應(yīng)用動能定理進行多自由度系統(tǒng)建模探析

1、應(yīng)胸能定理進行軸由度系統(tǒng)建模探析摘 要：探討?yīng)毩?yīng)用動能定理建立多自由度系統(tǒng)動力學(xué)方程的方法及其理論依據(jù)，證明了對于定常完 整的理想約束系統(tǒng)，當動能表達式中不顯含廣義坐標時，將微分形式動能定理簡化為廣義坐標微分的和式 方程，并令廣義坐標微分前的系數(shù)為零，所得結(jié)果與拉格朗日方程所得結(jié)果一致。同時舉例說明了這種方 法的局限性，詳細討論了動能定理的適用性問題&關(guān)鍵詞：動能定理；多自由度系統(tǒng)；廣義坐標；拉格朗日方程Analysis on Multi-Degree-of-Freedom ( MDOF)System Modeling with the Kinetic Energy TheoremAbstr

2、act： We discuss the methods of and theoretical basis for establishing kinetic equations of multi-degree-of- freedom ( MDOF) systems by applying the kinetic energy theorem independently. We prove that with respect to dynamical systems with scleronomous, holonomic and ideal constraints, the result of

3、the kinetic energy theorem with differential forms is equivalent to that of the Lagrange equation under the condition of not containing generalized coordinates in the expression for kinetic energy when the coefficient before the generalized coordinate differential is set zero. Meanwhile, the limitat

4、ion of the kinetic energy theorem is illustrated by examples, and its applicability is discussed in detail.Key words： kinetic energy theorem; multi-degree-ofreedom systems; generalized coordinate; Lagrange equationo引言眾所周知，動力學(xué)問題可以利用各種方法進 行求解，例如動量定理、動量矩定理、平面運動 微分方程、定軸轉(zhuǎn)動微分方程、動能定理、功率 方程、機械能守恒定律、達朗貝爾原理、動

5、力學(xué) 普遍方程、拉格朗日方程、哈密爾頓原理等。不 同方法從不同方面反映和刻畫了物體的運動規(guī) 律，有各自的使用范圍。動能定理是按照能量的 觀點，將動能與力的功之間建立起關(guān)系，從而可以利用微分形式或積分形式的動能定理建立其動 力學(xué)方程。對于單自由度系統(tǒng)而言，該方程就可 以描述系統(tǒng)的動力學(xué)行為。而對于多自由度系 統(tǒng)，一般理論力學(xué)或工程力學(xué)教材.可均認為雖 然可以應(yīng)用動能定理，但必須與其他定理聯(lián)合才 能建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程組。而單獨應(yīng)用動能定 理建立多自由度系統(tǒng)動力學(xué)方程的情況還很少 見。筆者發(fā)現(xiàn)將系統(tǒng)的動能用廣義坐標來表示 后，將其微分并令表示為廣義速度的組合，最后 令每一個廣義速度前的系數(shù)項為零，

6、也可以得到 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程(本文將這種方法 稱為“多自由度系統(tǒng)微分形式動能定理法”)。在 文刃中也提供了應(yīng)用類似方法建立系統(tǒng)動力學(xué) 方程，例如其中的3-38、3-39、3-40等多個例 題為多自由度問題，整個求解過程相對簡單，步 驟統(tǒng)一，相比其他方法具有一定的優(yōu)越性。但這 種方法的理論依據(jù)是什么？據(jù)筆者檢索，未發(fā)現(xiàn) 國內(nèi)外流行的理論力學(xué)或工程力學(xué)教材對此進行論 述，未見提及這種建立系統(tǒng)動力學(xué)方程的依據(jù)。本文擬對動能定理應(yīng)用于多自由度系統(tǒng)的問 題展開討論，首先給出動能定理應(yīng)用于多自由度 系統(tǒng)的定理，然后給出其反例，以提示使用這種 方法的局限性。需要說明的是，由于文中的 方法是先利用動

7、能定理的積分形式，然后再對時 間求導(dǎo)數(shù)，故本文為節(jié)省篇幅，直接使用動能定 理的微分形式進行討論。1可獨立用動能定理完成建模的一類多 自由度系統(tǒng)定理1對于受到雙面定常完整理想約束的多 自由度系統(tǒng)，如果系統(tǒng)動能的表達式中不顯含廣 義坐標，則令微分形式動能定理的廣義坐標展開 式中各廣義坐標微分的系數(shù)項為零，即可得到系 統(tǒng)的動力學(xué)方程。證 假設(shè)多自由度系統(tǒng)的質(zhì)點數(shù)為%，自由 度數(shù)為0,受到雙面定常完整約束。若選其廣義 坐標為：Fi，g2，F(xiàn)，則各質(zhì)點的位置K可 表示為：七(七(Fi，F(xiàn)2，,Fo)， ( 1，2,%因而系統(tǒng)中各質(zhì)點的速度r,及系統(tǒng)動能T可表 示為：JL 0 r,r, ( & ( 1，2

8、切0 F1 .!1 二二(二0 r,0 r,T ( & m-. ( & & I & m-1 f,Fi9婦 i C婦I J i J為力 2，( 12 廣 1 - = 1 , ( 10 Fj0 Fi I(3)%( 2) TOC o 1-5 h z %0 r ,0 r%( 2)若記：m,- ( & m,二二,則由定理1的條件 切0 F,0 F-可知，m,-中不顯含廣義坐標、廣義速度和時間， 即m,i為常數(shù)，且滿足m,i ( m-,。0T 1000(V & & m ( FjFi)(0 F,2 廣1 - =10 F,1002 & mfl( Fi+ F,+i)= &2 J = 1 i = 1 di ( j

9、= & M匝(00 F,0r若廣義力記為：N, ( & 0 二，則由拉格朗日件0 F,方程可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：0& m同 / Q,( 0 ( ( 1，2, !，0)( 5),=1如果利用微分形式的動能定理，則：0T00dF,( & myFjF ,dl ( 0 F, (1 廣100& m&F ,dF,i=1 , (1%0=& 0, d L = & 0dF,=1=1000=1000& m,F,dF = & Qd%。=1 ,=1=1由動能定理可得：(6(6)& ( & #f, - Q,) dF, ( 0j = 1, ( 1由于m初(m,故式(6)中dg,前面的系數(shù)與 用拉格朗日方程求得的式(5)

10、中的左端一致。即 在定理1的條件下，利用動能定理的微分形式求 得的多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程與用拉格朗日方 程求得的動力學(xué)方程完全一致，因此可用來求解例1示意圖圖1 T(婦 I例1示意圖圖1 T(婦 I(,21T#2(7)#2-2 di + 2#2-1 -2+ 2#2 -1 -2(8)這種特殊情況下系統(tǒng)的動力學(xué)方程。對于單自由度系統(tǒng)而言，質(zhì)點的動能自然不 包含位置坐標，由定理1可知結(jié)果必然正確，這 也是理論力學(xué)中一般采用的情況。定理1表明微分形式的動能定理可以用來處 理一類特殊的多自由度系統(tǒng)，從而在一定程度上 擴大了動能定理的適用范圍，擴展了人們對微分 形式動能定理的認識，具體示例不再介紹。但需

11、 要注意的是，直接令動能定理的微分和式中各廣 義坐標的微分前系數(shù)為零在物理上并不是因為各 廣義坐標的微分相互獨立。事實上，各廣義坐標 的微分(即微小實位移)是不獨立的，它們之間 存在著一定的聯(lián)系，只是對于滿足定理1條件 的系統(tǒng)，動能定理的微分形式中廣義坐標微分前 的系數(shù)項剛好與拉格朗日方程的虛位移前的系數(shù) 項一致，才使得微分形式動能定理具有這樣的適 用性。而對于不滿足定理1條件的系統(tǒng)，則無法保 證動能定理的微分形式中廣義坐標微分前的系數(shù) 剛好與拉格朗日方程虛位移前的系數(shù)一致，因此 也就無法直接令其為零而得到正確的系統(tǒng)動力學(xué) 方程?，F(xiàn)舉例進行比較說明。2舉例及討論文中的例題3-38、3-39、3

12、-40等，其中 的動能表達式中不僅包含廣義速度項，而且顯含 廣義坐標，故上述定理1不適用。對于這類問題 的求解，多自由度系統(tǒng)微分形式動能定理法是否也 適用呢？在此給出一個類似的例子，并加以討論。例1已知位于鉛垂平面的圖1所示系統(tǒng) 中，桿件OA和AB長度分別為2-1和、質(zhì)量 分別為#1和#2,用光滑鉸鏈連接。試建立系統(tǒng) 的運動微分方程。解該系統(tǒng)約束顯然為雙面完整定常的理想 約束。以兩桿的轉(zhuǎn)角,和-為廣義坐標。由于： xc ( 2Z1sin, + -2sin-， xc ( 2-1COS, +Qc ( 2-1COS, + -2COS-， Qc ( 2-1in, - -2in 驀 + qC = 4-1

13、，2 + Z；2 + 4-1 -2，cos(-,) 則系統(tǒng)的動能為：;#1 4-1)二#2 4-2)(- 4-2,2 + -22 +_ 4-1 -2， cos( - ,) _dT (;#1 -2，,di + !#2-2di + 4#2-：33dt +,cos( - ,) dt +cos( - ,) dt .2#2-1 -2sin( - ,) ( - ,) dt (#1 -1+ 亍 #2-；d + 4#2-2+,cos( - ,) d +cos( - ,) d,.-2#2-1 -22sin( - ,) d, +2#2-1 -2,2in( - ,) d式(8)中，在歸類時采用將2#2-1-2伽si

14、n( - ,) dt 項歸結(jié)為 2#2-1-22in( ( - ,) d,，2#2-1 -2in( -,),dt項歸結(jié)為2#2-禹味血(-,)d等。而外 力的元功之和為：(- (#1 g-in, + #21 2-in,) d,-#21-2 sind由于dT = &O，可得：I，#1-；, I#-1, + 2#2-1-2cs(- -,)-2#2-1 -22sin( - ,) + (#1 g-sin, +#21 2-Sin,) d, + #2-2 + #2-2 +2#2-1 -2,cos( - ,) + 2#2-1 -2,2sin( - ,) +#2g-2i：- d( 0利用多自由度系統(tǒng)微分形式動

15、能定理法,則該系 統(tǒng)的動力學(xué)方程為：, + 4#2, + 2#2-$ -2 cos(,)-2#2-$-2 2i：( ,) +#$g-$i:, + 2#2g-$i：，( 0#2-2 + #2-2 + 2#2-$ -2，cos( ,) +2#2-$ -2，2i：( ，) + #2g-2Sin( 0(9)經(jīng)驗證方程(9)與由拉格朗日方程所得結(jié)果 完全相同。但若將式(8)中 2#2-$-2in( ,) di 項歸2#2-$-2際sin( ,) Odt2#2-2#2-$-2際sin( ,) Odt2#2-$-2sin( ,) d,為項歸結(jié)則類似可得方程為:#$-；, + 4#2-2, + 2#2-$ -

16、2 cos( ,) +項歸結(jié)則類似可得方程為:2#2-$ -2， sin( ,) +(#$g-$sin, + #2g 2-$sin,) ( 0#2-2 + #2-； + 2#2-$ -2,cos(,)2#2-$ -2，sin( ,) + #2 g-2sin (10) 由拉格朗日方程可以證明這樣得到的方程(10) 是錯誤的。在本例的計算過程中，動能函數(shù)為廣義坐標 的二次齊次函數(shù)，但部分系數(shù)中顯含有廣義坐 標，所以并不滿足定理1的條件。對于這類問題, 在應(yīng)用時需要特別留意2#2-$-2sin( ,) dt應(yīng) 該等于2#2-$-2 2sin( ,) d,而不能等于 2#2-$-2,sin( ,) d

17、 &由此可以看出，對于不滿足定理1條件的系 統(tǒng)使用定理1，雖有可能得到正確結(jié)果，但存在 很大的不確定性，即存在二義性問題，而對于自 由度大于2的系統(tǒng)，則可能出現(xiàn)多義性問題。上 述多義性問題在文7的3-38、3-39、3-40等 例題中也一樣存在，只是作者明智地選擇了第一 種方式歸結(jié)，而沒有采用其他歸結(jié)方式。這說明 定理1的條件是有用的。如何消除上面所說的多義性？筆者發(fā)現(xiàn)在導(dǎo) 數(shù)與微分之間歸結(jié)時應(yīng)遵循以下規(guī)律：不同速度 乘積項歸結(jié)后的結(jié)果中某廣義坐標的線性速度項 與其微分項不應(yīng)在同一個表達式中。例如，例1的 計算過程中sin( ,) dt項應(yīng)歸結(jié)為 2sin( ,) d,，而不能歸結(jié)為 ,sin

18、( ,) d。如果說對于例1多自由度系統(tǒng)微分形式動能 定理法經(jīng)改良還可以使用的話，那么對于下面的 例2,獨立應(yīng)用動能定理則根本無法得到正確的 結(jié)果&例2圖2所示系統(tǒng)中，均質(zhì)桿的質(zhì)量為 #1，在鉛垂平面Paq內(nèi)運動，質(zhì)量為#2的滑塊 可以在桿上無摩擦地滑動，若外力偶矩為L,， 物塊與轉(zhuǎn)軸的距離為p，桿的轉(zhuǎn)角為,，試建立圖2例2示意圖解該系統(tǒng)約束顯然為雙面完整定常的理 想約束。選擇系統(tǒng)廣義坐標為F1 ( p % F2 =,，則 此時系統(tǒng)的動能可表示為:L = tS0,2 + t#2 也2 + (p,) 2 (+#1 -2，2 + ；#2p2 + -2#2p，2dL = (a#i-2, + #2p，) d, + ( #2p + #2p,2) dp= (L, #1 g cos, #2g pcos,) d, #2 gsin,dp 按照多自由度系統(tǒng)微分形式動能定理法,則可得 系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：, + #2p，+ #$ 1 COS, +#21 pcos, - T,( 0經(jīng)分析，上述結(jié)果與基于拉格朗日方程所得 結(jié)果3不同。所以對于這類動能表達式中