 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若 103231365log log log ,9a a a a a +?+=求的值. 數(shù)列的求和方法多種多樣，它在高考中的重要性也顯而易見。我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)中務(wù)必要把握好幾種最基本的方法，在解題中才能對比簡單解決數(shù)列問題。 六、裂項(xiàng)法求和 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一

5、些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如： （1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1 11)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1 21121(211)12)(12()2(2+-+=+-=n n n n n a n 例10：求數(shù)列?+?+,11 ,321 ,211 n n 的前n 項(xiàng)和. 例11： 在數(shù)列a n 中，1 1211+?+= n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求數(shù)列b n 的前n 項(xiàng)的和. 七.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n 項(xiàng)和 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列